19. (10分)(丽水市)如图,在梯形$ABCD$中,$AB// CD$,$∠ C=∠ D$。
(1)求证:$AD=BC$。
(2)若$AB=17$,$AD=2CD=10$,求$AB$与$CD$间的距离。

(1)如图,过点C,D分别作AB的垂线,垂足分别为E,F。
因为$CE⊥AB,DF⊥AB,AB//CD$,
所以$CE⊥CD,DF⊥CD$。所以四边形DCEF为矩形。
所以$DF=CE,∠FDC=∠ECD=90°,∠AFD=∠BEC=90°$。
因为$∠BCD=∠ADC$,所以$∠BCD-∠ECD=∠ADC-∠FDC$。
所以$∠BCE=∠ADF$。
在$△ADF$和$△BCE$中,因为$\begin{cases}∠BCE=∠ADF,\\DF=CE,\\∠AFD=∠BEC=90°,\end{cases}$
所以$△ADF≌△BCE(ASA)$。所以$AD=BC$。
(2)因为$AB=17,AD=2CD=10$,所以$CD=5$。
因为四边形DCEF为长方形,所以$EF=CD=5$。
因为$△ADF≌△BCE$,
所以$AF=BE=\frac{1}{2}(AB-EF)=\frac{1}{2}×(17-5)=6$。
在$\mathrm{Rt}△ADF$中,$AD=10,AF=6$,由勾股定理得$DF=\sqrt{AD^2-AF^2}=8$。
故AB与CD间的距离为8。

20. (10分)(绍兴市上虞区)如图,在$□ ABCD$中,E为BC中点,过点E作$EG ⊥ AB$于点G,连结DG,延长DC交GE的延长线于点H。已知$BC=10$,$∠ GDH=45°$,$DG=8\sqrt{2}$,求CD的长。

因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB//CD。因为EG⊥AB,所以$∠BGE=∠EHC=90°$。因为在$\mathrm{Rt}△DHG$中,$∠GHD=90°,∠GDH=45°,DG=8\sqrt{2}$,所以$DH=GH=8$。因为E为BC中点,$BC=10$,所以$BE=EC=5$。在$△BEG$和$△CEH$中,因为$\begin{cases}∠BGE=∠CHE,\\∠BEG=∠CEH,\\BE=EC,\end{cases}$所以$△BEG≌△CEH$。所以$GE=HE=\frac{1}{2}GH=4$。在$\mathrm{Rt}△EHC$中,因为$∠H=90°$,$CE=5,EH=4$,所以$CH=3$。所以$CD=5$。

21. (10分)(杭州市余杭区)如图,在$△ ABC$中,点 D 在 BC 上,E,F,G,H 分别是 BD,BC,AC,AD 的中点。
(1)求证:四边形 EFGH 是平行四边形。
(2)若$BD=2DC$,求证:DH 与 FG 互相平分。

(1)因为E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点,所以EH是$△ABD$的中位线,FG是$△ABC$的中位线。所以$EH\equalparallel\frac{1}{2}AB,FG\equalparallel\frac{1}{2}AB$。所以$EH\equalparallel FG$。所以四边形EFGH是平行四边形。
(2)连结HF,DG。因为G,H分别是AC,AD的中点,所以GH是$△ACD$的中位线。所以$HG\equalparallel\frac{1}{2}DC$。因为E是BD的中点,$BD=2DC$,所以$BE=ED=DC$。所以$HG\equalparallel\frac{1}{2}ED$。又由(1)知四边形EFGH是平行四边形,所以EF=HG。所以$EF=\frac{1}{2}ED$,即$EF=FD$。所以$HG\equalparallel FD$。所以四边形HFDG是平行四边形。所以DH与FG互相平分。