10.已知EF，GH把长方形ABCD分割成四个小长方形，若已知长方形ABCD的面积，则要求阴影部分的面积，还需知道 （）

A.长方形GHCD的面积
B.长方形ABHG的面积
C.长方形EBHM的面积
D.长方形GMFD的面积

10.D 【解析】设$AG=a,GD=b,AE=c,BE=d$。$\because EF$，$GH$把长方形$ABCD$分割成四个小长方形，$\therefore ∠ A=∠ B=∠ C=90°,GM=DF=c,EM=BH=a,MF=CH=b,HM=CF=d$。$\therefore S_{\mathrm{三角形}ADE}=\dfrac{1}{2}AE· AD=\dfrac{1}{2}c\ (a+b)=\dfrac{1}{2}ac+\dfrac{1}{2}bc$，$S_{\mathrm{三角形}BEH}=\dfrac{1}{2}BH· BE=\dfrac{1}{2}ad$，$S_{\mathrm{三角形}CDH}=\dfrac{1}{2}CH· CD=\dfrac{1}{2}b\ (c+d)=\dfrac{1}{2}bc+\dfrac{1}{2}bd$，$S_{\mathrm{长方形}ABCD}=AB· BC=(d+c)\ (a+b)=ad+bd+ac+bc$。$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{长方形}ABCD}-S_{\mathrm{三角形}ADE}-S_{\mathrm{三角形}CDH}-S_{\mathrm{三角形}BEH}=ad+bd+ac+bc-\dfrac{1}{2}ac-\dfrac{1}{2}bc-\dfrac{1}{2}bc-\dfrac{1}{2}bd-\dfrac{1}{2}ad=\dfrac{1}{2}ad+\dfrac{1}{2}ac+\dfrac{1}{2}bd+\dfrac{1}{2}bc-\dfrac{1}{2}bc=\dfrac{1}{2}\ (ad+ac+bd+bc)-\dfrac{1}{2}bc=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{长方形}ABCD}-\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{长方形}GMFD}=\dfrac{1}{2}(S_{\mathrm{长方形}ABCD}-S_{\mathrm{长方形}GMFD})$。$\because$ 已知长方形$ABCD$的面积，$\therefore$ 要求阴影部分的面积，还需知道长方形$GMFD$的面积。故选D。

【分析】要确定阴影部分面积所需的条件，我们可以通过设参数表示长方形各边长度，利用“总面积减去空白部分面积”的思路，结合长方形和三角形的面积公式推导阴影面积的表达式，进而判断需要补充的条件。
【解析】设$AG=a$，$GD=b$，$AE=c$，$BE=d$。因为$EF$、$GH$将长方形$ABCD$分为四个小长方形，所以$AD=a+b$，$AB=c+d$，且各小长方形的边长对应关系为：$GM=DF=c$，$EM=BH=a$，$MF=CH=b$，$HM=CF=d$。
1. 计算三个空白三角形的面积：
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AE· AD=\frac{1}{2}c(a+b)=\frac{1}{2}ac+\frac{1}{2}bc$；
$S_{△ BEH}=\frac{1}{2}BH· BE=\frac{1}{2}ad$；
$S_{△ CDH}=\frac{1}{2}CH· CD=\frac{1}{2}b(c+d)=\frac{1}{2}bc+\frac{1}{2}bd$；
2. 长方形$ABCD$的面积：$S_{ABCD}=AB· BC=(c+d)(a+b)=ac+ad+bc+bd$；
3. 阴影部分面积：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{ABCD}-S_{△ ADE}-S_{△ BEH}-S_{△ CDH}\\&=(ac+ad+bc+bd)-(\frac{1}{2}ac+\frac{1}{2}bc)-\frac{1}{2}ad-(\frac{1}{2}bc+\frac{1}{2}bd)\\&=\frac{1}{2}ac+\frac{1}{2}ad+\frac{1}{2}bd\\&=\frac{1}{2}(ac+ad+bd)\\&=\frac{1}{2}[(ac+ad+bc+bd)-bc]\\&=\frac{1}{2}(S_{ABCD}-S_{长方形GMFD})\end{aligned}$
已知$S_{ABCD}$，要得到$S_{阴影}$，还需知道长方形$GMFD$的面积，对应选项D。
【答案】D
【知识点】长方形面积、三角形面积、面积计算
【点评】本题通过参数法结合面积差推导阴影面积，核心是利用总面积减去空白部分的思路，考查学生对长方形和三角形面积公式的灵活运用，以及对图形面积关系的分析能力。
【难度系数】0.5

11. 分解因式：$a^2 - b^2=$______。

11.$(a+b)(a-b)$

【分析】
本题需运用分解因式的平方差公式，先观察式子$a^2 - b^2$，其结构符合两个数的平方差形式，可直接套用平方差公式完成因式分解。
【解析】
根据平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，将$x=a$、$y=b$代入公式，可得：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
【答案】
$(a+b)(a-b)$
【知识点】
因式分解-平方差公式
【点评】
本题为分解因式的基础题型，直接考查平方差公式的应用，是初中代数的核心基础知识点，主要用于巩固因式分解的基本方法。
【难度系数】
0.9

12.使分式$\frac{1}{x-1}$有意义的$x$的取值范围是。

12.$x ≠ 1$

【分析】要确定使分式有意义的x的取值范围，需牢记分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。对于本题的分式$\frac{1}{x-1}$，其分母为$x-1$，因此只需让分母不等于0，即可求出对应的x的取值范围。
【解析】根据分式有意义的条件，分母不为0，可列出不等式：$x-1≠0$，解这个不等式得$x≠1$。
【答案】$x≠1$
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式的基础概念，直接围绕分式有意义的基本条件命题，属于分式章节的入门题，侧重对基础知识点的掌握。
【难度系数】0.9

13. 已知$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程$ax+y=5$的一个解，那么$a$的值是$\underline{\hspace{3em}}$。

13.3

【分析】
要确定a的值，需利用二元一次方程解的定义：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值，将已知的解代入方程，即可得到关于a的一元一次方程，进而求解a。
【解析】
因为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$是二元一次方程$ax+y=5$的解，所以将$x=1$，$y=2$代入方程得：
$a × 1 + 2 = 5$，
化简得：$a + 2 = 5$，
移项解得：$a = 5 - 2 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程的解；一元一次方程的解法
【点评】
本题考查二元一次方程解的基本应用，属于基础题型，直接利用方程解的定义代入求解即可，侧重考查学生对基础知识的掌握程度。
【难度系数】
0.9

14.一个有50个数据的样本,把它分成六组,第一组到第四组的频数分别为10,6,8,7,第五组的频率为0.2,则第六组的频数为。

14.9

【分析】首先明确样本的总频数等于所有组的频数之和，且频率与频数的关系为：频数=频率×样本总数。解题思路是：先根据第五组的频率和样本总数算出第五组的频数，再用总频数减去第一到第五组的频数，即可得到第六组的频数。
【解析】已知样本总数为50，第五组频率为0.2，根据“频数=频率×样本总数”，可得第五组的频数为：$50×0.2=10$；第一到第四组的频数和为：$10+6+8+7=31$；由于六组频数之和等于样本总数，因此第六组的频数为：$50 - 31 - 10 = 9$。
【答案】9
【知识点】频数与频率；样本频数计算
【点评】本题考查统计中频数与频率的基本运算，属于基础题型，只要掌握频数、频率与样本总数的关系即可轻松解答。
【难度系数】0.8

15. 已知关于$x$的分式方程$\dfrac{ax}{x-1}=\dfrac{2}{x-1}+1$无解，则$a$的值是$\underline{\hspace{5cm}}$。

15.1或2 【解析】$\dfrac{ax}{x-1}=\dfrac{2}{x-1}+1$，$ax=2+1×(x-1),(a-1)\ x=1$。① 当$a-1=0$，即$a=1$时，方程无解，符合题意；② 当$a-1≠ 0$，即$a≠ 1$时，方程的解是$x=\dfrac{1}{a-1}$，又因为分式方程无解，得$x=1$是分式方程的增根，所以$x=\dfrac{1}{a-1}=1$，解得$a=2$。综上所述，$a$的值是1或2。

【分析】
要解决分式方程无解的问题，需先将分式方程转化为整式方程，再分两种情况讨论：一是转化后的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使分母为0的x值）。具体步骤为：先去分母化为整式方程，再根据整式方程的解的情况分析原方程无解的条件。
【解析】
解：对分式方程$\dfrac{ax}{x-1}=\dfrac{2}{x-1}+1$，两边同乘最简公分母$(x-1)$（$x≠1$），去分母得：
$ax = 2 + (x - 1)$
整理得整式方程：$(a - 1)x = 1$。
分两种情况讨论：
① 当$a - 1 = 0$，即$a = 1$时，整式方程变为$0·x = 1$，此方程无解，因此原分式方程也无解，符合题意；
② 当$a - 1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$时，整式方程的解为$x = \dfrac{1}{a - 1}$。
因为原分式方程无解，所以该解是原方程的增根，即$x = 1$（使分母$x-1=0$），代入得：
$\dfrac{1}{a - 1} = 1$，解得$a = 2$。
综上，$a$的值为$1$或$2$。
【答案】
1或2
【知识点】
分式方程无解的条件；分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程无解的两种情形，需注意分类讨论：整式方程本身无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，避免漏解。
【难度系数】
0.5

16. 图1是一款落地的平板电脑支撑架，AB,BC是可转动的支撑杆。调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板$DE// AF$，$∠ BAF=∠ BCE$，$∠ B=84°$，则$∠ BCD=\_\_\_\_\_\_°$。现将支撑杆AB调整至图3位置，调整过程中$∠ B,∠ BCE$大小不变，$∠ BAF=146°$，再顺时针调整平板DE至$D'E'$，使得$D'E'// AF$，则$∠ DCD'=\_\_\_\_\_\_°$。

16.42 76 【解析】过点B作$BG// AF$。$\because DE// AF,\therefore DE// AF// BG$。$\therefore ∠ BAF+∠ ABG=∠ BCE+∠ CBG$。 $\because ∠ BAF=∠ BCE$，$\therefore ∠ ABG=∠ CBG$。 $\because ∠ ABC=84°$，$\therefore ∠ ABG=∠ CBG=42°$。$\because DE// BG,\therefore ∠ BCD=∠ CBG=42°$。延长FA交BC于点H。$\because ∠ BAF=146°$，$∠ B=84°$，所以$∠ BAH=180°-146°=34°$，$∠ BHA=180°-∠ BAH-∠ B=62°$。$\because D'E'// AF,\therefore ∠ BCE'=∠ BHA=62°$。又$\because ∠ BCD=42°,\therefore ∠ DCD'=180°-∠ BCD-∠ BCE'=180°-42°-62°=76°$。

【分析】
本题需利用平行线的性质、三角形内角和定理求解角度，解题思路为：①求∠BCD时，通过作辅助线构造平行于AF的直线BG，结合平行公理推论及已知角相等，推导出BG平分∠ABC，再利用平行线内错角相等得到∠BCD；②求∠DCD'时，先通过邻补角求出∠BAH，再用三角形内角和得∠BHA，结合平行线性质得∠BCE'，最后利用平角关系计算∠DCD'。
【解析】
1. 求∠BCD：
过点B作$BG// AF$，
$\because DE// AF$，$\therefore DE// AF// BG$（平行于同一直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ BAF + ∠ ABG = ∠ BCE + ∠ CBG$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ BAF = ∠ BCE$，$\therefore ∠ ABG = ∠ CBG$，即BG平分$∠ ABC$，
$\because ∠ ABC = 84°$，$\therefore ∠ CBG = \frac{1}{2}∠ ABC = 42°$，
$\because DE// BG$，$\therefore ∠ BCD = ∠ CBG = 42°$（两直线平行，内错角相等）。
2. 求$∠ DCD'$：
延长FA交BC于点H，
$\because ∠ BAF = 146°$，$\therefore ∠ BAH = 180° - 146° = 34°$（邻补角的定义），
在$△ ABH$中，$∠ B = 84°$，$\therefore ∠ BHA = 180° - ∠ BAH - ∠ B = 180° - 34° - 84° = 62°$（三角形内角和为$180°$），
$\because D'E'// AF$，$\therefore ∠ BCE' = ∠ BHA = 62°$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ DCD' = 180° - ∠ BCD - ∠ BCE' = 180° - 42° - 62° = 76°$。
【答案】
42；76
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和，邻补角
【点评】
本题结合实际支撑架的几何模型，考查平行线性质与三角形内角和的应用，关键是通过作辅助线构造平行线实现角度转换，需学生具备一定的几何推理能力，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5

17.(6分)计算或化简:
(1)$(-1)^{2022}+(2023 - π)^0 + (-\dfrac{1}{2})^{-2}$。
(2)$(3 - x)(3 + x) + x(x - 2)$。

17.(1)原式=6。(2)原式=9-2x。

【分析】
第(1)题需分别计算负数的偶次幂、非零数的零次幂、负整数指数幂，再将结果求和；第(2)题先利用平方差公式展开整式乘积，再展开单项式乘多项式，最后合并同类项完成化简。
【解析】
(1) 逐项计算：
$(-1)^{2022}=1$（负数的偶次幂为正数），
$(2023 - π)^0=1$（任意非零数的0次幂为1），
$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=(-2)^2=4$（负整数指数幂等于对应正指数幂的倒数），
因此原式$=1 + 1 + 4 = 6$。
(2) 展开并化简：
$(3 - x)(3 + x)=3^2 - x^2=9 - x^2$（平方差公式），
$x(x - 2)=x^2 - 2x$（单项式乘多项式法则），
合并同类项得：原式$=9 - x^2 + x^2 - 2x = 9 - 2x$。
【答案】
(1)6；(2)9-2x
【知识点】
零指数幂与负整数指数幂、平方差公式、整式化简
【点评】
本题是基础的实数运算与整式化简题，考查幂的运算性质和整式乘法公式，运算逻辑清晰，属于学生需熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8