13.如图，CE平分∠ACD，AE平分∠CAB交CD于点F，且∠1+∠2=90°.
(1)试说明：AB//CD；
(2)若∠3−∠4=20°，求∠AFC的度数.

13.解:(1)
∵CE平分∠ACD,AE平分∠CAB,
∴∠BAC=2∠1,∠ACD=2∠2.
∵∠1+∠2=90°,
∴2∠1+2∠2=180°.
∴∠BAC+∠ACD=180°.
∴AB//CD.
(2)
∵CE平分∠ACD,AE平分∠CAB，
∴∠1=∠3=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠2=∠4=$\frac{1}{2}$∠ACD.
∵∠BAC+∠ACD=180°,
∴2∠3+2∠4=180°.
∴∠3+∠4=90°.
∵∠3−∠4=20°,
∴∠4=35°,∠3=55°.
∴∠1=∠3=55°.
∵AB//CD,
∴∠AFC=∠1=55°.
∴∠AFC的度数为55°.

【分析】
(1) 要证明AB//CD，可通过证明同旁内角互补实现。已知AE、CE分别是∠CAB和∠ACD的角平分线，可先将∠CAB、∠ACD分别用∠1、∠2表示，结合∠1+∠2=90°即可推出两个同旁内角的和为180°，进而证得平行。
(2) 先根据角平分线的性质得到∠1=∠3、∠2=∠4，结合∠3+∠4=90°和已知的∠3−∠4=20°，可求出∠3的度数，再利用平行线的内错角相等的性质，即可得到∠AFC的度数。
【解析】
(1)
∵CE平分∠ACD，AE平分∠CAB，
∴∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2。
∵∠1+∠2=90°，
∴2∠1+2∠2=180°，即∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB//CD。
(2)
∵CE平分∠ACD，AE平分∠CAB，
∴∠1=∠3=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠2=∠4=$\frac{1}{2}$∠ACD。
∵∠BAC+∠ACD=180°，
∴2∠3+2∠4=180°，即∠3+∠4=90°。
又
∵∠3−∠4=20°，
联立两式解得：∠4=35°，∠3=55°，
∴∠1=∠3=55°。
∵AB//CD，
∴∠AFC=∠1=55°。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boxed{55°}$
【知识点】
角平分线的定义、平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题是平行线相关的典型综合题，解题核心是利用角平分线实现倍角与半角的转化，再结合平行线的判定和性质建立角的数量关系求解，对逻辑推理能力有一定锻炼。
【难度系数】
0.7

14. 如图(1)，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成的，利用平面镜反射光线，提醒后方车辆注意，图(2)展示了光的反射定律，EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，经AB反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与垂线EF所夹的锐角$∠ θ _{1}=∠ θ _{2}$。
请继续以下探究.
(1)如图(2)，比较大小：$∠ α$ $∠ β$(选填“＞”“＜”或“＝”)；
(2)如图(3)，若$EF\bot FG$，判断光线AB和CD的位置关系，并说明理由(三角形内角和为$180°$)；
(3)在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点D会高于反射点C[如图(4)]，因此小亮认为反射光线CD应与水平视线成一定角度.学习小组设计了如图(5)所示的模拟实验装置，使入射光线$AB// DH$，当CD与DH所成夹角为$15°$时，求$∠ BFC$的度数.

14.(1)=
(2)解:AB//CD.理由如下:
设∠ABE=∠α,∠DCG=∠β,
由(1),知∠CBF=∠α,∠BCF=∠β.
∵EF⊥FG,
∴∠F=90°.
∵∠CBF+∠BCF+∠F=180°,
∴∠α+∠β=90°.
∴∠ABC=180°−∠ABE−∠CBF=180°−2∠α,
同理∠DCB=180°−2∠β,
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴AB//CD.
(3)解:如图,过点C作CM//AB.

∴∠ABC+∠BCM=180°.
∵AB//DH,
∴CM//DH.
∴∠DCM=∠CDH=15°.
设∠ABE=∠α,∠DCG=∠β,
由(1),知∠CBF=∠α,∠BCF=∠β.
∵∠ABC=180°−∠ABE−∠CBF=180°−2∠α,
同理∠BCD=180°−2∠β,
∴∠BCM=∠BCD−∠DCM=165°−2∠β.
∵∠ABC+∠BCM=180°,
∴180°−2∠α+165°−2∠β=180°.
∴∠α+∠β=82.5°.
∵∠CBF+∠BCF+∠F=180°,
∴∠BFC=180°−(∠BCF+∠CBF)=97.5°.

【分析】
(1) 根据光的反射定律可知入射光线、反射光线与垂线的夹角相等，且这两个角分别与∠α、∠β互余，根据等角的余角相等即可判断两角大小关系。
(2) 判断两直线位置关系优先考虑平行，可通过验证同旁内角互补推导：先结合(1)的反射角相等结论，由EF⊥FG得直角，结合三角形内角和算出两个反射角的和为90°，再计算∠ABC与∠BCD的和为180°，即可得到平行结论。
(3) 已知AB//DH，可过C作CM//AB，利用平行线的传递性得CM//DH，得到∠DCM=15°；再结合反射角相等的性质，用参数表示相关角度，根据平行线同旁内角互补列等式求出两个反射角的和，最后在△BFC中用三角形内角和即可算出∠BFC的度数。
【解析】
(1) 由光的反射定律得∠θ₁=∠θ₂，又
∵∠θ₁+∠α=90°，∠θ₂+∠β=90°，根据等角的余角相等，可得∠α=∠β。
(2) AB//CD，理由如下：
设∠ABE=∠α，∠DCG=∠β，
由(1)的结论，知∠CBF=∠α，∠BCF=∠β。
∵EF⊥FG，
∴∠F=90°。
∵∠CBF+∠BCF+∠F=180°，
∴∠α+∠β=90°。
∴∠ABC=180°−∠ABE−∠CBF=180°−2∠α，
同理∠DCB=180°−2∠β，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴AB//CD。
(3) 如图，过点C作CM//AB。

∴∠ABC+∠BCM=180°。
∵AB//DH，
∴CM//DH。
∴∠DCM=∠CDH=15°。
设∠ABE=∠α，∠DCG=∠β，
由(1)的结论，知∠CBF=∠α，∠BCF=∠β。
∵∠ABC=180°−∠ABE−∠CBF=180°−2∠α，
同理∠BCD=180°−2∠β，
∴∠BCM=∠BCD−∠DCM=165°−2∠β。
∵∠ABC+∠BCM=180°，
∴180°−2∠α+165°−2∠β=180°，
∴∠α+∠β=82.5°。
∵∠CBF+∠BCF+∠F=180°，
∴∠BFC=180°−(∠BCF+∠CBF)=97.5°。
【答案】
(1) =
(2) AB//CD，理由如下：
设∠ABE=∠α，∠DCG=∠β，
由(1)，知∠CBF=∠α，∠BCF=∠β。
∵EF⊥FG，
∴∠F=90°。
∵∠CBF+∠BCF+∠F=180°，
∴∠α+∠β=90°。
∴∠ABC=180°−∠ABE−∠CBF=180°−2∠α，
同理∠DCB=180°−2∠β，
∴∠ABC+∠DCB=180°。
∴AB//CD。
(3) 解：如图，过点C作CM//AB。

∴∠ABC+∠BCM=180°。
∵AB//DH，
∴CM//DH。
∴∠DCM=∠CDH=15°。
设∠ABE=∠α，∠DCG=∠β，
由(1)，知∠CBF=∠α，∠BCF=∠β。
∵∠ABC=180°−∠ABE−∠CBF=180°−2∠α，
同理∠BCD=180°−2∠β，
∴∠BCM=∠BCD−∠DCM=165°−2∠β。
∵∠ABC+∠BCM=180°，
∴180°−2∠α+165°−2∠β=180°。
∴∠α+∠β=82.5°。
∵∠CBF+∠BCF+∠F=180°，
∴∠BFC=180°−(∠BCF+∠CBF)=97.5°。
【知识点】
平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等角的余角相等
【点评】
本题结合生活中自行车尾灯的实际场景命题，将物理光的反射规律与几何知识点融合考查，既覆盖了核心基础几何定理，又锻炼了学生综合运用知识解决实际问题的能力，应用性较强。
【难度系数】
0.6