17.(12分)如图①,在边长为a的正方形中作一个边长为b(a＞b)的正方形,则余下的阴影部分面积等于一个以(a+b)为长、(a−b)为宽的长方形面积,如图②.
【探究】
(1)请列式表示:图①中阴影部分的面积为,图②中阴影部分的面积为;根据两图中阴影部分的面积相等,可以得到乘法公式.
【应用】
(2)根据(1)中的公式解决如下问题:
①若$a+b=4,a−b=2$,则$a^2 - b^2$=;
②计算:$(2+1)×(2^2 +1)×(2^4 +1)×(2^8 +1)×…×(2^{1024} +1)$.

17. 解:【探究】(1)题图①中阴影部分的面积为两个正方形的面积差.因为大正方形的面积为$a^2$,小正方形的面积为$b^2$,所以题图①中阴影部分的面积为$a^2-b^2$.
题图②中的阴影部分是长方形.因为长方形的长为$a+b$,宽为$a-b$,所以题图②中阴影部分的面积为$(a+b)(a-b)$.
根据两图中阴影部分面积相等,可得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
【应用】
(2)①因为$a+b=4,a−b=2$,所以$a^2−b^2=(a+b)(a−b)=4×2=8$.
②$(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×…×(2^{1024}+1)$
$=(2−1)×(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×…×(2^{1024}+1)$
$=(2^2−1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×…×(2^{1024}+1)$
$=(2^4−1)×(2^4+1)×(2^8+1)×…×(2^{1024}+1)$
$=(2^8−1)×(2^8+1)×…×(2^{1024}+1)$
$……$
$=2^{2048}−1$.

18.(12分)(阅读理解题)【阅读材料】把代数式通过配凑等手段,得到局部完全平方式,再进行有关运算和解题,这种解题方法叫作配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用.
例如:①用配方法因式分解:$a^2+6a+8$.
解:$a^2+6a+8=a^2+6a+9-1=(a+3)^2-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2)$.
②求$a^2+6a+8$的最小值.
解:$a^2+6a+8=a^2+6a+9-1=(a+3)^2-1$.
因为$(a+3)^2≥0$,
所以$(a+3)^2-1≥-1$,
即$a^2+6a+8$的最小值为$-1$.
请根据上述材料,解决下列问题:
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式:$a^2+4a+\_\_\_\_\_\_$.
(2)利用上述方法进行因式分解:$a^2-10a+21$.
(3)求$4x^2+4x+5$的最小值.

18. 解:(1)$a^2+4a+4=(a+2)^2$.
(2)$a^2−10a+21=a^2−10a+25−4=(a−5)^2−4=(a−5+2)(a−5−2)=(a−3)(a−7)$.
(3)$4x^2+4x+5=4x^2+4x+1+4=(2x+1)^2+4$.
因为$(2x+1)^2≥0$,
所以$(2x+1)^2+4≥4$,
即$4x^2+4x+5$的最小值为4.