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1. 有下列说法：①绝对值是它本身的数是正数；②最大的负整数是$-1$；③有理数分为正有理数和负有理数；④在数轴上$7$与$9$之间的有理数是$8$；⑤数轴上表示$-a$的点一定在原点的左边.其中错误的有（
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
D
）A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案
1. D
解析
【分析】
这是一道有理数相关的概念辨析题，解题的核心思路是逐个对给出的5个说法结合对应的数学概念逐一验证正误，统计出错误说法的总个数后匹配对应选项。判断过程中要紧扣定义，尤其注意0这类特殊数的性质，避免遗漏特殊情况导致判断失误。
【解析】
我们逐个对5个说法进行验证：
1. 分析说法①：绝对值等于它本身的数除了正数之外，还有0，因此“绝对值是它本身的数是正数”的表述错误；
2. 分析说法②：负整数是小于0的整数，最大的负整数确实是-1，该说法正确；
3. 分析说法③：有理数完整分类包含正有理数、0、负有理数，该说法遗漏了0，表述错误；
4. 分析说法④：数轴上7与9之间存在无数个有理数，比如7.1、8.4等，并非只有有理数8，该说法错误；
5. 分析说法⑤：-a的符号由a的取值决定，若a是负数，-a为正数，对应点在原点右侧；若a=0，-a=0对应点在原点上，因此“数轴上表示-a的点一定在原点的左边”表述错误。
综上，错误的说法为①③④⑤，共4个。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质，有理数分类，数轴的定义
【点评】
本题是有理数入门阶段的典型易错题，全部考察基础概念，很多同学容易忽略0的特殊属性，还会下意识把数轴上两点之间的数默认为整数，解题时要牢记概念的严谨性，遇到含字母的表述要多考虑不同取值的情况，避免以偏概全。
【难度系数】
0.5
这是一道有理数相关的概念辨析题，解题的核心思路是逐个对给出的5个说法结合对应的数学概念逐一验证正误，统计出错误说法的总个数后匹配对应选项。判断过程中要紧扣定义，尤其注意0这类特殊数的性质，避免遗漏特殊情况导致判断失误。
【解析】
我们逐个对5个说法进行验证：
1. 分析说法①：绝对值等于它本身的数除了正数之外，还有0，因此“绝对值是它本身的数是正数”的表述错误；
2. 分析说法②：负整数是小于0的整数，最大的负整数确实是-1，该说法正确；
3. 分析说法③：有理数完整分类包含正有理数、0、负有理数，该说法遗漏了0，表述错误；
4. 分析说法④：数轴上7与9之间存在无数个有理数，比如7.1、8.4等，并非只有有理数8，该说法错误；
5. 分析说法⑤：-a的符号由a的取值决定，若a是负数，-a为正数，对应点在原点右侧；若a=0，-a=0对应点在原点上，因此“数轴上表示-a的点一定在原点的左边”表述错误。
综上，错误的说法为①③④⑤，共4个。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质，有理数分类，数轴的定义
【点评】
本题是有理数入门阶段的典型易错题，全部考察基础概念，很多同学容易忽略0的特殊属性，还会下意识把数轴上两点之间的数默认为整数，解题时要牢记概念的严谨性，遇到含字母的表述要多考虑不同取值的情况，避免以偏概全。
【难度系数】
0.5
2. 已知数轴上$A,B$两点分别表示有理数$-3,-6$.若在数轴上找一点$C$,使得点$A$与点$C$的距离为$4$,再找一点$D$,使得点$B$与点$D$的距离为$1$,则点$C$与点$D$的距离不可能为（
A.$0$
B.$2$
C.$4$
D.$6$
C
）A.$0$
B.$2$
C.$4$
D.$6$
答案
2. C 提示:如图,在数轴上满足点 A 与点 C 的距离为 4 的点 C 有点 $C_1$ 和点 $C_2$,满足点 B 与点 D 的距离为 1 的点 D 有点 $D_1$ 和点 $D_2$,所以 $C_1D_1=6$,$C_1D_2=8$,$C_2D_1=2$,$C_2D_2=0$,所以点 C 与点 D 的距离可能为 6,8,2,0,不可能为 4.
解析
【分析】
这道题的核心是数轴上两点间距离的计算，解题思路可以按三步走：第一步，先根据点A的位置和AC的距离要求，把所有符合条件的点C的数值全部求出来，注意数轴上到一个定点距离为定值的点有2个，分别在定点的左右两侧，不能漏解；第二步，同理根据点B的位置和BD的距离要求，求出所有符合条件的点D的数值；第三步，将所有C和D的组合的距离逐一计算，枚举所有可能的CD取值，再对照选项就能找出不可能的那个结果。
【解析】
解：
1. 求所有符合条件的点C表示的有理数：
已知点A表示的数为-3，点C到A的距离为4，根据数轴上两点距离公式：若两点表示的数为$x_1$、$x_2$，则两点距离为$|x_1 - x_2|$，可得：
$|C - (-3)| = 4$，即$|C + 3| = 4$
去掉绝对值符号得：$C + 3 = 4$ 或 $C + 3 = -4$
解得：$C_1 = 1$，$C_2 = -7$，即符合条件的点C共有2个。
2. 求所有符合条件的点D表示的有理数：
已知点B表示的数为-6，点D到B的距离为1，同理可得：
$|D - (-6)| = 1$，即$|D + 6| = 1$
去掉绝对值符号得：$D + 6 = 1$ 或 $D + 6 = -1$
解得：$D_1 = -5$，$D_2 = -7$，即符合条件的点D共有2个。
3. 计算所有C、D组合的距离：
当$C=1$，$D=-5$时，$CD=|1 - (-5)|=6$
当$C=1$，$D=-7$时，$CD=|1 - (-7)|=8$
当$C=-7$，$D=-5$时，$CD=|-7 - (-5)|=2$
当$C=-7$，$D=-7$时，$CD=|-7 - (-7)|=0$
因此点C和点D的距离可能取值为0、2、6、8，不可能为4。
【答案】
C
【知识点】
数轴两点距离，绝对值方程求解
【点评】
本题属于数轴相关的基础题型，最容易出错的地方是漏解，不少同学会默认点在定点的某一侧，漏掉另一侧的符合条件的点，导致计算的距离取值不全，只要牢记数轴上到定点距离为定值的点有2个，枚举所有点再逐一计算距离就能得到全部可能结果，顺利选出答案。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是数轴上两点间距离的计算，解题思路可以按三步走：第一步，先根据点A的位置和AC的距离要求，把所有符合条件的点C的数值全部求出来，注意数轴上到一个定点距离为定值的点有2个，分别在定点的左右两侧，不能漏解；第二步，同理根据点B的位置和BD的距离要求，求出所有符合条件的点D的数值；第三步，将所有C和D的组合的距离逐一计算，枚举所有可能的CD取值，再对照选项就能找出不可能的那个结果。
【解析】
解：
1. 求所有符合条件的点C表示的有理数：
已知点A表示的数为-3，点C到A的距离为4，根据数轴上两点距离公式：若两点表示的数为$x_1$、$x_2$，则两点距离为$|x_1 - x_2|$，可得：
$|C - (-3)| = 4$，即$|C + 3| = 4$
去掉绝对值符号得：$C + 3 = 4$ 或 $C + 3 = -4$
解得：$C_1 = 1$，$C_2 = -7$，即符合条件的点C共有2个。
2. 求所有符合条件的点D表示的有理数：
已知点B表示的数为-6，点D到B的距离为1，同理可得：
$|D - (-6)| = 1$，即$|D + 6| = 1$
去掉绝对值符号得：$D + 6 = 1$ 或 $D + 6 = -1$
解得：$D_1 = -5$，$D_2 = -7$，即符合条件的点D共有2个。
3. 计算所有C、D组合的距离：
当$C=1$，$D=-5$时，$CD=|1 - (-5)|=6$
当$C=1$，$D=-7$时，$CD=|1 - (-7)|=8$
当$C=-7$，$D=-5$时，$CD=|-7 - (-5)|=2$
当$C=-7$，$D=-7$时，$CD=|-7 - (-7)|=0$
因此点C和点D的距离可能取值为0、2、6、8，不可能为4。
【答案】
C
【知识点】
数轴两点距离，绝对值方程求解
【点评】
本题属于数轴相关的基础题型，最容易出错的地方是漏解，不少同学会默认点在定点的某一侧，漏掉另一侧的符合条件的点，导致计算的距离取值不全，只要牢记数轴上到定点距离为定值的点有2个，枚举所有点再逐一计算距离就能得到全部可能结果，顺利选出答案。
【难度系数】
0.7
3. 若$0＜a＜1$,则下列关于$a,-a,\dfrac{1}{a},-\dfrac{1}{a}$的大小关系正确的是（
A.$\dfrac{1}{a}＞a＞-\dfrac{1}{a}＞-a$
B.$\dfrac{1}{a}＞a＞-a＞-\dfrac{1}{a}$
C.$a＞\dfrac{1}{a}＞-\dfrac{1}{a}＞-a$
D.$a＞-\dfrac{1}{a}＞\dfrac{1}{a}＞-a$
B
）A.$\dfrac{1}{a}＞a＞-\dfrac{1}{a}＞-a$
B.$\dfrac{1}{a}＞a＞-a＞-\dfrac{1}{a}$
C.$a＞\dfrac{1}{a}＞-\dfrac{1}{a}＞-a$
D.$a＞-\dfrac{1}{a}＞\dfrac{1}{a}＞-a$
答案
3. B 提示:特殊值法,如取 $a=\dfrac{1}{2}$,则 $-a=-\dfrac{1}{2}$,$\dfrac{1}{a}=2$,$-\dfrac{1}{a}=-2$,所以 $\dfrac{1}{a}＞a＞-a＞-\dfrac{1}{a}$.
解析
【分析】
这道题给定了a的取值范围0＜a＜1，要比较四个含a的代数式的大小，作为选择题，最简便的解题思路是使用特殊值法：不需要通过不等式性质做复杂推导，只需要选取一个完全符合条件0＜a＜1的具体数值，分别代入四个代数式算出对应的具体实数，再直接对算出的数值排序，就能快速匹配出正确选项，这种方法步骤少、准确率高，非常适配这类题型。
【解析】
解：已知0＜a＜1，选取符合该范围的特殊值$a=\frac{1}{2}$，分别计算四个代数式的结果：
1. $a=\frac{1}{2}$
2. $-a=-\frac{1}{2}$
3. $\frac{1}{a}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
4. $-\frac{1}{a}=-2$
将四个计算得到的数值按从大到小排序可得：$2＞\frac{1}{2}＞-\frac{1}{2}＞-2$，对应回原代数式就是$\frac{1}{a}＞a＞-a＞-\frac{1}{a}$，和选项B的结论一致。
【答案】
B
【知识点】
有理数大小比较，特殊值法，倒数运算
【点评】
本题属于基础的代数式大小比较题型，利用特殊值法可以跳过繁琐的不等式推导，快速得到结果，是做这类给定变量取值范围的选择题的常用技巧，也可以通过不等式性质推导验证结论，适合刚接触有理数比较的学生巩固基础。
【难度系数】
0.8
这道题给定了a的取值范围0＜a＜1，要比较四个含a的代数式的大小，作为选择题，最简便的解题思路是使用特殊值法：不需要通过不等式性质做复杂推导，只需要选取一个完全符合条件0＜a＜1的具体数值，分别代入四个代数式算出对应的具体实数，再直接对算出的数值排序，就能快速匹配出正确选项，这种方法步骤少、准确率高，非常适配这类题型。
【解析】
解：已知0＜a＜1，选取符合该范围的特殊值$a=\frac{1}{2}$，分别计算四个代数式的结果：
1. $a=\frac{1}{2}$
2. $-a=-\frac{1}{2}$
3. $\frac{1}{a}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
4. $-\frac{1}{a}=-2$
将四个计算得到的数值按从大到小排序可得：$2＞\frac{1}{2}＞-\frac{1}{2}＞-2$，对应回原代数式就是$\frac{1}{a}＞a＞-a＞-\frac{1}{a}$，和选项B的结论一致。
【答案】
B
【知识点】
有理数大小比较，特殊值法，倒数运算
【点评】
本题属于基础的代数式大小比较题型，利用特殊值法可以跳过繁琐的不等式推导，快速得到结果，是做这类给定变量取值范围的选择题的常用技巧，也可以通过不等式性质推导验证结论，适合刚接触有理数比较的学生巩固基础。
【难度系数】
0.8
4. 比较有理数的大小：$-\dfrac{111}{1111}\_\_\_\_\_\_-\dfrac{1111}{111111}$（填“$＞$”“$＜$”或“$=$”）。
答案
4. $＜$ 提示: 因为 $\left|-\dfrac{111}{1111}\right|=\dfrac{111}{1111}$,$\left|-\dfrac{1111}{111111}\right|=\dfrac{1111}{111111}$,取倒数,得$\dfrac{1111}{111}=\dfrac{1110+1}{111}=10+\dfrac{1}{111}$,$\dfrac{111111}{1111}=\dfrac{111100+11}{1111}=100+\dfrac{11}{1111}$, 所以 $\dfrac{111111}{1111}-\dfrac{1111}{111}=(100+\dfrac{11}{1111})-(10+\dfrac{1}{111})=100-10+\dfrac{11}{1111}-\dfrac{1}{111}＞0$,所以 $\dfrac{111111}{1111}＞\dfrac{1111}{111}$,所以 $\dfrac{111}{1111}＞\dfrac{1111}{111111}$,所以 $-\dfrac{111}{1111}＜-\dfrac{1111}{111111}$.
解析
【分析】
首先观察两个待比较的数都是负数，根据有理数大小比较的基础规则：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，因此我们可以先跳过直接比较负数的步骤，优先比较两个数的绝对值$\dfrac{111}{1111}$和$\dfrac{1111}{111111}$的大小。这两个正分数的分子、分母数值都很大，直接通分或者计算小数近似值的运算量极高，所以可以利用正数的倒数性质：两个正数，倒数越大，原数反而越小，通过取倒数的方式把复杂分数拆成整数加极小分数的形式，就能非常简便地比较两个倒数的大小，进而推导出两个绝对值的大小，最后再结合负数比较规则得到最终结果。
【解析】
1. 计算两个负数的绝对值
$\left|-\dfrac{111}{1111}\right|=\dfrac{111}{1111}$，$\left|-\dfrac{1111}{111111}\right|=\dfrac{1111}{111111}$
2. 对两个正分数取倒数并拆分简化
对$\dfrac{111}{1111}$取倒数：$\dfrac{1111}{111}=\dfrac{1110+1}{111}=10+\dfrac{1}{111}$
对$\dfrac{1111}{111111}$取倒数：$\dfrac{111111}{1111}=\dfrac{111100+11}{1111}=100+\dfrac{11}{1111}$
3. 比较两个倒数的大小
计算两个倒数的差值：
$\dfrac{111111}{1111}-\dfrac{1111}{111}=(100+\dfrac{11}{1111})-(10+\dfrac{1}{111})=90+\dfrac{11}{1111}-\dfrac{1}{111}$
显然$90＞0$，且$\dfrac{11}{1111}-\dfrac{1}{111}=\dfrac{1221-1111}{1111×111}＞0$，因此整体差值大于0，可得$\dfrac{111111}{1111}＞\dfrac{1111}{111}$
4. 推导两个绝对值的大小
根据正数的倒数性质：正数的倒数越大，原数越小，可得$\dfrac{111}{1111}＞\dfrac{1111}{111111}$
5. 推导原负数的大小
根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，最终得到$-\dfrac{111}{1111}＜-\dfrac{1111}{111111}$
【答案】
$＜$
【知识点】
有理数大小比较，倒数的性质，分数拆分运算
【点评】
本题是有理数大小比较的典型技巧题，避开了常规通分、化小数的复杂运算，用倒数法大幅降低了大数分数的比较难度，解题思路非常巧妙。同学们遇到分子分母数值偏大的正分数比较类题目时，可以优先尝试倒数法、作差法等技巧提升解题效率，同时要注意负数比较的规则，不要忘记最后反转绝对值的大小关系。
【难度系数】
0.5
首先观察两个待比较的数都是负数，根据有理数大小比较的基础规则：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，因此我们可以先跳过直接比较负数的步骤，优先比较两个数的绝对值$\dfrac{111}{1111}$和$\dfrac{1111}{111111}$的大小。这两个正分数的分子、分母数值都很大，直接通分或者计算小数近似值的运算量极高，所以可以利用正数的倒数性质：两个正数，倒数越大，原数反而越小，通过取倒数的方式把复杂分数拆成整数加极小分数的形式，就能非常简便地比较两个倒数的大小，进而推导出两个绝对值的大小，最后再结合负数比较规则得到最终结果。
【解析】
1. 计算两个负数的绝对值
$\left|-\dfrac{111}{1111}\right|=\dfrac{111}{1111}$，$\left|-\dfrac{1111}{111111}\right|=\dfrac{1111}{111111}$
2. 对两个正分数取倒数并拆分简化
对$\dfrac{111}{1111}$取倒数：$\dfrac{1111}{111}=\dfrac{1110+1}{111}=10+\dfrac{1}{111}$
对$\dfrac{1111}{111111}$取倒数：$\dfrac{111111}{1111}=\dfrac{111100+11}{1111}=100+\dfrac{11}{1111}$
3. 比较两个倒数的大小
计算两个倒数的差值：
$\dfrac{111111}{1111}-\dfrac{1111}{111}=(100+\dfrac{11}{1111})-(10+\dfrac{1}{111})=90+\dfrac{11}{1111}-\dfrac{1}{111}$
显然$90＞0$，且$\dfrac{11}{1111}-\dfrac{1}{111}=\dfrac{1221-1111}{1111×111}＞0$，因此整体差值大于0，可得$\dfrac{111111}{1111}＞\dfrac{1111}{111}$
4. 推导两个绝对值的大小
根据正数的倒数性质：正数的倒数越大，原数越小，可得$\dfrac{111}{1111}＞\dfrac{1111}{111111}$
5. 推导原负数的大小
根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，最终得到$-\dfrac{111}{1111}＜-\dfrac{1111}{111111}$
【答案】
$＜$
【知识点】
有理数大小比较，倒数的性质，分数拆分运算
【点评】
本题是有理数大小比较的典型技巧题，避开了常规通分、化小数的复杂运算，用倒数法大幅降低了大数分数的比较难度，解题思路非常巧妙。同学们遇到分子分母数值偏大的正分数比较类题目时，可以优先尝试倒数法、作差法等技巧提升解题效率，同时要注意负数比较的规则，不要忘记最后反转绝对值的大小关系。
【难度系数】
0.5
5. 规定以下两种变换：①$f(m,n)=(m,-n)$，如$f(3,2)=(3,-2)$；②$g(m,n)=(-m,-n)$，如$g(3,2)=(-3,-2)$。按照以上变换有$f(g(3,4))=f(-3,-4)=(-3,4)$，那么$g(f(5,-6))=$
(-5,-6)
。答案
5. $(-5,-6)$
解析
【分析】
这是一道嵌套型的新定义运算题，解题思路遵循从内到外的运算顺序：首先先计算内层括号里的f(5,-6)，对照题目给出的f变换规则，代入对应坐标算出结果；再把得到的结果作为g变换的输入，对照g变换的规则计算最终值，过程中要注意符号的变化，不要搞错两个变换的规则差异。
【解析】
第一步：计算内层的f(5,-6)
根据变换规则①：f(m,n)=(m,-n)，将m=5，n=-6代入，可得：
f(5,-6)=(5, -(-6))=(5,6)
第二步：将第一步得到的结果代入g变换计算
根据变换规则②：g(m,n)=(-m,-n)，将m=5，n=6代入，可得：
g(5,6)=(-5,-6)
因此g(f(5,-6))=(-5,-6)
【答案】
$(-5,-6)$
【知识点】
新定义运算，点的坐标变换
【点评】
本题属于新定义题型的基础题，只要严格按照题目给出的变换规则分步运算即可得到结果，易错点是处理负号时容易出错，提醒学生遇到嵌套运算优先计算内层部分，不要颠倒运算顺序。
【难度系数】
0.8
这是一道嵌套型的新定义运算题，解题思路遵循从内到外的运算顺序：首先先计算内层括号里的f(5,-6)，对照题目给出的f变换规则，代入对应坐标算出结果；再把得到的结果作为g变换的输入，对照g变换的规则计算最终值，过程中要注意符号的变化，不要搞错两个变换的规则差异。
【解析】
第一步：计算内层的f(5,-6)
根据变换规则①：f(m,n)=(m,-n)，将m=5，n=-6代入，可得：
f(5,-6)=(5, -(-6))=(5,6)
第二步：将第一步得到的结果代入g变换计算
根据变换规则②：g(m,n)=(-m,-n)，将m=5，n=6代入，可得：
g(5,6)=(-5,-6)
因此g(f(5,-6))=(-5,-6)
【答案】
$(-5,-6)$
【知识点】
新定义运算，点的坐标变换
【点评】
本题属于新定义题型的基础题，只要严格按照题目给出的变换规则分步运算即可得到结果，易错点是处理负号时容易出错，提醒学生遇到嵌套运算优先计算内层部分，不要颠倒运算顺序。
【难度系数】
0.8
6. 若符号$[a,b]$表示$a,b$两个有理数中较大的数,符号$(a,b)$表示$a,b$两个有理数中
较小的数,则$[-1,-\dfrac{1}{2}]$
$(0,-\dfrac{2}{3})$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).
较小的数,则$[-1,-\dfrac{1}{2}]$
$＞$
$(0,-\dfrac{2}{3})$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).
答案
6. $＞$ 提示:根据题意,得 $[-1,-\dfrac{1}{2}]=-\dfrac{1}{2}$,$(0,-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$. 因为 $-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{6}$,$-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{6}$,$\left|-\dfrac{3}{6}\right|=\dfrac{3}{6}＜\left|-\dfrac{4}{6}\right|=\dfrac{4}{6}$,所以 $-\dfrac{1}{2}＞-\dfrac{2}{3}$.
解析
【分析】
这是一道自定义新运算的基础题型，我们首先要明确题目给出的两个符号的规则：符号[a,b]取两个有理数里较大的数，符号(a,b)取两个有理数里较小的数。解题第一步先分别按照规则计算出横线左右两边式子的结果，第二步再结合负数比较大小的规则，对比两个计算结果的大小，就能得到最终答案，注意不要把两个符号“取大”“取小”的含义搞反。
【解析】
解：根据题目给出的运算定义分步计算：
1. 计算左侧式子$[-1,-\dfrac{1}{2}]$：
该符号要求取-1和$-\dfrac{1}{2}$中较大的数，因为$-1 ＜ -\dfrac{1}{2}$，因此$[-1,-\dfrac{1}{2}]=-\dfrac{1}{2}$。
2. 计算右侧式子$(0,-\dfrac{2}{3})$：
该符号要求取0和$-\dfrac{2}{3}$中较小的数，因为$-\dfrac{2}{3} ＜ 0$，因此$(0,-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$。
3. 比较两个结果的大小：
将两个负数通分可得：$-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{6}$，$-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{6}$，
计算二者的绝对值：$\left|-\dfrac{3}{6}\right|=\dfrac{3}{6}$，$\left|-\dfrac{4}{6}\right|=\dfrac{4}{6}$，
根据负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而更小，由$\dfrac{3}{6}＜\dfrac{4}{6}$可得$-\dfrac{1}{2} ＞ -\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$＞$
【知识点】
新定义运算，有理数大小比较
【点评】
本题是非常基础的新定义题型，只要准确理解题目给出的取大、取小的运算规则，不混淆两个符号的含义，结合已学的负数大小比较方法就能顺利求解，这类题的易错点就是把两个符号的功能搞反，解题时严格对照题干规则代入计算即可避免出错。
【难度系数】
0.8
这是一道自定义新运算的基础题型，我们首先要明确题目给出的两个符号的规则：符号[a,b]取两个有理数里较大的数，符号(a,b)取两个有理数里较小的数。解题第一步先分别按照规则计算出横线左右两边式子的结果，第二步再结合负数比较大小的规则，对比两个计算结果的大小，就能得到最终答案，注意不要把两个符号“取大”“取小”的含义搞反。
【解析】
解：根据题目给出的运算定义分步计算：
1. 计算左侧式子$[-1,-\dfrac{1}{2}]$：
该符号要求取-1和$-\dfrac{1}{2}$中较大的数，因为$-1 ＜ -\dfrac{1}{2}$，因此$[-1,-\dfrac{1}{2}]=-\dfrac{1}{2}$。
2. 计算右侧式子$(0,-\dfrac{2}{3})$：
该符号要求取0和$-\dfrac{2}{3}$中较小的数，因为$-\dfrac{2}{3} ＜ 0$，因此$(0,-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$。
3. 比较两个结果的大小：
将两个负数通分可得：$-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{6}$，$-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{6}$，
计算二者的绝对值：$\left|-\dfrac{3}{6}\right|=\dfrac{3}{6}$，$\left|-\dfrac{4}{6}\right|=\dfrac{4}{6}$，
根据负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而更小，由$\dfrac{3}{6}＜\dfrac{4}{6}$可得$-\dfrac{1}{2} ＞ -\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$＞$
【知识点】
新定义运算，有理数大小比较
【点评】
本题是非常基础的新定义题型，只要准确理解题目给出的取大、取小的运算规则，不混淆两个符号的含义，结合已学的负数大小比较方法就能顺利求解，这类题的易错点就是把两个符号的功能搞反，解题时严格对照题干规则代入计算即可避免出错。
【难度系数】
0.8
7. 如图,数轴上每相邻两点相距1个单位长度,点 A,B,C,D 对应的数分别是整数 a,
$b,c,d$,且$b-2a=3c+d+21$,那么数轴上原点的对应点是
$b,c,d$,且$b-2a=3c+d+21$,那么数轴上原点的对应点是
D
.答案
7. D 提示:由题图可知 $d-c=3$,$d-b=4$,$d-a=8$,故 $c=d-3$,$b=d-4$,$a=d-8$,代入 $b-2a=3c+d+21$,得 $d-4-2(d-8)=3(d-3)+d+21$,解得 $d=0$.故数轴上原点的对应点是 D.
解析
【分析】
解题时首先要利用数轴的特性：相邻两点相距1个单位，先数出A、B、C、D四个点之间的间隔数，得到四个整数a、b、c、d的差值关系，把其中三个变量都用同一个变量表示，将题目给出的含四个变量的等式转化为仅含一个未知数的一元一次方程，解出未知数后，找到对应数值为0的点，就是数轴的原点。本题选择用d表示其余三个数，代入方程计算会更直观。
【解析】
解：由数轴相邻两点相距1个单位长度，观察点的间隔可得：
点C到D的距离为3，点B到D的距离为4，点A到D的距离为8，即：
$d-c=3$，$d-b=4$，$d-a=8$
因此可以将a、b、c都用d表示：
$c=d-3$，$b=d-4$，$a=d-8$
将上述关系代入等式$b-2a=3c+d+21$：
左边$=(d-4)-2(d-8)=d-4-2d+16=-d+12$
右边$=3(d-3)+d+21=3d-9+d+21=4d+12$
令左右两边相等：
$-d+12=4d+12$
移项合并同类项得$-5d=0$，解得$d=0$
即点D对应的数为0，因此数轴上原点的对应点是D。
【答案】
D
【知识点】
数轴的认识，一元一次方程
【点评】
本题是数轴结合方程的典型数形结合题，核心思路是通过数轴的位置关系消去多余变量，把多变量等式简化为一元一次方程求解，易错点是数错点之间的间隔数，导致变量关系列错，整体考察了学生对数轴概念的理解和代数转化能力。
【难度系数】
0.3
解题时首先要利用数轴的特性：相邻两点相距1个单位，先数出A、B、C、D四个点之间的间隔数，得到四个整数a、b、c、d的差值关系，把其中三个变量都用同一个变量表示，将题目给出的含四个变量的等式转化为仅含一个未知数的一元一次方程，解出未知数后，找到对应数值为0的点，就是数轴的原点。本题选择用d表示其余三个数，代入方程计算会更直观。
【解析】
解：由数轴相邻两点相距1个单位长度，观察点的间隔可得：
点C到D的距离为3，点B到D的距离为4，点A到D的距离为8，即：
$d-c=3$，$d-b=4$，$d-a=8$
因此可以将a、b、c都用d表示：
$c=d-3$，$b=d-4$，$a=d-8$
将上述关系代入等式$b-2a=3c+d+21$：
左边$=(d-4)-2(d-8)=d-4-2d+16=-d+12$
右边$=3(d-3)+d+21=3d-9+d+21=4d+12$
令左右两边相等：
$-d+12=4d+12$
移项合并同类项得$-5d=0$，解得$d=0$
即点D对应的数为0，因此数轴上原点的对应点是D。
【答案】
D
【知识点】
数轴的认识，一元一次方程
【点评】
本题是数轴结合方程的典型数形结合题，核心思路是通过数轴的位置关系消去多余变量，把多变量等式简化为一元一次方程求解，易错点是数错点之间的间隔数，导致变量关系列错，整体考察了学生对数轴概念的理解和代数转化能力。
【难度系数】
0.3
8. 一只小虫在数轴上从点 A 出发,第 1 次向正方向爬行 1 个单位长度,第 2 次向负方向爬行 2 个单位长度,第 3 次又向正方向爬行 3 个单位长度……若它第 123 次刚好爬到数轴上的原点处休整,那么小虫爬行过程中经过数-50.5在数轴上对应的点的次数是
101
.答案
8. 101 提示:根据题意,设小虫的出发点 A 对应的数为 $a$,经过 $m$ 次爬行第 1 次经过数 $-50.5$ 对应的点.因为它第 123 次刚好爬到数轴上的原点处,所以 $a+1-2+3-4+5-6+\dots-122+123=0$,所以 $a-61+123=0$,所以 $a=-62$.因为小虫每爬行 2 次向负方向爬行 1 个单位长度,$-62＜-50.5$,所以可知小虫第 $m$ 次是向正方向爬行,且 $m$ 为奇数,此时小虫爬行到数 $-50$ 对应的点.令 $-62+1-2+3-4+\dots-(m-1)+m=-50$,所以 $-62-\dfrac{m-1}{2}+m=-50$,解得 $m=23$.所以小虫爬行过程中经过数 $-50.5$ 在数轴上对应的点的次数为 $123-23+1=101$.
解析
【分析】
这道题是数轴动点结合规律探究的问题，解题思路分三步：第一步，先根据“第123次爬行后到达原点”的已知条件，对交替加减的爬行路程分组求和，先算出出发点A对应的数值；第二步，对比出发点和目标点-50.5的大小，判断小虫第一次经过-50.5的场景，通过列方程求出第一次经过该点对应的爬行次数；第三步，结合后续小虫的爬行规律，统计从第一次经过目标点到第123次爬行结束的所有经过次数，即可得到最终结果。
【解析】
1. 求出发点A对应的数
设点A对应的数为$a$，根据题意，小虫第123次爬行后位置为0，因此可列等式：
$a + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots -122 + 123 = 0$
将相邻两个数分组：$(1-2)+(3-4)+\dots+(121-122)+123$，共61组，每组结果为$-1$，因此总和为$-61 + 123 = 62$，代入等式得：
$a + 62 = 0 \implies a = -62$
2. 确定第一次经过-50.5对应的爬行次数
由于$a=-62 ＜ -50.5$，小虫初始位置在-50.5左侧，第一次向正方向爬行时才会首次经过-50.5，该次爬行是奇数步。设第$m$次（$m$为奇数）爬行结束时，小虫到达$-50$的位置，该次爬行过程会经过$-50.5$，列等式：
$-62 + 1 - 2 + 3 -4 + \dots -(m-1) + m = -50$
对左侧分组化简：前$m-1$项共$\frac{m-1}{2}$组，每组和为$-1$，因此左侧可改写为：
$-62 - \frac{m-1}{2} + m = -50$
解方程得：
$-62 + \frac{m+1}{2} = -50 \implies \frac{m+1}{2}=12 \implies m=23$
即第23次爬行是小虫第一次经过-50.5的过程。
3. 统计总经过次数
从第23次爬行到第123次爬行结束，小虫每次往返爬行都会经过-50.5一次，总经过次数为：
$123 - 23 + 1 = 101$
【答案】101
【知识点】数轴动点，有理数加减，规律探究
【点评】本题的核心易错点是混淆“爬行结束后停留的位置”和“爬行过程中经过的点”，不能直接套用停止位置的规律计算，需要先理清小虫的运动路径，先定位首次经过目标点的时机，再统计所有经过的次数，对学生的逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】0.3
这道题是数轴动点结合规律探究的问题，解题思路分三步：第一步，先根据“第123次爬行后到达原点”的已知条件，对交替加减的爬行路程分组求和，先算出出发点A对应的数值；第二步，对比出发点和目标点-50.5的大小，判断小虫第一次经过-50.5的场景，通过列方程求出第一次经过该点对应的爬行次数；第三步，结合后续小虫的爬行规律，统计从第一次经过目标点到第123次爬行结束的所有经过次数，即可得到最终结果。
【解析】
1. 求出发点A对应的数
设点A对应的数为$a$，根据题意，小虫第123次爬行后位置为0，因此可列等式：
$a + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots -122 + 123 = 0$
将相邻两个数分组：$(1-2)+(3-4)+\dots+(121-122)+123$，共61组，每组结果为$-1$，因此总和为$-61 + 123 = 62$，代入等式得：
$a + 62 = 0 \implies a = -62$
2. 确定第一次经过-50.5对应的爬行次数
由于$a=-62 ＜ -50.5$，小虫初始位置在-50.5左侧，第一次向正方向爬行时才会首次经过-50.5，该次爬行是奇数步。设第$m$次（$m$为奇数）爬行结束时，小虫到达$-50$的位置，该次爬行过程会经过$-50.5$，列等式：
$-62 + 1 - 2 + 3 -4 + \dots -(m-1) + m = -50$
对左侧分组化简：前$m-1$项共$\frac{m-1}{2}$组，每组和为$-1$，因此左侧可改写为：
$-62 - \frac{m-1}{2} + m = -50$
解方程得：
$-62 + \frac{m+1}{2} = -50 \implies \frac{m+1}{2}=12 \implies m=23$
即第23次爬行是小虫第一次经过-50.5的过程。
3. 统计总经过次数
从第23次爬行到第123次爬行结束，小虫每次往返爬行都会经过-50.5一次，总经过次数为：
$123 - 23 + 1 = 101$
【答案】101
【知识点】数轴动点，有理数加减，规律探究
【点评】本题的核心易错点是混淆“爬行结束后停留的位置”和“爬行过程中经过的点”，不能直接套用停止位置的规律计算，需要先理清小虫的运动路径，先定位首次经过目标点的时机，再统计所有经过的次数，对学生的逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】0.3
9. 如图,半径为1的小圆与半径为2的大圆有一个公共点与数轴上的原点重合,两圆在数轴上做无滑动的滚动,小圆的运动速度为每秒$π$个单位长度,大圆的运动速度为每秒$2π$个单位长度.
(1) 若小圆不动,大圆沿数轴来回滚动,规定大圆向右滚动的时间记为正数,向左滚动的时间记为负数,依次滚动的情况记录如下(单位:s):
$-1,+2,-4,-2,+3,+6.$
①第
②当大圆结束运动时,大圆运动的路程共有多少?此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少(结果保留$π$)?
(2) 若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动,滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距$9π$,求此时两圆与数轴重合的点所表示的数.
(1) 若小圆不动,大圆沿数轴来回滚动,规定大圆向右滚动的时间记为正数,向左滚动的时间记为负数,依次滚动的情况记录如下(单位:s):
$-1,+2,-4,-2,+3,+6.$
①第
4
次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离最远.②当大圆结束运动时,大圆运动的路程共有多少?此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少(结果保留$π$)?
(2) 若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动,滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距$9π$,求此时两圆与数轴重合的点所表示的数.
答案
9. 解:(1) ①4 提示:根据题意可知,第 1 次到第 6 次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离分别为 $2π$,$2π$,$6π$,$10π$,$4π$,$8π$,所以第 4 次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离最远.
②总路程为$(|-1|+|2|+|-4|+|-2|+|3|+|6|)×2π=36π$,此时两圆与数轴重合的点之间的距离为$|-1+2-4-2+3+6|×2π=8π$.
(2) ①当它们同向运动时,运动时间为 $\dfrac{9π}{2π-π}=9(\mathrm{s})$,小圆、大圆与数轴重合的点所表示的数分别为 $9π$,$18π$ 或 $-9π$,$-18π$;
②当它们反向运动时,运动时间为 $\dfrac{9π}{π+2π}=3(\mathrm{s})$,小圆、大圆与数轴重合的点所表示的数分别为 $-3π$,$6π$ 或 $3π$,$-6π$.
②总路程为$(|-1|+|2|+|-4|+|-2|+|3|+|6|)×2π=36π$,此时两圆与数轴重合的点之间的距离为$|-1+2-4-2+3+6|×2π=8π$.
(2) ①当它们同向运动时,运动时间为 $\dfrac{9π}{2π-π}=9(\mathrm{s})$,小圆、大圆与数轴重合的点所表示的数分别为 $9π$,$18π$ 或 $-9π$,$-18π$;
②当它们反向运动时,运动时间为 $\dfrac{9π}{π+2π}=3(\mathrm{s})$,小圆、大圆与数轴重合的点所表示的数分别为 $-3π$,$6π$ 或 $3π$,$-6π$.
解析
【分析】
这道题是数轴与圆无滑动滚动结合的有理数应用问题，解题思路如下：
1. 对于(1)①：逐次计算每次滚动后，大圆相对于原点的累计位移，位移等于带符号的滚动时间乘以大圆速度2π，取位移的绝对值就是公共点到原点的距离，将6次的距离对比，就能找到距离最远的那次。
2. 对于(1)②：路程是标量，和运动方向无关，先把所有滚动时间的绝对值相加得到总滚动时长，乘以大圆速度就得到总路程；再把所有带符号的滚动时间求和，乘以速度得到大圆最终的位置，因为小圆不动在原点，两个重合点的距离就是大圆最终位置的绝对值。
3. 对于(2)：两圆同时滚动，要分两类情况讨论：同向运动时相对速度是两圆速度的差，反向运动时相对速度是两圆速度的和，先根据相距9π算出运动总时长，再分别对应不同的运动方向，算出两个重合点表示的数，避免漏解。
【解析】
(1) ① 逐次计算每次滚动后大圆公共点到原点的距离：
第1次滚动后：位移为$-1×2π=-2π$，距离原点距离为$|-2π|=2π$；
第2次滚动后：累计时间为$-1+2=1$，位移为$1×2π=2π$，距离原点距离为$|2π|=2π$；
第3次滚动后：累计时间为$1-4=-3$，位移为$-3×2π=-6π$，距离原点距离为$|-6π|=6π$；
第4次滚动后：累计时间为$-3-2=-5$，位移为$-5×2π=-10π$，距离原点距离为$|-10π|=10π$；
第5次滚动后：累计时间为$-5+3=-2$，位移为$-2×2π=-4π$，距离原点距离为$|-4π|=4π$；
第6次滚动后：累计时间为$-2+6=4$，位移为$4×2π=8π$，距离原点距离为$|8π|=8π$；
对比6个距离$2π、2π、6π、10π、4π、8π$，最大值为$10π$，对应第4次滚动后。
② 计算总路程：
所有滚动时间的绝对值之和为$|-1|+|+2|+|-4|+|-2|+|+3|+|+6|=1+2+4+2+3+6=18\ \mathrm{s}$，
总路程 = 总时长 × 大圆速度 = $18×2π=36π$；
最终累计带符号时间和为$-1+2-4-2+3+6=4\ \mathrm{s}$，
大圆最终与数轴重合点的位置为$4×2π=8π$，小圆始终在原点，因此两重合点的距离为$|8π-0|=8π$。
(2) 分两种情况讨论：
情况1：两圆同向运动
相对速度为$2π-π=π$，相距$9π$时运动时间$t=\frac{9π}{π}=9\ \mathrm{s}$：
若两圆都向右滚动：小圆重合点表示的数为$9×π=9π$，大圆重合点表示的数为$9×2π=18π$；
若两圆都向左滚动：小圆重合点表示的数为$-9×π=-9π$，大圆重合点表示的数为$-9×2π=-18π$。
情况2：两圆反向运动
相对速度为$2π+π=3π$，相距$9π$时运动时间$t=\frac{9π}{3π}=3\ \mathrm{s}$：
若小圆向左、大圆向右滚动：小圆重合点表示的数为$-3×π=-3π$，大圆重合点表示的数为$3×2π=6π$；
若小圆向右、大圆向左滚动：小圆重合点表示的数为$3×π=3π$，大圆重合点表示的数为$-3×2π=-6π$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{4}$；② 大圆运动的总路程为$36π$，两圆与数轴重合的点之间的距离为$8π$；
(2) 同向运动时两重合点表示的数为$9π、18π$或$-9π、-18π$；反向运动时两重合点表示的数为$-3π、6π$或$3π、-6π$。
【知识点】
数轴两点距离，有理数绝对值，行程分类讨论
【点评】
本题是数轴结合圆滚动的综合应用题，核心是区分路程（标量）和位移（矢量）的差异，第二问需要对运动方向进行完整分类，很容易遗漏反向运动的两种方向情况，解题时要注意分情况梳理所有可能的运动方向，避免漏解。
【难度系数】
0.45
这道题是数轴与圆无滑动滚动结合的有理数应用问题，解题思路如下：
1. 对于(1)①：逐次计算每次滚动后，大圆相对于原点的累计位移，位移等于带符号的滚动时间乘以大圆速度2π，取位移的绝对值就是公共点到原点的距离，将6次的距离对比，就能找到距离最远的那次。
2. 对于(1)②：路程是标量，和运动方向无关，先把所有滚动时间的绝对值相加得到总滚动时长，乘以大圆速度就得到总路程；再把所有带符号的滚动时间求和，乘以速度得到大圆最终的位置，因为小圆不动在原点，两个重合点的距离就是大圆最终位置的绝对值。
3. 对于(2)：两圆同时滚动，要分两类情况讨论：同向运动时相对速度是两圆速度的差，反向运动时相对速度是两圆速度的和，先根据相距9π算出运动总时长，再分别对应不同的运动方向，算出两个重合点表示的数，避免漏解。
【解析】
(1) ① 逐次计算每次滚动后大圆公共点到原点的距离：
第1次滚动后：位移为$-1×2π=-2π$，距离原点距离为$|-2π|=2π$；
第2次滚动后：累计时间为$-1+2=1$，位移为$1×2π=2π$，距离原点距离为$|2π|=2π$；
第3次滚动后：累计时间为$1-4=-3$，位移为$-3×2π=-6π$，距离原点距离为$|-6π|=6π$；
第4次滚动后：累计时间为$-3-2=-5$，位移为$-5×2π=-10π$，距离原点距离为$|-10π|=10π$；
第5次滚动后：累计时间为$-5+3=-2$，位移为$-2×2π=-4π$，距离原点距离为$|-4π|=4π$；
第6次滚动后：累计时间为$-2+6=4$，位移为$4×2π=8π$，距离原点距离为$|8π|=8π$；
对比6个距离$2π、2π、6π、10π、4π、8π$，最大值为$10π$，对应第4次滚动后。
② 计算总路程：
所有滚动时间的绝对值之和为$|-1|+|+2|+|-4|+|-2|+|+3|+|+6|=1+2+4+2+3+6=18\ \mathrm{s}$，
总路程 = 总时长 × 大圆速度 = $18×2π=36π$；
最终累计带符号时间和为$-1+2-4-2+3+6=4\ \mathrm{s}$，
大圆最终与数轴重合点的位置为$4×2π=8π$，小圆始终在原点，因此两重合点的距离为$|8π-0|=8π$。
(2) 分两种情况讨论：
情况1：两圆同向运动
相对速度为$2π-π=π$，相距$9π$时运动时间$t=\frac{9π}{π}=9\ \mathrm{s}$：
若两圆都向右滚动：小圆重合点表示的数为$9×π=9π$，大圆重合点表示的数为$9×2π=18π$；
若两圆都向左滚动：小圆重合点表示的数为$-9×π=-9π$，大圆重合点表示的数为$-9×2π=-18π$。
情况2：两圆反向运动
相对速度为$2π+π=3π$，相距$9π$时运动时间$t=\frac{9π}{3π}=3\ \mathrm{s}$：
若小圆向左、大圆向右滚动：小圆重合点表示的数为$-3×π=-3π$，大圆重合点表示的数为$3×2π=6π$；
若小圆向右、大圆向左滚动：小圆重合点表示的数为$3×π=3π$，大圆重合点表示的数为$-3×2π=-6π$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{4}$；② 大圆运动的总路程为$36π$，两圆与数轴重合的点之间的距离为$8π$；
(2) 同向运动时两重合点表示的数为$9π、18π$或$-9π、-18π$；反向运动时两重合点表示的数为$-3π、6π$或$3π、-6π$。
【知识点】
数轴两点距离，有理数绝对值，行程分类讨论
【点评】
本题是数轴结合圆滚动的综合应用题，核心是区分路程（标量）和位移（矢量）的差异，第二问需要对运动方向进行完整分类，很容易遗漏反向运动的两种方向情况，解题时要注意分情况梳理所有可能的运动方向，避免漏解。
【难度系数】
0.45
