22. (10分)(温州市鹿城区)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$D$是$AC$的中点,$E$是$AB$的中点。作$EF ⊥ BC$于点$F$,延长$BC$至点$G$,使$GC=FB$,连结$CE,DE,DG$。
(1)求证:四边形$CEDG$是平行四边形。
(2)连结$EG$交$AC$于点$H$,若$EG ⊥ AB$,请写出图中所有长度等于$\sqrt{2}GH$的线段。

(1)因为$∠ACB=90°$,E是AB的中点,所以$EC=EA=EB$。
因为$EF⊥BC$,所以EF是$△ABC$的中位线。所以$CF=FB$。
因为D是AC的中点,E是AB的中点,所以$DE//BC,DE=\frac{1}{2}BC=FB$。因为$GC=FB$,所以$DE=GC,DE//GC$。所以四边形CEDG是平行四边形。
(2)因为四边形CEDG是平行四边形,所以$DH=CH,GH=HE$。设$DH=CH=a$,则$AD=CD=2a$。在$\mathrm{Rt}△ADE$中,$AE^2=AD^2+DE^2=4a^2+DE^2$。因为$EG⊥AB$,所以在$\mathrm{Rt}△AEH$中,$AE^2=AH^2-HE^2=9a^2-(a^2+DE^2)=8a^2-DE^2$。所以$4a^2+DE^2=8a^2-DE^2$。所以$DE=\sqrt{2}a$。所以$HE=\sqrt{3}a$,所以$AE=\sqrt{6}a$。所以$AE=\sqrt{2}HE$。因为$GH=HE,AE=EB=CE=GD$,所以线段AE,EB,EC,GD的长度都是$\sqrt{2}GH$。

23. (12分)(宁波市)如图,四边形ABCD是平行四边形,P为AD边上一动点,连结CP并延长,交BA的延长线于点M。过点M作$MN⊥BC$,垂足为N,连结AN,NP。设点P的运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)若$AD=6\ \mathrm{cm},CD=2\ \mathrm{cm},∠B=45°$。点P从点A出发,沿AD方向运动,速度为3cm/s。当t为何值时,四边形ACDM是平行四边形?
(2)在(1)的条件下,是否存在某一时刻t,使四边形ANPM是平行四边形?若存在,请求出相应的t的值;若不存在,请说明理由。

(1)假设四边形ACDM是平行四边形,则AP=PD,即$3t=6-3t$,解得$t=1$。所以当$t=1$时,四边形ACDM是平行四边形。
(2)假设存在某一时刻t,满足四边形ANPM是平行四边形,则此时AM//PN,即AB//PN。因为四边形ABCD是平行四边形,所以AP//BN。所以四边形ABNP是平行四边形。所以$PN=AB=2,BN=AP=3t$。所以$AM=PN=2,BM=AB+AM=4$。因为$MN⊥BC,∠B=45°$,所以$△BMN$是等腰直角三角形。所以$BM=\sqrt{2}BN=3\sqrt{2}t$。所以$3\sqrt{2}t=4$,解得$t=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。所以当$t=\frac{2\sqrt{2}}{3}$时,四边形ANPM是平行四边形。