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15. 如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，其中点A的坐标为(2，-1)，则△ABC的面积为
5
平方单位。答案
15. 5
解析
【分析】
要计算格点中△ABC的面积，可采用割补法求解：第一步先确定△ABC三个顶点的坐标，第二步画出能完全包围△ABC的最小矩形，先算出矩形的面积，再分别减去矩形内△ABC周围多余的3个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
由图可得三个顶点坐标：A(2,-1)，C(1,2)，B(4,3)。
构造包围△ABC的最小矩形，矩形的边界为x=1、x=4、y=-1、y=3：
1. 计算矩形面积：矩形的长为$4-1=3$，宽为$3-(-1)=4$，面积$S_{矩形}=3×4=12$；
2. 计算周围三个直角三角形的面积：
① 左下角直角三角形：两条直角边长分别为$2-1=1$、$2-(-1)=3$，面积$S_1=\frac{1}{2}×1×3=1.5$；
② 右上角直角三角形：两条直角边长分别为$4-1=3$、$3-2=1$，面积$S_2=\frac{1}{2}×3×1=1.5$；
③ 右下角直角三角形：两条直角边长分别为$4-2=2$、$3-(-1)=4$，面积$S_3=\frac{1}{2}×2×4=4$；
3. 计算△ABC的面积：$S_{△ABC}=S_{矩形}-S_1-S_2-S_3=12-1.5-1.5-4=5$。
【答案】
5
【知识点】
割补法求面积，三角形面积计算，平面直角坐标系坐标识别
【点评】
本题是平面直角坐标系中面积计算的常见题型，核心是利用割补法将不规则三角形的面积转化为规则图形的面积差求解，解题的关键是准确找出周围多余直角三角形的边长，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算格点中△ABC的面积，可采用割补法求解：第一步先确定△ABC三个顶点的坐标，第二步画出能完全包围△ABC的最小矩形，先算出矩形的面积，再分别减去矩形内△ABC周围多余的3个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
由图可得三个顶点坐标：A(2,-1)，C(1,2)，B(4,3)。
构造包围△ABC的最小矩形，矩形的边界为x=1、x=4、y=-1、y=3：
1. 计算矩形面积：矩形的长为$4-1=3$，宽为$3-(-1)=4$，面积$S_{矩形}=3×4=12$；
2. 计算周围三个直角三角形的面积：
① 左下角直角三角形：两条直角边长分别为$2-1=1$、$2-(-1)=3$，面积$S_1=\frac{1}{2}×1×3=1.5$；
② 右上角直角三角形：两条直角边长分别为$4-1=3$、$3-2=1$，面积$S_2=\frac{1}{2}×3×1=1.5$；
③ 右下角直角三角形：两条直角边长分别为$4-2=2$、$3-(-1)=4$，面积$S_3=\frac{1}{2}×2×4=4$；
3. 计算△ABC的面积：$S_{△ABC}=S_{矩形}-S_1-S_2-S_3=12-1.5-1.5-4=5$。
【答案】
5
【知识点】
割补法求面积，三角形面积计算，平面直角坐标系坐标识别
【点评】
本题是平面直角坐标系中面积计算的常见题型，核心是利用割补法将不规则三角形的面积转化为规则图形的面积差求解，解题的关键是准确找出周围多余直角三角形的边长，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
16. 如图，$AB=CD$，$AD=BC$，则图中全等三角形共有
C
4
对。C
答案
16. 4
解析
【分析】
解题思路：首先根据已知的两组对边分别相等的条件，先判定四边形ABCD是平行四边形，得到平行四边形对角线互相平分的性质，再结合公共边、对顶角相等的隐含条件，按照“大三角形→小三角形”的顺序逐一验证全等三角形，避免漏数或多数。
第一步：由AB=CD，AD=BC，可判定四边形ABCD是平行四边形，得到OA=OC，OB=OD等可用条件；
第二步：分别对大三角形、对角线分成的小三角形用全等判定定理逐一验证。
【解析】
1. 证明$△ ABC ≌ △ CDA$：
已知$AB=CD$，$AD=BC$，$AC$为公共边，根据SSS（边边边）全等判定定理，可得$△ ABC ≌ △ CDA$。
2. 证明$△ ABD ≌ △ CDB$：
已知$AB=CD$，$AD=BC$，$BD$为公共边，根据SSS全等判定定理，可得$△ ABD ≌ △ CDB$。
3. 证明$△ AOB ≌ △ COD$：
由$AB=CD$，$AD=BC$可知四边形ABCD是平行四边形，因此对角线互相平分，即$OA=OC$，$OB=OD$，又$∠ AOB$和$∠ COD$是对顶角，$∠ AOB=∠ COD$，根据SAS（边角边）全等判定定理，可得$△ AOB ≌ △ COD$。
4. 证明$△ AOD ≌ △ COB$：
同理，$OA=OC$，$OB=OD$，$∠ AOD$和$∠ COB$是对顶角，$∠ AOD=∠ COB$，根据SAS全等判定定理，可得$△ AOD ≌ △ COB$。
综上，全等三角形共有4对。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定
【点评】
本题需要先结合已知条件判定平行四边形，再利用平行四边形的性质寻找全等三角形的判定条件，解题时按顺序枚举可有效避免遗漏，是基础的几何综合题。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据已知的两组对边分别相等的条件，先判定四边形ABCD是平行四边形，得到平行四边形对角线互相平分的性质，再结合公共边、对顶角相等的隐含条件，按照“大三角形→小三角形”的顺序逐一验证全等三角形，避免漏数或多数。
第一步：由AB=CD，AD=BC，可判定四边形ABCD是平行四边形，得到OA=OC，OB=OD等可用条件；
第二步：分别对大三角形、对角线分成的小三角形用全等判定定理逐一验证。
【解析】
1. 证明$△ ABC ≌ △ CDA$：
已知$AB=CD$，$AD=BC$，$AC$为公共边，根据SSS（边边边）全等判定定理，可得$△ ABC ≌ △ CDA$。
2. 证明$△ ABD ≌ △ CDB$：
已知$AB=CD$，$AD=BC$，$BD$为公共边，根据SSS全等判定定理，可得$△ ABD ≌ △ CDB$。
3. 证明$△ AOB ≌ △ COD$：
由$AB=CD$，$AD=BC$可知四边形ABCD是平行四边形，因此对角线互相平分，即$OA=OC$，$OB=OD$，又$∠ AOB$和$∠ COD$是对顶角，$∠ AOB=∠ COD$，根据SAS（边角边）全等判定定理，可得$△ AOB ≌ △ COD$。
4. 证明$△ AOD ≌ △ COB$：
同理，$OA=OC$，$OB=OD$，$∠ AOD$和$∠ COB$是对顶角，$∠ AOD=∠ COB$，根据SAS全等判定定理，可得$△ AOD ≌ △ COB$。
综上，全等三角形共有4对。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定
【点评】
本题需要先结合已知条件判定平行四边形，再利用平行四边形的性质寻找全等三角形的判定条件，解题时按顺序枚举可有效避免遗漏，是基础的几何综合题。
【难度系数】
0.7
17. 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$于点$D$，$E$为$AC$上一点，连结$BE$，交$AD$于点$F$，且$BF=AC$，$DF=DC$。
（1）求证：$AD=BD$。
（2）若$AD=12$，$BF=13$，求$AF$的长。
（1）求证：$AD=BD$。
（2）若$AD=12$，$BF=13$，求$AF$的长。
答案
17. （1）由$∠BDA=∠ADC=90°,BF=AC,DF=DC$,可证$Rt△BFD≌Rt△ACD$,所以$AD=BD$。
（2）由（1）,$BD=AD=12,BF=13$,由勾股定理,得$DF=\sqrt{BF^2-BD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,所以$AF=AD-DF=12-5=7$。
（2）由（1）,$BD=AD=12,BF=13$,由勾股定理,得$DF=\sqrt{BF^2-BD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,所以$AF=AD-DF=12-5=7$。
解析
【分析】
（1）要证明AD=BD，可通过证明两条边所在的三角形全等推导。已知AD⊥BC，可得△BFD和△ACD都是直角三角形，结合题目给出的BF=AC、DF=DC的条件，可利用HL定理证明两个直角三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可推出AD=BD。
（2）由（1）的结论可得BD的长度，已知BF的长度，在Rt△BDF中利用勾股定理可求出DF的长，再根据AF=AD-DF即可计算出AF的长度。
【解析】
（1）证明：
∵AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，即△BFD和△ACD均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BFD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$中：
$\begin{cases} BF=AC \\ DF=DC \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ BFD≌\mathrm{Rt}△ ACD$（HL），
∴$AD=BD$。
（2）解：由（1）可知$BD=AD=12$，
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$BF=13$，$BD=12$，根据勾股定理得：
$DF=\sqrt{BF^2-BD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$，
∴$AF=AD-DF=12-5=7$。
【答案】
（1）$AD=BD$得证；
（2）$AF$的长为$\boldsymbol{7}$。
【知识点】
直角三角形全等判定，勾股定理，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，侧重考查全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用，解题时从已知垂直和边相等的条件入手先证全等得到边的等量关系，再结合勾股定理计算未知线段，逻辑链条清晰，考查的都是几何核心基础知识点。
【难度系数】
0.7
（1）要证明AD=BD，可通过证明两条边所在的三角形全等推导。已知AD⊥BC，可得△BFD和△ACD都是直角三角形，结合题目给出的BF=AC、DF=DC的条件，可利用HL定理证明两个直角三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可推出AD=BD。
（2）由（1）的结论可得BD的长度，已知BF的长度，在Rt△BDF中利用勾股定理可求出DF的长，再根据AF=AD-DF即可计算出AF的长度。
【解析】
（1）证明：
∵AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，即△BFD和△ACD均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BFD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$中：
$\begin{cases} BF=AC \\ DF=DC \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ BFD≌\mathrm{Rt}△ ACD$（HL），
∴$AD=BD$。
（2）解：由（1）可知$BD=AD=12$，
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$BF=13$，$BD=12$，根据勾股定理得：
$DF=\sqrt{BF^2-BD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$，
∴$AF=AD-DF=12-5=7$。
【答案】
（1）$AD=BD$得证；
（2）$AF$的长为$\boldsymbol{7}$。
【知识点】
直角三角形全等判定，勾股定理，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，侧重考查全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用，解题时从已知垂直和边相等的条件入手先证全等得到边的等量关系，再结合勾股定理计算未知线段，逻辑链条清晰，考查的都是几何核心基础知识点。
【难度系数】
0.7
18. 小明以如图①的方式叠纸杯时发现:叠在一起的纸杯的高度 y(cm)与纸杯的个数 x(个)之间是一次函数关系,有关数据如下表。
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式。
（2）小明把杯子叠成如图①的一摞,放入高 40.1 cm 的柜子里(如图②)。请你帮小明算一算,一摞最多叠几个杯子,可以竖着一次性放进柜子里?
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式。
（2）小明把杯子叠成如图①的一摞,放入高 40.1 cm 的柜子里(如图②)。请你帮小明算一算,一摞最多叠几个杯子,可以竖着一次性放进柜子里?
答案
18. （1）设$y=kx+b$。由表可知,(1,9),(3,10)在函数上,即$\begin{cases}k+b=9,\\3k+b=10,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=\frac{17}{2}。\end{cases}$所以$y=\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}$。
（2）由题意,$\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}≤40.1$,解得$x≤63.2$。所以一摞最多叠 63 个杯子,可以竖着一次性放进柜子里。
（2）由题意,$\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}≤40.1$,解得$x≤63.2$。所以一摞最多叠 63 个杯子,可以竖着一次性放进柜子里。
解析
【分析】
（1）题目明确y与x为一次函数关系，可采用待定系数法求解：先设一次函数通式为$y=kx+b$（$k≠0$），再选取表格中两组x、y的对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b即可得到函数表达式。
（2）要使纸杯能放进柜子，需满足纸杯总高度≤柜子高度40.1cm，将第一问得到的函数表达式代入该不等关系，解出x的取值范围后，结合x是正整数的实际意义，取最大整数解即可。
【解析】
（1）设y与x的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
根据表格数据，将$(1,9)$、$(3,10)$代入表达式得：
$\begin{cases} k + b = 9 \\ 3k + b = 10 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$2k=1$，解得$k=\frac{1}{2}$；
将$k=\frac{1}{2}$代入$k+b=9$，得$\frac{1}{2}+b=9$，解得$b=\frac{17}{2}$。
因此y与x的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}$。
（2）由题意得纸杯总高度不超过柜子高度，列不等式：
$\frac{1}{2}x+\frac{17}{2} ≤ 40.1$
不等式两边同乘2得：$x+17≤80.2$
移项计算得：$x≤63.2$
因为x为纸杯个数，是正整数，所以x的最大值为63。
【答案】
（1）$y=\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}$；（2）63个
【知识点】
待定系数法求一次函数、一元一次不等式的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数与不等式的综合应用，解题关键是先准确求出函数解析式，再结合实际问题的限制条件求解，需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
（1）题目明确y与x为一次函数关系，可采用待定系数法求解：先设一次函数通式为$y=kx+b$（$k≠0$），再选取表格中两组x、y的对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b即可得到函数表达式。
（2）要使纸杯能放进柜子，需满足纸杯总高度≤柜子高度40.1cm，将第一问得到的函数表达式代入该不等关系，解出x的取值范围后，结合x是正整数的实际意义，取最大整数解即可。
【解析】
（1）设y与x的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
根据表格数据，将$(1,9)$、$(3,10)$代入表达式得：
$\begin{cases} k + b = 9 \\ 3k + b = 10 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$2k=1$，解得$k=\frac{1}{2}$；
将$k=\frac{1}{2}$代入$k+b=9$，得$\frac{1}{2}+b=9$，解得$b=\frac{17}{2}$。
因此y与x的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}$。
（2）由题意得纸杯总高度不超过柜子高度，列不等式：
$\frac{1}{2}x+\frac{17}{2} ≤ 40.1$
不等式两边同乘2得：$x+17≤80.2$
移项计算得：$x≤63.2$
因为x为纸杯个数，是正整数，所以x的最大值为63。
【答案】
（1）$y=\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}$；（2）63个
【知识点】
待定系数法求一次函数、一元一次不等式的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数与不等式的综合应用，解题关键是先准确求出函数解析式，再结合实际问题的限制条件求解，需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
