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8. 若$ A = \dfrac{x}{x^2 - 9}, B = \dfrac{2x}{x - 3} $，则$ A ÷ B $的值可能为（
A.$ \dfrac{1}{12} $
B.$ \dfrac{1}{6} $
C.$ \dfrac{1}{2} $
D.$ 0 $
C
）A.$ \dfrac{1}{12} $
B.$ \dfrac{1}{6} $
C.$ \dfrac{1}{2} $
D.$ 0 $
答案
8.C
解析
【分析】本题考查分式的除法运算，解题思路为：先利用平方差公式分解因式，再根据分式除法法则将除法转化为乘法，通过约分简化式子，最后结合分式有意义的条件（分母不为0）判断选项是否符合要求。
【解析】解：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，代入A、B的表达式：
已知$A=\dfrac{x}{x^2 - 9}=\dfrac{x}{(x-3)(x+3)}$，$B=\dfrac{2x}{x - 3}$，
则$A÷ B=\dfrac{x}{(x-3)(x+3)}÷\dfrac{2x}{x-3}=\dfrac{x}{(x-3)(x+3)}×\dfrac{x-3}{2x}$，
约分后得：$\dfrac{1}{2(x+3)}$。
逐一分析选项：
A选项：若$\dfrac{1}{2(x+3)}=\dfrac{1}{12}$，解得$x=3$，此时$B$的分母$x-3=0$，分式无意义，排除；
B选项：若$\dfrac{1}{2(x+3)}=\dfrac{1}{6}$，解得$x=0$，此时$B$的分子$2x=0$，除数为0，分式无意义，排除；
C选项：若$\dfrac{1}{2(x+3)}=\dfrac{1}{2}$，解得$x=-2$，此时分母均不为0，分式有意义，符合要求；
D选项：$\dfrac{1}{2(x+3)}$的分子为1，不可能为0，排除。
综上，答案选C。
【答案】C
【知识点】分式的除法运算、平方差公式
【点评】本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式除法的约分规则，需注意分式有意义的条件，避免忽略分母不为0的限制导致错误。
【难度系数】0.5
【解析】解：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，代入A、B的表达式：
已知$A=\dfrac{x}{x^2 - 9}=\dfrac{x}{(x-3)(x+3)}$，$B=\dfrac{2x}{x - 3}$，
则$A÷ B=\dfrac{x}{(x-3)(x+3)}÷\dfrac{2x}{x-3}=\dfrac{x}{(x-3)(x+3)}×\dfrac{x-3}{2x}$，
约分后得：$\dfrac{1}{2(x+3)}$。
逐一分析选项：
A选项：若$\dfrac{1}{2(x+3)}=\dfrac{1}{12}$，解得$x=3$，此时$B$的分母$x-3=0$，分式无意义，排除；
B选项：若$\dfrac{1}{2(x+3)}=\dfrac{1}{6}$，解得$x=0$，此时$B$的分子$2x=0$，除数为0，分式无意义，排除；
C选项：若$\dfrac{1}{2(x+3)}=\dfrac{1}{2}$，解得$x=-2$，此时分母均不为0，分式有意义，符合要求；
D选项：$\dfrac{1}{2(x+3)}$的分子为1，不可能为0，排除。
综上，答案选C。
【答案】C
【知识点】分式的除法运算、平方差公式
【点评】本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式除法的约分规则，需注意分式有意义的条件，避免忽略分母不为0的限制导致错误。
【难度系数】0.5
9. 下列四个情境中,利用一副三角板完成作图要求正确的是 （
A.②③④
B.①③④
C.①②③
D.①②③④
B
）A.②③④
B.①③④
C.①②③
D.①②③④
答案
9.B
解析
【分析】
要判断四个用三角板作图的情境是否正确，需逐一分析每个作法的依据和操作是否符合要求：
1. 情境①：依据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用三角板作出两条垂直于同一直线的直线，符合作图要求，正确。
2. 情境②：要求过P作l₁的平行线，但该作法实际得到的是l₁的垂线，不符合平行线的作图要求，错误。
3. 情境③：过直线外一点P作l₁的垂线，利用三角板的直角边，使一条直角边与l₁重合，另一条直角边过点P，符合作垂线的要求，正确。
4. 情境④：依据“同位角相等，两直线平行”，用三角板平移作出同位角相等的两条直线，符合作平行线的要求，正确。
综上，正确的是①③④，对应选项B。
【解析】
逐个分析四个情境：
①：根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用三角板作两条垂直于同一直线的直线，得到l₁//l₂，作法正确。
②：要求过P作l₁的平行线，但该作法得到的是l₁的垂线，不符合要求，错误。
③：过直线外一点作已知直线的垂线，利用三角板的直角，使直角边与l₁重合，另一条直角边过P，作法正确。
④：根据“同位角相等，两直线平行”，用三角板平移构造相等的同位角，得到l₁//l₂，作法正确。
因此正确的是①③④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定、垂线的作法
【点评】
本题考查用三角板作平行线和垂线的操作，需掌握每种作图方法的依据，逐一判断即可，属于基础作图题。
【难度系数】
0.3
要判断四个用三角板作图的情境是否正确，需逐一分析每个作法的依据和操作是否符合要求：
1. 情境①：依据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用三角板作出两条垂直于同一直线的直线，符合作图要求，正确。
2. 情境②：要求过P作l₁的平行线，但该作法实际得到的是l₁的垂线，不符合平行线的作图要求，错误。
3. 情境③：过直线外一点P作l₁的垂线，利用三角板的直角边，使一条直角边与l₁重合，另一条直角边过点P，符合作垂线的要求，正确。
4. 情境④：依据“同位角相等，两直线平行”，用三角板平移作出同位角相等的两条直线，符合作平行线的要求，正确。
综上，正确的是①③④，对应选项B。
【解析】
逐个分析四个情境：
①：根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用三角板作两条垂直于同一直线的直线，得到l₁//l₂，作法正确。
②：要求过P作l₁的平行线，但该作法得到的是l₁的垂线，不符合要求，错误。
③：过直线外一点作已知直线的垂线，利用三角板的直角，使直角边与l₁重合，另一条直角边过P，作法正确。
④：根据“同位角相等，两直线平行”，用三角板平移构造相等的同位角，得到l₁//l₂，作法正确。
因此正确的是①③④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定、垂线的作法
【点评】
本题考查用三角板作平行线和垂线的操作，需掌握每种作图方法的依据，逐一判断即可，属于基础作图题。
【难度系数】
0.3
10. 如图，正方形ABCD和长方形EFGH的面积相等，点E，F分别在边AB，BC上，FG过点D，连结DH，△DGH的面积为1.若记AE的长为x，CF的长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是
（
A.$ x + y $
B.$ xy $
C.$ x^2 + y^2 $
D.$ \frac{x}{y} $
（
B
）A.$ x + y $
B.$ xy $
C.$ x^2 + y^2 $
D.$ \frac{x}{y} $
答案
10.B
【解析】如图，连接DE,EC，
设$S_{△ DEF}=S,BE=m$，
$\because S_{△ DEC}=\frac{1}{2}S_{正方形ABCD},S_{△ DHE}=\frac{1}{2}S_{长方形EFGH}$，正方形ABCD和长方形EFGH的面积相等，
$\therefore S_{△ DEC}=S_{△ DHE}$。
$\because S_{△ DEF}+S_{△ DFC}-S_{△ EFC}=S_{△ DEC}$，
$\therefore S_{△ DEF}+S_{△ DFC}-S_{△ EFC}=S_{△ DHE}$。
$\because S_{△ DHE}=\frac{1}{2}S_{长方形EFGH}$，
$\therefore S_{△ DHE}=S_{△ DEF}+S_{△ DGH}=S+1$。
$\because S_{△ DFC}=\frac{1}{2}CF· CD=\frac{1}{2}y(x+m),S_{△ EFC}=\frac{1}{2}CF· BE=\frac{1}{2}ym$，
$\therefore S+\frac{1}{2}y(x+m)-\frac{1}{2}my=S+1$，
$\therefore xy=2$，
即代数式的值不变的是$xy$。
故选:B.
解析
【分析】
要解决本题，需利用正方形和长方形的面积关系，结合三角形面积公式进行等量代换。首先连接DE、EC，利用“三角形面积是等底等高的四边形面积的一半”，得到△DEC和△DHE的面积相等；再通过面积的和差关系，将各三角形面积用x、y、m表示，化简后得到xy为定值，从而确定不变的代数式。
【解析】
连接DE、EC，设$S_{△ DEF}=S$，$BE=m$。
因为正方形ABCD和长方形EFGH的面积相等，且$△ DEC$的面积是正方形ABCD面积的一半，$△ DHE$的面积是长方形EFGH面积的一半，所以$S_{△ DEC}=S_{△ DHE}$。
根据面积和差关系：$S_{△ DEC}=S_{△ DEF}+S_{△ DFC}-S_{△ EFC}$，又$S_{△ DHE}=S_{△ DEF}+S_{△ DGH}=S+1$，因此：
$S + S_{△ DFC} - S_{△ EFC} = S +1$，化简得$S_{△ DFC} - S_{△ EFC}=1$。
因为$CD=AB=AE+BE=x+m$，$CF=y$，所以：
$S_{△ DFC}=\frac{1}{2} · CF · CD=\frac{1}{2}y(x+m)$，$S_{△ EFC}=\frac{1}{2} · CF · BE=\frac{1}{2}ym$。
代入得：$\frac{1}{2}y(x+m) - \frac{1}{2}ym =1$，展开后$\frac{1}{2}xy + \frac{1}{2}ym - \frac{1}{2}ym=1$，即$\frac{1}{2}xy=1$，所以$xy=2$，为定值，故代数式$xy$的值不变。
【答案】
B
【知识点】
正方形性质、长方形性质、三角形面积计算
【点评】
本题通过辅助线构造面积等量关系，考查几何图形面积的综合应用，需要掌握三角形与四边形面积的联系，难度中等。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用正方形和长方形的面积关系，结合三角形面积公式进行等量代换。首先连接DE、EC，利用“三角形面积是等底等高的四边形面积的一半”，得到△DEC和△DHE的面积相等；再通过面积的和差关系，将各三角形面积用x、y、m表示，化简后得到xy为定值，从而确定不变的代数式。
【解析】
连接DE、EC，设$S_{△ DEF}=S$，$BE=m$。
因为正方形ABCD和长方形EFGH的面积相等，且$△ DEC$的面积是正方形ABCD面积的一半，$△ DHE$的面积是长方形EFGH面积的一半，所以$S_{△ DEC}=S_{△ DHE}$。
根据面积和差关系：$S_{△ DEC}=S_{△ DEF}+S_{△ DFC}-S_{△ EFC}$，又$S_{△ DHE}=S_{△ DEF}+S_{△ DGH}=S+1$，因此：
$S + S_{△ DFC} - S_{△ EFC} = S +1$，化简得$S_{△ DFC} - S_{△ EFC}=1$。
因为$CD=AB=AE+BE=x+m$，$CF=y$，所以：
$S_{△ DFC}=\frac{1}{2} · CF · CD=\frac{1}{2}y(x+m)$，$S_{△ EFC}=\frac{1}{2} · CF · BE=\frac{1}{2}ym$。
代入得：$\frac{1}{2}y(x+m) - \frac{1}{2}ym =1$，展开后$\frac{1}{2}xy + \frac{1}{2}ym - \frac{1}{2}ym=1$，即$\frac{1}{2}xy=1$，所以$xy=2$，为定值，故代数式$xy$的值不变。
【答案】
B
【知识点】
正方形性质、长方形性质、三角形面积计算
【点评】
本题通过辅助线构造面积等量关系，考查几何图形面积的综合应用，需要掌握三角形与四边形面积的联系，难度中等。
【难度系数】
0.5
