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6. 如图，I是$△ ABC$三条角平分线的交点，$△ ABI$的面积记为$S_1$，$△ ACI$的面积记为$S_2$，$△ BCI$的面积记为$S_3$，则$S_1+S_2$与$S_3$的大小关系是（）
A.$S_1+S_2=S_3$
B.$S_1+S_2＜S_3$
C.$S_1+S_2＞S_3$
D.无法确定
A.$S_1+S_2=S_3$
B.$S_1+S_2＜S_3$
C.$S_1+S_2＞S_3$
D.无法确定
答案
C
解析
过点I分别作ID⊥AB于D，IE⊥AC于E，IF⊥BC于F。
因为I是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，可得ID=IE=IF，设该距离为r。
则$S_1=\frac{1}{2}· AB· r$，$S_2=\frac{1}{2}· AC· r$，$S_3=\frac{1}{2}· BC· r$，因此$S_1+S_2=\frac{1}{2}r(AB+AC)$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，得$AB+AC＞BC$，因此$\frac{1}{2}r(AB+AC)＞\frac{1}{2}r· BC$，即$S_1+S_2＞S_3$。
因为I是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，可得ID=IE=IF，设该距离为r。
则$S_1=\frac{1}{2}· AB· r$，$S_2=\frac{1}{2}· AC· r$，$S_3=\frac{1}{2}· BC· r$，因此$S_1+S_2=\frac{1}{2}r(AB+AC)$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，得$AB+AC＞BC$，因此$\frac{1}{2}r(AB+AC)＞\frac{1}{2}r· BC$，即$S_1+S_2＞S_3$。
7.如图，P是∠AOC平分线上的一点，PD⊥OA，垂足为D，且PD=$\sqrt{2}$，M是射线OC上一动点，则PM的最小值为。
G E O
G E O
答案
$\sqrt{2}$
解析
解：过点P作PM₀⊥OC，垂足为M₀。
∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PM₀⊥OC，
∴由角平分线的性质得：PM₀ = PD = √2。
根据垂线段最短，当动点M与M₀重合时，PM取得最小值。
即PM的最小值为√2。
∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PM₀⊥OC，
∴由角平分线的性质得：PM₀ = PD = √2。
根据垂线段最短，当动点M与M₀重合时，PM取得最小值。
即PM的最小值为√2。
8. 如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点O。BO交AC于点F，过点O作OG//BC交BA延长线于点E，交CA延长线于点G，连接AO，有以下结论：①CG－BE＝GE；②FG＝FO；③S△BCO∶S△ABO＝BC∶AB；④若∠ACO＝α，则∠AOB＝90°－α。其中正确的结论有（填序号）。
答案
解：
1. 判断结论①：
∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠CBO
∵OG//BC，∴∠EOB=∠CBO，∴∠EBO=∠EOB，得BE=EO
∵CO平分∠ACD，∴∠GCO=∠OCD
∵OG//BC，∴∠GOC=∠OCD，∴∠GCO=∠GOC，得CG=GO
又∵GO=GE+EO，代入EO=BE得CG=GE+BE，移项得CG-BE=GE，故①正确。
2. 判断结论②：
∠G=∠ACB，∠FOG=∠OCD=1/2∠ACD，仅当∠ACB=1/2∠ACD时FG=FO成立，该关系不恒成立，故②错误。
3. 判断结论③：
∵O是∠ABC平分线和∠ACD平分线的交点，∴O到AB的距离等于O到BC的距离，设该距离为h
则$S_{△ BCO}=\frac{1}{2}· BC· h$，$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}· AB· h$，因此$S_{△ BCO}:S_{△ ABO}=BC:AB$，故③正确。
4. 判断结论④：
∵CO平分∠ACD，∠ACO=α，∴∠ACD=2α，∠ACB=180°-2α
∵AO平分∠BAC的外角，∴∠OAC=$\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)$
∠OAB=∠BAC+∠OAC=$90°+\frac{1}{2}∠ BAC$，∠OBA=$\frac{1}{2}∠ ABC$
∴∠AOB=$180°-∠ OAB-∠ OBA$
=$180°-(90°+\frac{1}{2}∠ BAC)-\frac{1}{2}∠ ABC$
=$90°-\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)$
又∵∠BAC+∠ABC=$180°-∠ ACB=2α$，代入得∠AOB=$90°-α$，故④正确。
综上，正确的结论是$\boldsymbol{①③④}$。
1. 判断结论①：
∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠CBO
∵OG//BC，∴∠EOB=∠CBO，∴∠EBO=∠EOB，得BE=EO
∵CO平分∠ACD，∴∠GCO=∠OCD
∵OG//BC，∴∠GOC=∠OCD，∴∠GCO=∠GOC，得CG=GO
又∵GO=GE+EO，代入EO=BE得CG=GE+BE，移项得CG-BE=GE，故①正确。
2. 判断结论②：
∠G=∠ACB，∠FOG=∠OCD=1/2∠ACD，仅当∠ACB=1/2∠ACD时FG=FO成立，该关系不恒成立，故②错误。
3. 判断结论③：
∵O是∠ABC平分线和∠ACD平分线的交点，∴O到AB的距离等于O到BC的距离，设该距离为h
则$S_{△ BCO}=\frac{1}{2}· BC· h$，$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}· AB· h$，因此$S_{△ BCO}:S_{△ ABO}=BC:AB$，故③正确。
4. 判断结论④：
∵CO平分∠ACD，∠ACO=α，∴∠ACD=2α，∠ACB=180°-2α
∵AO平分∠BAC的外角，∴∠OAC=$\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)$
∠OAB=∠BAC+∠OAC=$90°+\frac{1}{2}∠ BAC$，∠OBA=$\frac{1}{2}∠ ABC$
∴∠AOB=$180°-∠ OAB-∠ OBA$
=$180°-(90°+\frac{1}{2}∠ BAC)-\frac{1}{2}∠ ABC$
=$90°-\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)$
又∵∠BAC+∠ABC=$180°-∠ ACB=2α$，代入得∠AOB=$90°-α$，故④正确。
综上，正确的结论是$\boldsymbol{①③④}$。
9.如图,在$△ ABC$中,$AB＞AC$,AD是$∠ BAC$的平分线,AM是BC边上的中线,用反证法说明点M与点D不重合。
答案
证明：
假设点M与点D重合。
∵ AM是BC边上的中线，M、D重合，
∴ BD = CD。
延长AD（即AM）至点E，使DE = AD，连接BE。
在△BDE和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\∠BDE = ∠CDA \\DE = AD\end{array} $
∴ △BDE ≌ △CDA（SAS），
∴ BE = AC，∠E = ∠CAD。
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD，
∴ ∠BAD = ∠E，
∴ AB = BE，
∴ AB = AC。
这与已知条件AB ＞ AC矛盾，
∴ 假设不成立，即点M与点D不重合。
假设点M与点D重合。
∵ AM是BC边上的中线，M、D重合，
∴ BD = CD。
延长AD（即AM）至点E，使DE = AD，连接BE。
在△BDE和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\∠BDE = ∠CDA \\DE = AD\end{array} $
∴ △BDE ≌ △CDA（SAS），
∴ BE = AC，∠E = ∠CAD。
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD，
∴ ∠BAD = ∠E，
∴ AB = BE，
∴ AB = AC。
这与已知条件AB ＞ AC矛盾，
∴ 假设不成立，即点M与点D不重合。
10.已知:如图,在△ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,E是边AB上一点,连接DE,已知∠A=60°,∠C=40°,∠BDE=40°。求证:DE//BC。
答案
证明：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 60° - 40° = 80°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 40°。
又∵ ∠BDE = 40°，
∴ ∠DBC = ∠BDE。
根据内错角相等，两直线平行，可得
DE//BC。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 60° - 40° = 80°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 40°。
又∵ ∠BDE = 40°，
∴ ∠DBC = ∠BDE。
根据内错角相等，两直线平行，可得
DE//BC。
11.如图1，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房。现要在两条马路OM，ON之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等。如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）。
答案
解：
点P即为所求作的点：
1. 保留尺规作∠MON的角平分线的所有圆弧痕迹，该射线上的点满足到OM、ON的距离相等；
2. 保留尺规作线段AB的垂直平分线的所有圆弧痕迹，该直线上的点满足到A、B的距离相等；
两条线在∠MON内部的交点标注为P，即为符合要求的鲜花交易中心位置。
点P即为所求作的点：
1. 保留尺规作∠MON的角平分线的所有圆弧痕迹，该射线上的点满足到OM、ON的距离相等；
2. 保留尺规作线段AB的垂直平分线的所有圆弧痕迹，该直线上的点满足到A、B的距离相等；
两条线在∠MON内部的交点标注为P，即为符合要求的鲜花交易中心位置。
