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9. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示。
（1）填写下列各点的坐标：$A_1$
（2）写出点$A_{4n}$的坐标（n是正整数）。
（3）指出蚂蚁从点$A_{100}$到点$A_{101}$的移动方向。
（1）填写下列各点的坐标：$A_1$
(0,1)
，$A_3$ (1,0)
，$A_{12}$ (6,0)
。（2）写出点$A_{4n}$的坐标（n是正整数）。
（3）指出蚂蚁从点$A_{100}$到点$A_{101}$的移动方向。
答案
9. （1）(0,1);(1,0);(6,0)
（2）$A_{4n}(2n,0)$
（3）向上
（2）$A_{4n}(2n,0)$
（3）向上
解析
【分析】
要解决这道题，需先观察蚂蚁的移动规律：蚂蚁从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向循环移动，每次移动1个单位。先根据移动路径确定各点坐标，再通过观察A₄、A₈、A₁₂等点的坐标，总结A₄ₙ的坐标规律，最后利用规律判断A₁₀₀到A₁₀₁的移动方向。
【解析】
（1）根据移动路径依次推导：
A₁：从原点O向上移动1个单位，坐标为(0,1)；
A₂：从A₁向右移动1个单位，坐标为(1,1)；
A₃：从A₂向下移动1个单位，坐标为(1,0)；
A₄：从A₃向右移动1个单位，坐标为(2,0)；
以此类推，A₁₂是第12个点，12÷4=3，对应n=3，横坐标为2×3=6，纵坐标为0，故A₁₂坐标为(6,0)。
（2）观察A₄(2,0)、A₈(4,0)、A₁₂(6,0)，可总结规律：当n为正整数时，A₄ₙ的横坐标为2n，纵坐标为0，因此A₄ₙ的坐标为(2n,0)。
（3）因为100=4×25，即A₁₀₀对应n=25，根据A₄ₙ的坐标规律，A₁₀₀的坐标为(2×25,0)=(50,0)。蚂蚁移动方向每4个点循环一次，A₄ₙ之后的下一个点A₄ₙ₊₁的移动方向是向上，因此从A₁₀₀到A₁₀₁的移动方向为向上。
【答案】
（1）(0,1)；(1,0)；(6,0)
（2）(2n,0)
（3）向上
【知识点】
平面直角坐标系、点的坐标规律、坐标探索
【点评】
本题通过蚂蚁的移动路径考查平面直角坐标系中点的坐标规律，核心是发现移动的周期性，总结出A₄ₙ的坐标特征，进而解决问题，是一道典型的规律探索类题目。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先观察蚂蚁的移动规律：蚂蚁从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向循环移动，每次移动1个单位。先根据移动路径确定各点坐标，再通过观察A₄、A₈、A₁₂等点的坐标，总结A₄ₙ的坐标规律，最后利用规律判断A₁₀₀到A₁₀₁的移动方向。
【解析】
（1）根据移动路径依次推导：
A₁：从原点O向上移动1个单位，坐标为(0,1)；
A₂：从A₁向右移动1个单位，坐标为(1,1)；
A₃：从A₂向下移动1个单位，坐标为(1,0)；
A₄：从A₃向右移动1个单位，坐标为(2,0)；
以此类推，A₁₂是第12个点，12÷4=3，对应n=3，横坐标为2×3=6，纵坐标为0，故A₁₂坐标为(6,0)。
（2）观察A₄(2,0)、A₈(4,0)、A₁₂(6,0)，可总结规律：当n为正整数时，A₄ₙ的横坐标为2n，纵坐标为0，因此A₄ₙ的坐标为(2n,0)。
（3）因为100=4×25，即A₁₀₀对应n=25，根据A₄ₙ的坐标规律，A₁₀₀的坐标为(2×25,0)=(50,0)。蚂蚁移动方向每4个点循环一次，A₄ₙ之后的下一个点A₄ₙ₊₁的移动方向是向上，因此从A₁₀₀到A₁₀₁的移动方向为向上。
【答案】
（1）(0,1)；(1,0)；(6,0)
（2）(2n,0)
（3）向上
【知识点】
平面直角坐标系、点的坐标规律、坐标探索
【点评】
本题通过蚂蚁的移动路径考查平面直角坐标系中点的坐标规律，核心是发现移动的周期性，总结出A₄ₙ的坐标特征，进而解决问题，是一道典型的规律探索类题目。
【难度系数】
0.6
