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10. 如果 $M=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{6}×\dots ×\dfrac{97}{98}×\dfrac{99}{100},N=\left\lvert -\dfrac{1}{10}\right\rvert$，那么 $M$ 与 $N$ 的大小关系是（
A.$M＜N$
B.$M=N$
C.$M＞N$
D.$M^2=N^2$
A
）A.$M＜N$
B.$M=N$
C.$M＞N$
D.$M^2=N^2$
答案
10. A 提示:设 $A=\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{5}×\dots ×\dfrac{96}{97}×\dfrac{98}{99}×\dfrac{100}{101}$. 因为 $\dfrac{1}{2}＜\dfrac{2}{3}$,$\dfrac{3}{4}＜\dfrac{4}{5}$,$\dots$,$\dfrac{99}{100}＜\dfrac{100}{101}$,$M=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{6}\dots ×\dfrac{97}{98}×\dfrac{99}{100}$,所以 $A＞M$,所以 $A×M=\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{5}×\dots ×\dfrac{96}{97}×\dfrac{98}{99}×\dfrac{100}{101}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{6}×\dots ×\dfrac{97}{98}×\dfrac{99}{100}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{4}{5}×\dots ×\dfrac{97}{98}×\dfrac{98}{99}×\dfrac{99}{100}×\dfrac{100}{101}=\dfrac{1}{101}＜\dfrac{1}{100}$,所以 $A×M＜\dfrac{1}{10}×\dfrac{1}{10}$,所以 $M＜\dfrac{1}{10}$. 因为 $N=\left\lvert -\dfrac{1}{10}\right\rvert=\dfrac{1}{10}$,所以 $M＜N$.
解析
【分析】
这道题如果直接硬算M的乘积数值，计算量极大且很难得到准确结果，我们可以用构造配对式的思路来解题：第一步先算出N的具体值，发现N等于1/10，接下来只需要比较M和1/10的大小即可；第二步观察M的连乘规律，它的每一项都是(2k-1)/(2k)的形式，我们可以构造一个所有项都比M的对应项大的连乘式A，让M和A相乘的时候可以通过交叉约分消掉中间所有的分子分母，得到一个非常简洁的结果；第三步利用A＞M的关系，就能推出M² ＜ M×A，进而通过放缩得到M和1/10的大小关系，最终得到M和N的大小关系。
【解析】
解：首先计算N的值：
$N=\left\lvert -\dfrac{1}{10}\right\rvert=\dfrac{1}{10}$
设辅助连乘式$A=\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{5}×\dots ×\dfrac{98}{99}×\dfrac{100}{101}$
观察M和A的对应项：
$\dfrac{1}{2}＜\dfrac{2}{3}$，$\dfrac{3}{4}＜\dfrac{4}{5}$，……，$\dfrac{99}{100}＜\dfrac{100}{101}$，所有项都满足M的对应项小于A的对应项，且所有项都是正数，因此可得$A＞M＞0$。
将M和A相乘进行约分计算：
$\begin{aligned}A× M&=(\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{5}×\dots ×\dfrac{100}{101})×(\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{4}×\dots ×\dfrac{99}{100})\\&=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{4}{5}×\dots ×\dfrac{99}{100}×\dfrac{100}{101}\\&=\dfrac{1}{101}\end{aligned}$
因为$A＞M＞0$，所以$M^2 ＜ A× M$，代入上面的结果得：
$M^2 ＜ \dfrac{1}{101}$
显然$\dfrac{1}{101}＜\dfrac{1}{100}=(\dfrac{1}{10})^2$，因此$M^2 ＜ (\dfrac{1}{10})^2$，又因为M和1/10都是正数，开方可得$M＜\dfrac{1}{10}$，也就是$M＜N$。
【答案】
A
【知识点】
分数连乘约分，不等式放缩，绝对值运算
【点评】
本题的核心难点是避免直接计算复杂连乘的数值，通过构造配对辅助式的技巧实现交叉约分，再利用放缩法快速比较大小，这类构造配对式的方法是处理多个真分数连乘类比较大小问题的经典技巧，需要学生观察连乘式的分子分母规律，跳出硬算的思维误区。
【难度系数】
0.2
这道题如果直接硬算M的乘积数值，计算量极大且很难得到准确结果，我们可以用构造配对式的思路来解题：第一步先算出N的具体值，发现N等于1/10，接下来只需要比较M和1/10的大小即可；第二步观察M的连乘规律，它的每一项都是(2k-1)/(2k)的形式，我们可以构造一个所有项都比M的对应项大的连乘式A，让M和A相乘的时候可以通过交叉约分消掉中间所有的分子分母，得到一个非常简洁的结果；第三步利用A＞M的关系，就能推出M² ＜ M×A，进而通过放缩得到M和1/10的大小关系，最终得到M和N的大小关系。
【解析】
解：首先计算N的值：
$N=\left\lvert -\dfrac{1}{10}\right\rvert=\dfrac{1}{10}$
设辅助连乘式$A=\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{5}×\dots ×\dfrac{98}{99}×\dfrac{100}{101}$
观察M和A的对应项：
$\dfrac{1}{2}＜\dfrac{2}{3}$，$\dfrac{3}{4}＜\dfrac{4}{5}$，……，$\dfrac{99}{100}＜\dfrac{100}{101}$，所有项都满足M的对应项小于A的对应项，且所有项都是正数，因此可得$A＞M＞0$。
将M和A相乘进行约分计算：
$\begin{aligned}A× M&=(\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{5}×\dots ×\dfrac{100}{101})×(\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{4}×\dots ×\dfrac{99}{100})\\&=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{4}{5}×\dots ×\dfrac{99}{100}×\dfrac{100}{101}\\&=\dfrac{1}{101}\end{aligned}$
因为$A＞M＞0$，所以$M^2 ＜ A× M$，代入上面的结果得：
$M^2 ＜ \dfrac{1}{101}$
显然$\dfrac{1}{101}＜\dfrac{1}{100}=(\dfrac{1}{10})^2$，因此$M^2 ＜ (\dfrac{1}{10})^2$，又因为M和1/10都是正数，开方可得$M＜\dfrac{1}{10}$，也就是$M＜N$。
【答案】
A
【知识点】
分数连乘约分，不等式放缩，绝对值运算
【点评】
本题的核心难点是避免直接计算复杂连乘的数值，通过构造配对辅助式的技巧实现交叉约分，再利用放缩法快速比较大小，这类构造配对式的方法是处理多个真分数连乘类比较大小问题的经典技巧，需要学生观察连乘式的分子分母规律，跳出硬算的思维误区。
【难度系数】
0.2
11. 如图,已知正方形$ABCD$的边长为1,在数轴上的位置如图所示,点$A$表示的数为0,点$D$表示的数为$-1$.
(1) 将正方形$ABCD$从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈(滚动一圈指线段$AD$再次落在数轴上),则点$D$表示的数是
(2) 将正方形$ABCD$从如图所示位置沿数轴向右滚动,则数2 025表示的点与点
(1) 将正方形$ABCD$从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈(滚动一圈指线段$AD$再次落在数轴上),则点$D$表示的数是
-5
.(2) 将正方形$ABCD$从如图所示位置沿数轴向右滚动,则数2 025表示的点与点
B
重合.答案
11. (1) $-5$ 提示:由题意可得,正方形 $ABCD$ 向左滚动一周,正方形 $ABCD$ 的顶点向左移动 4 个单位长度,所以正方形 $ABCD$ 向左滚动一周后,点 $D$ 表示的数为 $-1-4=-5$.
(2) $B$ 提示:因为 $2\ 025÷4=506······1$,所以将正方形 $ABCD$ 从如图所示位置沿数轴向右滚动,数 2 025 表示的点与点 $B$ 重合.
(2) $B$ 提示:因为 $2\ 025÷4=506······1$,所以将正方形 $ABCD$ 从如图所示位置沿数轴向右滚动,数 2 025 表示的点与点 $B$ 重合.
解析
【分析】
这道题我们可以分两小问逐步思考：
1. 第一问：首先正方形边长为1，滚动一圈走过的距离就是正方形的周长，也就是4个单位长度。向左滚动意味着所有点都往数轴负方向移动，数值减小，移动距离是4，原来点D表示-1，直接用原来的数减去移动的4个单位就能得到结果。
2. 第二问：向右滚动时，每滚动4个单位正方形就回到初始的摆放状态，也就是四个点会按顺序循环落在数轴上，先确定初始位置对应的点：0对应A，向右滚1单位后1对应B，滚2单位2对应C，滚3单位3对应D，滚4单位4对应A，周期是4，用2025除以4得到余数，根据余数就能判断对应的点。
【解析】
(1) 已知正方形ABCD的边长为1，因此正方形的周长为 $4×1=4$。将正方形沿数轴向左滚动一圈，所有顶点整体向左平移4个单位长度。初始时点D表示的数为-1，因此滚动后点D表示的数为：
$-1 - 4 = -5$
(2) 正方形沿数轴向右滚动时，每滚动4个单位长度，四个顶点就完成一次循环，落在数轴上的点的对应规律为：数0对应点A，数1对应点B，数2对应点C，数3对应点D，数4对应点A，循环周期为4。
计算得 $2025÷4=506······1$，余数为1，对应周期内的第1个点，即点B。
【答案】
(1) $-5$；(2) $B$
【知识点】
数轴平移，正方形周长，周期规律
【点评】
本题结合数轴与正方形滚动的实际情境命题，核心考察平移性质和循环规律的探究能力，解题关键是明确滚动一周的路程等于正方形周长，再通过枚举前几个数的对应关系快速找到周期，注意区分左右滚动的平移方向，避免计算时符号出错。
【难度系数】
0.7
这道题我们可以分两小问逐步思考：
1. 第一问：首先正方形边长为1，滚动一圈走过的距离就是正方形的周长，也就是4个单位长度。向左滚动意味着所有点都往数轴负方向移动，数值减小，移动距离是4，原来点D表示-1，直接用原来的数减去移动的4个单位就能得到结果。
2. 第二问：向右滚动时，每滚动4个单位正方形就回到初始的摆放状态，也就是四个点会按顺序循环落在数轴上，先确定初始位置对应的点：0对应A，向右滚1单位后1对应B，滚2单位2对应C，滚3单位3对应D，滚4单位4对应A，周期是4，用2025除以4得到余数，根据余数就能判断对应的点。
【解析】
(1) 已知正方形ABCD的边长为1，因此正方形的周长为 $4×1=4$。将正方形沿数轴向左滚动一圈，所有顶点整体向左平移4个单位长度。初始时点D表示的数为-1，因此滚动后点D表示的数为：
$-1 - 4 = -5$
(2) 正方形沿数轴向右滚动时，每滚动4个单位长度，四个顶点就完成一次循环，落在数轴上的点的对应规律为：数0对应点A，数1对应点B，数2对应点C，数3对应点D，数4对应点A，循环周期为4。
计算得 $2025÷4=506······1$，余数为1，对应周期内的第1个点，即点B。
【答案】
(1) $-5$；(2) $B$
【知识点】
数轴平移，正方形周长，周期规律
【点评】
本题结合数轴与正方形滚动的实际情境命题，核心考察平移性质和循环规律的探究能力，解题关键是明确滚动一周的路程等于正方形周长，再通过枚举前几个数的对应关系快速找到周期，注意区分左右滚动的平移方向，避免计算时符号出错。
【难度系数】
0.7
12. 【阅读理解】我们知道
$|x|$的几何意义是:在数
轴上数 $x$ 对应的点与原
点的距离,也就是说,
$|x|$表示在数轴上数 $x$ 与0 对应的点之间
的距离. 这个结论可以推广为:$|m-n|$表
示在数轴上数 $m,n$ 对应的点之间的
距离.
参考阅读材料,解答下列问题.
(1) 数轴上数 2 和 5 对应的点之间的距离
是
(2) 数轴上数 $x$ 和$-1$对应的点之间的距
离是
【问题探究】
(3) 若数轴上数 $a$ 对应的点位于$-3$与 5
之间,化简:$|a+3|+|a-5|$;
(4) 利用数轴探究,当$|a-1|+|a-2|$的
值最小时,数 $a$ 的取值范围;
【拓展应用】
(5) 请利用【问题探究】中的结论,求出
$|a-1|+|a-2|+|a-3|$的最小值.
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$|x|$的几何意义是:在数
轴上数 $x$ 对应的点与原
点的距离,也就是说,
$|x|$表示在数轴上数 $x$ 与0 对应的点之间
的距离. 这个结论可以推广为:$|m-n|$表
示在数轴上数 $m,n$ 对应的点之间的
距离.
参考阅读材料,解答下列问题.
(1) 数轴上数 2 和 5 对应的点之间的距离
是
3
;(2) 数轴上数 $x$ 和$-1$对应的点之间的距
离是
$|x+1|$
;【问题探究】
(3) 若数轴上数 $a$ 对应的点位于$-3$与 5
之间,化简:$|a+3|+|a-5|$;
(4) 利用数轴探究,当$|a-1|+|a-2|$的
值最小时,数 $a$ 的取值范围;
【拓展应用】
(5) 请利用【问题探究】中的结论,求出
$|a-1|+|a-2|+|a-3|$的最小值.
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答案
12. 解:(1) 3
(2) $|x+1|$
(3) 因为 $-3≤ a≤ 5$,所以 $|a+3|+|a-5|=a+3+5-a=8$.
(4) ①如图 1,当 $a＜1$ 时,$|a-1|+|a-2|=AB+AC＞1$;
②如图 2,当 $1≤ a≤ 2$ 时,$|a-1|+|a-2|=AB+AC=BC=1$;
③如图 3,当 $a＞2$ 时,$|a-1|+|a-2|=AB+AC＞1$.
所以当 $|a-1|+|a-2|$ 取最小值时,数 $a$ 的取值范围是 $1≤ a≤ 2$.
(5) $|a-1|+|a-2|+|a-3|$ 表示在数轴上数 $a$ 对应的点与数 1,2,3 对应的点的距离之和,由(4)可知,当 $1≤ a≤ 3$ 时,$|a-1|+|a-3|$ 的值最小,又因为当 $a=2$ 时,$|a-2|$ 的值最小,所以当 $a=2$ 时,$|a-1|+|a-2|+|a-3|$ 取最小值,且最小值为 $|2-1|+|2-2|+|2-3|=1+0+1=2$.
解析
【分析】
这是一道结合绝对值几何意义的阅读理解探究题，我们可以顺着题干给出的定义逐步推导：
1. 前两小问直接套用题干给出的“|m-n|表示数轴上m、n对应点的距离”的结论，代入对应数值计算即可，第一问代入m=5、n=2求两点差的绝对值，第二问代入m=x、n=-1整理得到距离表达式。
2. 第三小问已知a的取值范围在-3和5之间，先判断绝对值内部代数式的正负，再根据绝对值的代数规则去掉绝对值符号，合并同类项就能完成化简。
3. 第四小问要找两个绝对值和的最小值，我们可以按a的位置分三类讨论：a在1左侧、a在1和2之间、a在2右侧，分别计算对应的距离和，对比后就能得到取最小值时a的取值范围。
4. 第五小问是三个绝对值的和，我们可以先把首尾的|a-1|和|a-3|结合第四问的结论分析它的最小值条件，再让剩余的|a-2|也取到最小值，就能得到整体的最小结果。
【解析】
(1) 根据数轴上两点距离公式，2和5对应的点之间的距离为$|5-2|=3$；
(2) 数轴上$x$和$-1$对应的点之间的距离为$|x - (-1)|=|x+1|$；
(3) 由题意可知$-3 ≤ a ≤ 5$，此时$a+3 ≥ 0$，$a-5 ≤ 0$，因此去绝对值得：
$|a+3|+|a-5|=a+3+5-a=8$；
(4) 分三种情况讨论：
① 当$a＜1$时，$|a-1|+|a-2|$表示点$a$到1、2的距离之和，此时距离和为$(1-a)+(2-a)=3-2a＞1$；
② 当$1≤ a≤ 2$时，点$a$落在1和2之间，距离和为$(a-1)+(2-a)=1$，刚好等于1和2两点的间距；
③ 当$a＞2$时，点$a$在2的右侧，距离和为$(a-1)+(a-2)=2a-3＞1$；
对比三类情况可得，当$|a-1|+|a-2|$的值最小时，数$a$的取值范围是$1≤ a≤ 2$。
(5) $|a-1|+|a-2|+|a-3|$的几何意义是数轴上数$a$对应的点与数1、2、3对应的点的距离之和，由(4)的结论可知，当$1≤ a≤ 3$时，$|a-1|+|a-3|$的值最小，而此时当$a=2$时，$|a-2|$的值最小为0，因此代入计算得总和最小值为$|2-1|+|2-2|+|2-3|=1+0+1=2$。
【答案】
(1) 3
(2) $|x+1|$
(3) 8
(4) $1≤ a≤ 2$
(5) 2
【知识点】
绝对值几何意义，数轴两点距离，绝对值化简
【点评】
本题是典型的数形结合类探究题，设置梯度合理，从基础概念应用逐步延伸到最值探究，引导学生跳出纯代数运算的固化思维，借助数轴的直观性快速求解，能很好地锻炼学生的几何直观能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
这是一道结合绝对值几何意义的阅读理解探究题，我们可以顺着题干给出的定义逐步推导：
1. 前两小问直接套用题干给出的“|m-n|表示数轴上m、n对应点的距离”的结论，代入对应数值计算即可，第一问代入m=5、n=2求两点差的绝对值，第二问代入m=x、n=-1整理得到距离表达式。
2. 第三小问已知a的取值范围在-3和5之间，先判断绝对值内部代数式的正负，再根据绝对值的代数规则去掉绝对值符号，合并同类项就能完成化简。
3. 第四小问要找两个绝对值和的最小值，我们可以按a的位置分三类讨论：a在1左侧、a在1和2之间、a在2右侧，分别计算对应的距离和，对比后就能得到取最小值时a的取值范围。
4. 第五小问是三个绝对值的和，我们可以先把首尾的|a-1|和|a-3|结合第四问的结论分析它的最小值条件，再让剩余的|a-2|也取到最小值，就能得到整体的最小结果。
【解析】
(1) 根据数轴上两点距离公式，2和5对应的点之间的距离为$|5-2|=3$；
(2) 数轴上$x$和$-1$对应的点之间的距离为$|x - (-1)|=|x+1|$；
(3) 由题意可知$-3 ≤ a ≤ 5$，此时$a+3 ≥ 0$，$a-5 ≤ 0$，因此去绝对值得：
$|a+3|+|a-5|=a+3+5-a=8$；
(4) 分三种情况讨论：
① 当$a＜1$时，$|a-1|+|a-2|$表示点$a$到1、2的距离之和，此时距离和为$(1-a)+(2-a)=3-2a＞1$；
② 当$1≤ a≤ 2$时，点$a$落在1和2之间，距离和为$(a-1)+(2-a)=1$，刚好等于1和2两点的间距；
③ 当$a＞2$时，点$a$在2的右侧，距离和为$(a-1)+(a-2)=2a-3＞1$；
对比三类情况可得，当$|a-1|+|a-2|$的值最小时，数$a$的取值范围是$1≤ a≤ 2$。
(5) $|a-1|+|a-2|+|a-3|$的几何意义是数轴上数$a$对应的点与数1、2、3对应的点的距离之和，由(4)的结论可知，当$1≤ a≤ 3$时，$|a-1|+|a-3|$的值最小，而此时当$a=2$时，$|a-2|$的值最小为0，因此代入计算得总和最小值为$|2-1|+|2-2|+|2-3|=1+0+1=2$。
【答案】
(1) 3
(2) $|x+1|$
(3) 8
(4) $1≤ a≤ 2$
(5) 2
【知识点】
绝对值几何意义，数轴两点距离，绝对值化简
【点评】
本题是典型的数形结合类探究题，设置梯度合理，从基础概念应用逐步延伸到最值探究，引导学生跳出纯代数运算的固化思维，借助数轴的直观性快速求解，能很好地锻炼学生的几何直观能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
