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11. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$。
（1）尺规作图:作$BC$边上的高线$AD$。(不写作法,保留作图痕迹)
（2）若$AB=10$，$BC=12$，求高线$AD$的长。
（1）尺规作图:作$BC$边上的高线$AD$。(不写作法,保留作图痕迹)
（2）若$AB=10$，$BC=12$，求高线$AD$的长。
答案
11. （1）作图略。
（2）因为$AB=AC,AD⊥BC$,所以$BD=\frac{1}{2}BC=6$。在$Rt△ABD$中,$AD^2+BD^2=AB^2$,可得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
（2）因为$AB=AC,AD⊥BC$,所以$BD=\frac{1}{2}BC=6$。在$Rt△ABD$中,$AD^2+BD^2=AB^2$,可得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
解析
【分析】
本题包含作图和计算两部分内容：（1）作BC边上的高线时，已知△ABC是等腰三角形，结合等腰三角形三线合一的性质，BC边上的高同时是BC的中线，只需用尺规作出BC的垂直平分线，与BC交于点D，连接AD即为所求高线；（2）计算AD长度时，先利用等腰三角形三线合一求出BD的长度，再在直角三角形ABD中运用勾股定理即可算出AD的长。
【解析】
（1）作图略，保留尺规作图痕迹即可。
（2）解：$\because AB=AC$，$AD$是$BC$边上的高线，
$\therefore$由等腰三角形三线合一的性质可得$BD=\frac{1}{2}BC$，
$\because BC=12$，$\therefore BD=\frac{1}{2}×12=6$，
又$\because AD⊥ BC$，$\therefore △ ABD$是直角三角形，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，
$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}$，
代入$AB=10$，$BD=6$得：
$AD=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$。
【答案】
（1）作图略；（2）高线$AD$的长为8。
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、尺规作图
【点评】
本题是基础类几何综合题，既考查了尺规作图的基本操作能力，也考查了等腰三角形性质和勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的特点，结合勾股定理求解直角三角形的边长，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.85
本题包含作图和计算两部分内容：（1）作BC边上的高线时，已知△ABC是等腰三角形，结合等腰三角形三线合一的性质，BC边上的高同时是BC的中线，只需用尺规作出BC的垂直平分线，与BC交于点D，连接AD即为所求高线；（2）计算AD长度时，先利用等腰三角形三线合一求出BD的长度，再在直角三角形ABD中运用勾股定理即可算出AD的长。
【解析】
（1）作图略，保留尺规作图痕迹即可。
（2）解：$\because AB=AC$，$AD$是$BC$边上的高线，
$\therefore$由等腰三角形三线合一的性质可得$BD=\frac{1}{2}BC$，
$\because BC=12$，$\therefore BD=\frac{1}{2}×12=6$，
又$\because AD⊥ BC$，$\therefore △ ABD$是直角三角形，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，
$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}$，
代入$AB=10$，$BD=6$得：
$AD=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$。
【答案】
（1）作图略；（2）高线$AD$的长为8。
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、尺规作图
【点评】
本题是基础类几何综合题，既考查了尺规作图的基本操作能力，也考查了等腰三角形性质和勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的特点，结合勾股定理求解直角三角形的边长，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.85
12. 如图，点D在∠ABC的平分线上，DE⊥AB于点E，F是线段BE上一点。以点D为圆心，DF为半径画弧，交BC于点M，N。若EF=3，求MN的长。
答案
12. 作$DH ⊥ BC$于点 H,连结 DM,DN。分别证明$△DHM≌△DEF,△DHN≌△DEF$,可得$HM=EF=3,HN=EF=3$,所以$MN=6$。
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知点D在∠ABC的平分线上，DE⊥AB，因此我们可以过D作DH⊥BC于H，得到DE=DH。其次，由题意DM、DN、DF都是以D为圆心的圆的半径，因此DM=DN=DF。要求MN的长，MN由HM和HN两段组成，我们可以通过证明Rt△DEF与Rt△DHM、Rt△DHN全等，得到HM=EF、HN=EF，进而求出MN的总长度。
【解析】
解：过点D作$DH ⊥ BC$于点H，连接DM、DN。
∵ 点D在∠ABC的平分线上，$DE⊥AB$，$DH⊥BC$，
∴ $DE=DH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ 以点D为圆心，DF为半径画弧交BC于M、N，
∴ $DM=DN=DF$。
在$Rt△DEF$和$Rt△DHM$中：
$\{\begin{array}{l}DF=DM\\ DE=DH\end{array} $
∴ $Rt△DEF≌Rt△DHM$（HL），
∴ $HM=EF=3$。
同理，在$Rt△DEF$和$Rt△DHN$中：
$\{\begin{array}{l}DF=DN\\ DE=DH\end{array} $
∴ $Rt△DEF≌Rt△DHN$（HL），
∴ $HN=EF=3$。
∴ $MN=HM+HN=3+3=6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；圆的基本性质
【点评】
本题解题的关键是结合角平分线的性质作辅助线构造直角三角形，再借助圆半径相等的性质证明三角形全等，将未知线段转化为已知线段求解，是几何中转化思想的典型应用。
【难度系数】
0.65
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知点D在∠ABC的平分线上，DE⊥AB，因此我们可以过D作DH⊥BC于H，得到DE=DH。其次，由题意DM、DN、DF都是以D为圆心的圆的半径，因此DM=DN=DF。要求MN的长，MN由HM和HN两段组成，我们可以通过证明Rt△DEF与Rt△DHM、Rt△DHN全等，得到HM=EF、HN=EF，进而求出MN的总长度。
【解析】
解：过点D作$DH ⊥ BC$于点H，连接DM、DN。
∵ 点D在∠ABC的平分线上，$DE⊥AB$，$DH⊥BC$，
∴ $DE=DH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ 以点D为圆心，DF为半径画弧交BC于M、N，
∴ $DM=DN=DF$。
在$Rt△DEF$和$Rt△DHM$中：
$\{\begin{array}{l}DF=DM\\ DE=DH\end{array} $
∴ $Rt△DEF≌Rt△DHM$（HL），
∴ $HM=EF=3$。
同理，在$Rt△DEF$和$Rt△DHN$中：
$\{\begin{array}{l}DF=DN\\ DE=DH\end{array} $
∴ $Rt△DEF≌Rt△DHN$（HL），
∴ $HN=EF=3$。
∴ $MN=HM+HN=3+3=6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；圆的基本性质
【点评】
本题解题的关键是结合角平分线的性质作辅助线构造直角三角形，再借助圆半径相等的性质证明三角形全等，将未知线段转化为已知线段求解，是几何中转化思想的典型应用。
【难度系数】
0.65
13. 解不等式组$\begin{cases}2x - 1 ≥ 0, \\ \frac{1}{2}(x + 4) ＜ 3,\end{cases}$并把解集在数轴上表示出来。
答案
13. 数轴略。$\frac{1}{2}≤x＜2$
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是“先分后合”：第一步分别求解组内每个一元一次不等式，得到各自的解集；第二步根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的规则，找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；若需要数轴表示，要注意：包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈。本题先分别求解两个不等式，再找公共解集即可。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式$2x - 1 ≥ 0$：
移项得$2x ≥ 1$，
系数化为1，得$x ≥ \frac{1}{2}$。
2. 解不等式$\frac{1}{2}(x + 4) ＜ 3$：
不等式两边同时乘2，得$x + 4 ＜ 6$，
移项得$x ＜ 2$。
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$\frac{1}{2} ≤ x ＜ 2$。
数轴表示：在数轴上找到$\frac{1}{2}$的位置画实心圆点，向右延伸；找到2的位置画空心圆圈，向左延伸，两线重合的部分即为解集（数轴略）。
【答案】
$\frac{1}{2}≤x＜2$，数轴略。
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集确定
3. 解集的数轴表示
【点评】
本题是解一元一次不等式组的常规基础题，重点考察一元一次不等式的基本运算能力，以及确定不等式组公共解集的方法，解题时需注意系数化为1时不等号方向是否改变，数轴表示时要正确区分实心点和空心点的用法。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的核心思路是“先分后合”：第一步分别求解组内每个一元一次不等式，得到各自的解集；第二步根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的规则，找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；若需要数轴表示，要注意：包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈。本题先分别求解两个不等式，再找公共解集即可。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式$2x - 1 ≥ 0$：
移项得$2x ≥ 1$，
系数化为1，得$x ≥ \frac{1}{2}$。
2. 解不等式$\frac{1}{2}(x + 4) ＜ 3$：
不等式两边同时乘2，得$x + 4 ＜ 6$，
移项得$x ＜ 2$。
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$\frac{1}{2} ≤ x ＜ 2$。
数轴表示：在数轴上找到$\frac{1}{2}$的位置画实心圆点，向右延伸；找到2的位置画空心圆圈，向左延伸，两线重合的部分即为解集（数轴略）。
【答案】
$\frac{1}{2}≤x＜2$，数轴略。
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集确定
3. 解集的数轴表示
【点评】
本题是解一元一次不等式组的常规基础题，重点考察一元一次不等式的基本运算能力，以及确定不等式组公共解集的方法，解题时需注意系数化为1时不等号方向是否改变，数轴表示时要正确区分实心点和空心点的用法。
【难度系数】
0.8
14. 已知一次函数的图象过点$A(1,-3)$和点$B(-3,-1)$。
（1）画出图象，并求出这个函数的表达式。
（2）求一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积。
（1）画出图象，并求出这个函数的表达式。
（2）求一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积。
答案
14. （1）画图略。$y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$ （2）$\frac{25}{4}$
解析
【分析】
（1）求一次函数表达式可采用待定系数法：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），再将已知的两个点的坐标代入解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值即可得到函数表达式；画图只需描出已知的两个点，过两点作直线即可。
（2）求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，需先分别求出函数图象与$x$轴、$y$轴的交点坐标，两个交点到原点的距离即为直角三角形的两条直角边长度，再利用三角形面积公式计算即可，注意坐标有正负，计算长度要取绝对值。
【解析】
（1）设该一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠ 0$），
将点$A(1,-3)$和$B(-3,-1)$代入表达式，得：
$\begin{cases} k + b = -3 \\ -3k + b = -1 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$，得：$4k = -2$，解得$k=-\frac{1}{2}$，
将$k=-\frac{1}{2}$代入$k + b = -3$，得：$-\frac{1}{2} + b = -3$，解得$b=-\frac{5}{2}$，
因此这个函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$；画图时描出$A$、$B$两点，过两点画直线即可（画图略）。
（2）求函数图象与坐标轴的交点：
①与$y$轴交点：令$x=0$，代入$y=-\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$，得$y=-\frac{5}{2}$，即交点坐标为$(0,-\frac{5}{2})$；
②与$x$轴交点：令$y=0$，代入$y=-\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$，得$0=-\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$，解得$x=-5$，即交点坐标为$(-5,0)$。
一次函数与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边的长度分别为$|-5|=5$，$|-\frac{5}{2}|=\frac{5}{2}$，
则三角形面积$S=\frac{1}{2} × 5 × \frac{5}{2} = \frac{25}{4}$。
【答案】
（1）画图略，$y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$；（2）$\frac{25}{4}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数图象性质，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的常规基础题，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及一次函数与坐标轴交点的求解，计算面积时要注意对截距取绝对值，避免符号错误导致计算结果出错。
【难度系数】
0.75
（1）求一次函数表达式可采用待定系数法：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），再将已知的两个点的坐标代入解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值即可得到函数表达式；画图只需描出已知的两个点，过两点作直线即可。
（2）求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，需先分别求出函数图象与$x$轴、$y$轴的交点坐标，两个交点到原点的距离即为直角三角形的两条直角边长度，再利用三角形面积公式计算即可，注意坐标有正负，计算长度要取绝对值。
【解析】
（1）设该一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠ 0$），
将点$A(1,-3)$和$B(-3,-1)$代入表达式，得：
$\begin{cases} k + b = -3 \\ -3k + b = -1 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$，得：$4k = -2$，解得$k=-\frac{1}{2}$，
将$k=-\frac{1}{2}$代入$k + b = -3$，得：$-\frac{1}{2} + b = -3$，解得$b=-\frac{5}{2}$，
因此这个函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$；画图时描出$A$、$B$两点，过两点画直线即可（画图略）。
（2）求函数图象与坐标轴的交点：
①与$y$轴交点：令$x=0$，代入$y=-\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$，得$y=-\frac{5}{2}$，即交点坐标为$(0,-\frac{5}{2})$；
②与$x$轴交点：令$y=0$，代入$y=-\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$，得$0=-\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$，解得$x=-5$，即交点坐标为$(-5,0)$。
一次函数与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边的长度分别为$|-5|=5$，$|-\frac{5}{2}|=\frac{5}{2}$，
则三角形面积$S=\frac{1}{2} × 5 × \frac{5}{2} = \frac{25}{4}$。
【答案】
（1）画图略，$y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$；（2）$\frac{25}{4}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数图象性质，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的常规基础题，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及一次函数与坐标轴交点的求解，计算面积时要注意对截距取绝对值，避免符号错误导致计算结果出错。
【难度系数】
0.75
