12. 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（图2）。
（1）在图1中画出折痕所在的直线DE。直线DE分别与AB，AC相交于点D，E，连接CD（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）。
（2）在（1）的条件下，证明：△BDC是等腰三角形。

解：(1) 作出线段AC的垂直平分线DE，DE分别交AB、AC于点D、E，连接CD，保留尺规作图痕迹即可。
(2) 证明：
由折叠的性质可知，DE垂直平分AC，
∴ AD = CD，
∴ ∠A = ∠ACD。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，∠ACD + ∠BCD = 90°，
∴ ∠B = ∠BCD，
∴ BD = CD，
∴ △BDC是等腰三角形。

13. 如图，AD为$△ ABC$的角平分线，$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$，连接$EF$交$AD$于点$G$。
(1)求证:$AD$垂直平分$EF$。
(2)若$∠ BAC=60°$,猜测$DG$与$AG$间有何数量关系?请说明理由。

(1) 证明：
∵ AD为△ABC的角平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴ $DE=DF$，$∠ AED=∠ AFD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$和$\mathrm{Rt}△ AFD$中，
$\begin{cases}AD=AD \\DE=DF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AFD\ (\mathrm{HL})$，
∴ $AE=AF$。
又∵ AD平分$∠ BAC$，
∴ AD垂直平分EF（等腰三角形顶角平分线垂直平分底边）。
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(2) 解：猜测$AG=3DG$，理由如下：
∵ $∠ BAC=60°$，AD平分$∠ BAC$，
∴ $∠ EAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。
∵ $DE⊥ AB$，
∴ $∠ AED=90°$，
∴ $∠ ADE=90°-∠ EAD=60°$。
由(1)知$AD⊥ EF$，即$∠ DGE=90°$，
∴ $∠ DEG=90°-∠ ADE=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ DEG$中，$∠ DEG=30°$，
∴ $DG=\frac{1}{2}DE$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ EAD=30°$，
∴ $DE=\frac{1}{2}AD$，
∴ $DG=\frac{1}{4}AD$，即$AD=4DG$。
∵ $AG=AD-DG$，
∴ $AG=4DG-DG=3DG$。

14. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°。
(1)利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法):
①作∠B 的平分线 BD,交 AC 于点 D;
②过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E。
(2)试猜想线段 DE 与 CD 之间的数量关系,并说明理由。

解：(1) 按要求完成尺规作图，保留对应作图痕迹，标注点D、E，作图结果符合题意即可。
(2) 猜想：$DE = CD$。
理由如下：
$\because$ BD是$∠ ABC$的平分线，$∠ C=90°$，
$\therefore DC⊥ BC$。
又$\because DE⊥ AB$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
$\therefore DE = CD$。