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16.如图,三角形ABC的边BC长为4 cm.将三角形ABC平移2 cm得到三角形A'B'C',且$BB'⊥BC$,则阴影部分的面积为
8
$cm^2$.答案
16.8
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆平移的性质：平移前后的图形全等，对应面积相等，对应点连线的长度等于平移距离。首先观察图形，△ABC平移得到△A'B'C'，二者面积相等，阴影部分的面积可以通过转化得到：两个三角形同时减去重叠的公共部分后，剩余的阴影部分面积实际和矩形BCC'B'的面积相等，接下来只需要计算矩形的面积即可。已知BC长为4cm，平移距离即BB'长为2cm，且BB'垂直BC，符合矩形邻边垂直的特点，直接用长乘宽计算面积即可。
【解析】
解：根据平移的性质可得：
△ABC与△A'B'C'全等，因此$S_{△ ABC}=S_{△ A'B'C'}$，
平移距离为2cm，即$BB'=2cm$，
又因为$BB'⊥ BC$，$BC=4cm$，所以四边形BCC'B'是矩形，
矩形BCC'B'的面积为：$BC× BB'=4×2=8(cm^2)$，
由于$S_{阴影}=S_{△ A'B'C'}+(S_{矩形BCC'B'}-S_{△ ABC})$，且$S_{△ ABC}=S_{△ A'B'C'}$，
因此$S_{阴影}=S_{矩形BCC'B'}=8cm^2$。
【答案】
8
【知识点】
平移的性质、矩形面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用平移前后图形面积相等的性质，将不规则的阴影部分面积转化为规则矩形的面积求解，巧妙运用转化思想简化计算，是平移性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要回忆平移的性质：平移前后的图形全等，对应面积相等，对应点连线的长度等于平移距离。首先观察图形，△ABC平移得到△A'B'C'，二者面积相等，阴影部分的面积可以通过转化得到：两个三角形同时减去重叠的公共部分后，剩余的阴影部分面积实际和矩形BCC'B'的面积相等，接下来只需要计算矩形的面积即可。已知BC长为4cm，平移距离即BB'长为2cm，且BB'垂直BC，符合矩形邻边垂直的特点，直接用长乘宽计算面积即可。
【解析】
解：根据平移的性质可得：
△ABC与△A'B'C'全等，因此$S_{△ ABC}=S_{△ A'B'C'}$，
平移距离为2cm，即$BB'=2cm$，
又因为$BB'⊥ BC$，$BC=4cm$，所以四边形BCC'B'是矩形，
矩形BCC'B'的面积为：$BC× BB'=4×2=8(cm^2)$，
由于$S_{阴影}=S_{△ A'B'C'}+(S_{矩形BCC'B'}-S_{△ ABC})$，且$S_{△ ABC}=S_{△ A'B'C'}$，
因此$S_{阴影}=S_{矩形BCC'B'}=8cm^2$。
【答案】
8
【知识点】
平移的性质、矩形面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用平移前后图形面积相等的性质，将不规则的阴影部分面积转化为规则矩形的面积求解，巧妙运用转化思想简化计算，是平移性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
三、综合运用
17. 如图所示，BF 与 DE 相交于点A，BG 与 BF 相交于点B，与 AC 相交于点C.
(1)指出 DE，BC 被 BF 所截形成的同位角、内错角；
(2)指出 DE，BG 被 AC 所截形成的内错角、同旁内角；
(3)指出 FB，BG 被 AC 所截形成的内错角、同旁内角.
17. 如图所示，BF 与 DE 相交于点A，BG 与 BF 相交于点B，与 AC 相交于点C.
(1)指出 DE，BC 被 BF 所截形成的同位角、内错角；
(2)指出 DE，BG 被 AC 所截形成的内错角、同旁内角；
(3)指出 FB，BG 被 AC 所截形成的内错角、同旁内角.
答案
17.解:(1)DE,BC 被 BF 所截形成的同位角:
∠FAE 和∠B;内错角:∠B 和∠DAB.
(2)DE,BG 被 AC 所截形成的内错角:
∠EAC 和∠BCA,∠DAC 和∠ACG;同旁内角:∠EAC 和∠ACG,∠DAC 和∠BCA.
(3)FB,BG 被 AC 所截形成的内错角:
∠BAC 和∠ACG,∠FAC 和∠BCA;同旁内角:∠BAC 和∠BCA,∠FAC 和∠ACG.
∠FAE 和∠B;内错角:∠B 和∠DAB.
(2)DE,BG 被 AC 所截形成的内错角:
∠EAC 和∠BCA,∠DAC 和∠ACG;同旁内角:∠EAC 和∠ACG,∠DAC 和∠BCA.
(3)FB,BG 被 AC 所截形成的内错角:
∠BAC 和∠ACG,∠FAC 和∠BCA;同旁内角:∠BAC 和∠BCA,∠FAC 和∠ACG.
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握同位角、内错角、同旁内角的定义，解题时先明确每一问的截线和两条被截直线，再按对应角的位置特征判断即可：1.同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁、且在被截两直线同一侧的角；2.内错角：两条直线被第三条直线所截，在截线两侧、且夹在两条被截直线之间的角；3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁、且夹在两条被截直线之间的角。
【解析】
(1) 先确定截线为BF，被截直线为DE、BC：
同位角：找截线BF同旁，被截线DE、BC同侧的角，可得∠FAE和∠B；
内错角：找截线BF两侧，夹在DE、BC之间的角，可得∠B和∠DAB。
(2) 先确定截线为AC，被截直线为DE、BG：
内错角：找截线AC两侧，夹在DE、BG之间的角，可得∠EAC和∠BCA、∠DAC和∠ACG；
同旁内角：找截线AC同旁，夹在DE、BG之间的角，可得∠EAC和∠ACG、∠DAC和∠BCA。
(3) 先确定截线为AC，被截直线为FB、BG：
内错角：找截线AC两侧，夹在FB、BG之间的角，可得∠BAC和∠ACG、∠FAC和∠BCA；
同旁内角：找截线AC同旁，夹在FB、BG之间的角，可得∠BAC和∠BCA、∠FAC和∠ACG。
【答案】
(1)DE,BC 被 BF 所截形成的同位角:∠FAE 和∠B;内错角:∠B 和∠DAB。
(2)DE,BG 被 AC 所截形成的内错角:∠EAC 和∠BCA,∠DAC 和∠ACG;同旁内角:∠EAC 和∠ACG,∠DAC 和∠BCA。
(3)FB,BG 被 AC 所截形成的内错角:∠BAC 和∠ACG,∠FAC 和∠BCA;同旁内角:∠BAC 和∠BCA,∠FAC 和∠ACG。
【知识点】
同位角识别，内错角识别，同旁内角识别
【点评】
本题属于三线八角的基础考查题，解题的关键是先找准每一问的截线和被截直线，再结合三类角的位置特征判断，熟练掌握相关定义就能准确作答。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握同位角、内错角、同旁内角的定义，解题时先明确每一问的截线和两条被截直线，再按对应角的位置特征判断即可：1.同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁、且在被截两直线同一侧的角；2.内错角：两条直线被第三条直线所截，在截线两侧、且夹在两条被截直线之间的角；3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁、且夹在两条被截直线之间的角。
【解析】
(1) 先确定截线为BF，被截直线为DE、BC：
同位角：找截线BF同旁，被截线DE、BC同侧的角，可得∠FAE和∠B；
内错角：找截线BF两侧，夹在DE、BC之间的角，可得∠B和∠DAB。
(2) 先确定截线为AC，被截直线为DE、BG：
内错角：找截线AC两侧，夹在DE、BG之间的角，可得∠EAC和∠BCA、∠DAC和∠ACG；
同旁内角：找截线AC同旁，夹在DE、BG之间的角，可得∠EAC和∠ACG、∠DAC和∠BCA。
(3) 先确定截线为AC，被截直线为FB、BG：
内错角：找截线AC两侧，夹在FB、BG之间的角，可得∠BAC和∠ACG、∠FAC和∠BCA；
同旁内角：找截线AC同旁，夹在FB、BG之间的角，可得∠BAC和∠BCA、∠FAC和∠ACG。
【答案】
(1)DE,BC 被 BF 所截形成的同位角:∠FAE 和∠B;内错角:∠B 和∠DAB。
(2)DE,BG 被 AC 所截形成的内错角:∠EAC 和∠BCA,∠DAC 和∠ACG;同旁内角:∠EAC 和∠ACG,∠DAC 和∠BCA。
(3)FB,BG 被 AC 所截形成的内错角:∠BAC 和∠ACG,∠FAC 和∠BCA;同旁内角:∠BAC 和∠BCA,∠FAC 和∠ACG。
【知识点】
同位角识别，内错角识别，同旁内角识别
【点评】
本题属于三线八角的基础考查题，解题的关键是先找准每一问的截线和被截直线，再结合三类角的位置特征判断，熟练掌握相关定义就能准确作答。
【难度系数】
0.8
18.如图，$AB // CD$，$∠ A + ∠ C = 180°$，求证$AD // CE$. 
答案
18.证明:
∵ AB//CD.
∴ ∠A=∠D(两直线平行,内错角相等).
又
∵ ∠A+∠C=180°,
∴ ∠D+∠C=180°,
∴ AD//CE(同旁内角互补,两直线平行).
∵ AB//CD.
∴ ∠A=∠D(两直线平行,内错角相等).
又
∵ ∠A+∠C=180°,
∴ ∠D+∠C=180°,
∴ AD//CE(同旁内角互补,两直线平行).
解析
【分析】
要证明AD//CE，根据平行线的判定规则，只需推导出∠D与∠C的和为180°（同旁内角互补，两直线平行）。首先利用已知的AB//CD，由平行线的性质可得内错角∠A=∠D，再结合给出的∠A+∠C=180°，通过等量代换就能得到∠D+∠C=180°，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB//CD，
∴ ∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠A+∠C=180°，
∴ ∠D+∠C=180°（等量代换），
∴ AD//CE（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
证明:
∵ AB//CD.
∴ ∠A=∠D(两直线平行,内错角相等).
又
∵ ∠A+∠C=180°,
∴ ∠D+∠C=180°,
∴ AD//CE(同旁内角互补,两直线平行).
【知识点】
平行线的性质、等量代换、平行线的判定
【点评】
本题考察平行线性质与判定的综合应用，解题时要注意区分二者的使用场景：由线的平行关系推导角的数量关系用平行线的性质，由角的数量关系推导线的平行关系用平行线的判定，熟练掌握对应规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要证明AD//CE，根据平行线的判定规则，只需推导出∠D与∠C的和为180°（同旁内角互补，两直线平行）。首先利用已知的AB//CD，由平行线的性质可得内错角∠A=∠D，再结合给出的∠A+∠C=180°，通过等量代换就能得到∠D+∠C=180°，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB//CD，
∴ ∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠A+∠C=180°，
∴ ∠D+∠C=180°（等量代换），
∴ AD//CE（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
证明:
∵ AB//CD.
∴ ∠A=∠D(两直线平行,内错角相等).
又
∵ ∠A+∠C=180°,
∴ ∠D+∠C=180°,
∴ AD//CE(同旁内角互补,两直线平行).
【知识点】
平行线的性质、等量代换、平行线的判定
【点评】
本题考察平行线性质与判定的综合应用，解题时要注意区分二者的使用场景：由线的平行关系推导角的数量关系用平行线的性质，由角的数量关系推导线的平行关系用平行线的判定，熟练掌握对应规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
19.如图，$a,b,c,d$均为直线.请从下列三个条件:①$∠1=∠5$;②$∠3=∠4$;③$∠1+∠4=180°$中选择一个合适的条件,使$∠2=∠3$成立.
你选择的条件是
你选择的条件是
①
(填序号),并给出相应的证明过程.答案
19.解:答案不唯一,如图
,选①.证明:
∵∠1=∠5,
∴c//d(内错角相等,两直线平行),
∴∠3=∠6(两直线平行,同位角相等).
∵∠2=∠6,
∴∠2=∠3(等量代换).
解析
【分析】
这是一道开放性几何证明题，我们可以用逆推法梳理思路：要证∠2=∠3，首先∠2和它的对顶角∠6相等，因此只需证明∠3=∠6即可。∠3和∠6是直线c、d被直线b所截形成的同位角，要得到这组角相等，需要先证明c//d。我们从给出的条件中选择可以推出c//d的条件即可，比如选条件①∠1=∠5：∠1和∠5是直线c、d被直线a所截的内错角，内错角相等即可判定c//d，后续就能按逻辑推出最终结论。
【解析】
我们选择条件①，证明过程如下：
∵∠1=∠5，
∴$\boldsymbol{c// d}$（内错角相等，两直线平行），
∴$\boldsymbol{∠3=∠6}$（两直线平行，同位角相等）。
又
∵∠2=∠6（对顶角相等），
∴∠2=∠3（等量代换）。
【答案】
答案不唯一，如图，选①。证明：
∵∠1=∠5，
∴c//d(内错角相等，两直线平行)，
∴∠3=∠6(两直线平行，同位角相等)。
∵∠2=∠6，
∴∠2=∠3(等量代换)。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题考查平行线判定与性质的综合应用，解题时可以通过逆推法梳理逻辑，明确角的数量关系和直线位置关系的互推规则即可解答，选择其余符合要求的条件也可完成证明。
【难度系数】
0.7
这是一道开放性几何证明题，我们可以用逆推法梳理思路：要证∠2=∠3，首先∠2和它的对顶角∠6相等，因此只需证明∠3=∠6即可。∠3和∠6是直线c、d被直线b所截形成的同位角，要得到这组角相等，需要先证明c//d。我们从给出的条件中选择可以推出c//d的条件即可，比如选条件①∠1=∠5：∠1和∠5是直线c、d被直线a所截的内错角，内错角相等即可判定c//d，后续就能按逻辑推出最终结论。
【解析】
我们选择条件①，证明过程如下：
∵∠1=∠5，
∴$\boldsymbol{c// d}$（内错角相等，两直线平行），
∴$\boldsymbol{∠3=∠6}$（两直线平行，同位角相等）。
又
∵∠2=∠6（对顶角相等），
∴∠2=∠3（等量代换）。
【答案】
答案不唯一，如图
，选①。证明：∵∠1=∠5，
∴c//d(内错角相等，两直线平行)，
∴∠3=∠6(两直线平行，同位角相等)。
∵∠2=∠6，
∴∠2=∠3(等量代换)。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题考查平行线判定与性质的综合应用，解题时可以通过逆推法梳理逻辑，明确角的数量关系和直线位置关系的互推规则即可解答，选择其余符合要求的条件也可完成证明。
【难度系数】
0.7
