15.（8分）如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ BAC=120°$，$AD$是$BC$边上的中线，$CD$的垂直平分线交$AC$于点$E$，交$CD$于点$F$，连接$DE$.求证:$△ ADE$为等边三角形.

15. 证明:因为在$△ABC$中, $AB = AC$,$∠BAC=120°$,AD是BC边上的中线,
所以AD平分$∠BAC$,$AD⊥BC$于点D,
所以$∠DAC=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×120°=60°$,
$∠ADC=90°$,
所以$∠C=30°$.
因为CD的垂直平分线交AC于点E,交CD于点F,
所以$DE=EC$,
所以$∠EDC=∠C=30°$,
所以$∠ADE=∠ADC-∠EDC=90°-30°=60°$,
所以$∠AED=180°-∠DAC-∠ADE=180°-60°-60°=60°$,
所以$∠AED=∠DAC=∠ADE=60°$,
所以$△ADE$为等边三角形.

16.(12分)某校去年在商场购买甲、乙两种不同的足球,购买甲种足球共花费2 000元,购买乙种足球共花费1 400元,购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍,且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元.
(2)该校今年计划再次购买甲、乙两种足球共50个,恰逢该商场对两种足球的售价进行调整,甲种足球售价比第一次购买时提高了10%,乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2 900元,那么该校最多可购买乙种足球多少个?

16. 解:(1)设购买一个甲种足球需$x$元,则购买一个乙种足球需$(x+20)$元.
根据题意,得$\frac{2000}{x}=2×\frac{1400}{x+20}$,解得$x=50$.经检验,$x=50$是所列分式方程的解,且符合题意.
所以$x+20=50+20=70$.
答:购买一个甲种足球需 50 元,购买一个乙种足球需 70 元.
(2)设该校购买乙种足球$m$个,则购买甲种足球$(50-m)$个.
由题意,得$50(1+10\%)(50-m)+70(1-10\%)m≤2900$,解得$m≤\frac{150}{8}$.
因为$m$为正整数,所以$m$最大可取 18.
所以该校最多可购买乙种足球 18 个.