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1. (2025·常州)在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=3$，$AC=4$，则$\sin B$的值是 ()
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{4}{3}$
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{4}{3}$
答案
C
解析
【分析】
要计算$\sin B$的值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边长度与斜边长度的比值。因此我们需要先求出$Rt△ ABC$的斜边长度，再找到$∠ B$的对边长度，代入定义计算即可。已知$∠ A=90°$，$AB$、$AC$为直角边，可先通过勾股定理求出斜边$BC$的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
根据正弦的定义，$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}$，其中$∠ B$的对边为$AC$，斜边为$BC$，因此：
$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正弦的定义
【点评】
本题是基础计算类题目，解题的核心是准确掌握锐角正弦的定义，注意不要混淆锐角的对边和邻边，结合勾股定理求出斜边后即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要计算$\sin B$的值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边长度与斜边长度的比值。因此我们需要先求出$Rt△ ABC$的斜边长度，再找到$∠ B$的对边长度，代入定义计算即可。已知$∠ A=90°$，$AB$、$AC$为直角边，可先通过勾股定理求出斜边$BC$的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
根据正弦的定义，$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}$，其中$∠ B$的对边为$AC$，斜边为$BC$，因此：
$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正弦的定义
【点评】
本题是基础计算类题目，解题的核心是准确掌握锐角正弦的定义，注意不要混淆锐角的对边和邻边，结合勾股定理求出斜边后即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=13$，$AC=5$，则$\sin A$的值为（）
A.$\dfrac{5}{13}$
B.$\dfrac{12}{13}$
C.$\dfrac{5}{12}$
D.$\dfrac{12}{5}$
A.$\dfrac{5}{13}$
B.$\dfrac{12}{13}$
C.$\dfrac{5}{12}$
D.$\dfrac{12}{5}$
答案
B
解析
【分析】
要求$\sin A$的值，首先回忆锐角正弦的定义：直角三角形中，一个锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中斜边$AB=13$，$∠ A$的对边是$BC$，长度未知，因此先利用勾股定理求出$BC$的长度，再代入正弦定义计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$
根据锐角正弦的定义，$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比值，即：
$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{12}{13}$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查勾股定理的应用和锐角正弦的定义，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要求$\sin A$的值，首先回忆锐角正弦的定义：直角三角形中，一个锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中斜边$AB=13$，$∠ A$的对边是$BC$，长度未知，因此先利用勾股定理求出$BC$的长度，再代入正弦定义计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$
根据锐角正弦的定义，$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比值，即：
$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{12}{13}$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查勾股定理的应用和锐角正弦的定义，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 如图，一辆小车沿倾斜角为$α$的斜坡向上行驶13 m，已知$\cosα=\dfrac{12}{13}$，则小车上升的高度是（）
A.5 m
B.6 m
C.6.5 m
D.12 m
A.5 m
B.6 m
C.6.5 m
D.12 m
答案
A
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的实际应用题，我们可以先将实际场景转化为直角三角形模型：斜坡长度为直角三角形的斜边，长度13m，倾斜角α的邻边是小车水平移动的距离，对边就是小车上升的高度。解题时可以先根据余弦的定义求出水平移动的距离，再利用勾股定理计算上升的高度；也可以先通过同角三角函数的关系求出sinα，再结合斜边长度求出对边长度。
【解析】
设小车上升的高度为$ h \, \mathrm{m} $，小车水平移动的距离为$ x \, \mathrm{m} $。
根据锐角余弦的定义：$ \cosα = \frac{\mathrm{α的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{x}{13} $，已知$ \cosα=\frac{12}{13} $，代入得：
$ \frac{x}{13}=\frac{12}{13} $，解得$ x=12 \, \mathrm{m} $。
在直角三角形中，由勾股定理可得：$ x^2 + h^2 = 13^2 $，
将$ x=12 $代入：$ 12^2 + h^2 = 169 $，
即$ 144 + h^2 =169 $，移项得$ h^2=25 $，
因为高度为正数，所以$ h=5 \, \mathrm{m} $。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，解直角三角形的应用
【点评】
本题属于三角函数的基础应用型题目，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的数学模型，准确找到锐角对应的边、斜边的关系，结合勾股定理即可快速求解，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
这是一道解直角三角形的实际应用题，我们可以先将实际场景转化为直角三角形模型：斜坡长度为直角三角形的斜边，长度13m，倾斜角α的邻边是小车水平移动的距离，对边就是小车上升的高度。解题时可以先根据余弦的定义求出水平移动的距离，再利用勾股定理计算上升的高度；也可以先通过同角三角函数的关系求出sinα，再结合斜边长度求出对边长度。
【解析】
设小车上升的高度为$ h \, \mathrm{m} $，小车水平移动的距离为$ x \, \mathrm{m} $。
根据锐角余弦的定义：$ \cosα = \frac{\mathrm{α的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{x}{13} $，已知$ \cosα=\frac{12}{13} $，代入得：
$ \frac{x}{13}=\frac{12}{13} $，解得$ x=12 \, \mathrm{m} $。
在直角三角形中，由勾股定理可得：$ x^2 + h^2 = 13^2 $，
将$ x=12 $代入：$ 12^2 + h^2 = 169 $，
即$ 144 + h^2 =169 $，移项得$ h^2=25 $，
因为高度为正数，所以$ h=5 \, \mathrm{m} $。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，解直角三角形的应用
【点评】
本题属于三角函数的基础应用型题目，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的数学模型，准确找到锐角对应的边、斜边的关系，结合勾股定理即可快速求解，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
4. 如图2,在Rt△ABC中,斜边AB的长为m,∠A=35°,则直角边BC的长是 ()
A.$m·\sin35°$
B.$m·\cos35°$
C.$\frac{m}{\sin35°}$
D.$\frac{m}{\cos35°}$
A.$m·\sin35°$
B.$m·\cos35°$
C.$\frac{m}{\sin35°}$
D.$\frac{m}{\cos35°}$
答案
A
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的基础题，解题时首先回忆锐角三角函数的定义：先明确直角三角形中∠A的对边、邻边和斜边，本题中Rt△ABC的斜边为AB，∠A的对边是BC，已知斜边长度和锐角度数求对边长度，匹配正弦函数的定义（正弦=对边/斜边），通过公式变形即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ 根据正弦的定义可得：$\sin∠ A=\frac{BC}{AB}$，
已知AB=m，∠A=35°，对公式变形得：
$BC=AB·\sin35°=m·\sin35°$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，侧重考查对锐角三角函数定义的理解和运用，解题的核心是准确匹配角和对应边的关系，选对对应的三角函数公式。
【难度系数】
0.8
这是一道解直角三角形的基础题，解题时首先回忆锐角三角函数的定义：先明确直角三角形中∠A的对边、邻边和斜边，本题中Rt△ABC的斜边为AB，∠A的对边是BC，已知斜边长度和锐角度数求对边长度，匹配正弦函数的定义（正弦=对边/斜边），通过公式变形即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ 根据正弦的定义可得：$\sin∠ A=\frac{BC}{AB}$，
已知AB=m，∠A=35°，对公式变形得：
$BC=AB·\sin35°=m·\sin35°$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，侧重考查对锐角三角函数定义的理解和运用，解题的核心是准确匹配角和对应边的关系，选对对应的三角函数公式。
【难度系数】
0.8
5. (2025·济南)如图3,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D,E都在网格的格点上,则下列结论正确的是 ()
A.$∠ DAC＞∠ EBA$
B.$∠ DAC＜∠ EBA$
C.$∠ DAC=∠ EBA$
D.$∠ DAC+∠ EBA=60°$
A.$∠ DAC＞∠ EBA$
B.$∠ DAC＜∠ EBA$
C.$∠ DAC=∠ EBA$
D.$∠ DAC+∠ EBA=60°$
答案
C
解析
【分析】要比较网格中两个锐角的大小，可通过计算两个角的正切值判断：锐角的正切值随角度增大而增大，若两个锐角的正切值相等，则角度相等。第一步先分别确定∠DAC和∠EBA的对边、邻边长度，第二步计算两个角的正切值，第三步比较正切值大小，结合锐角的性质得出角度关系。
【解析】设每个小正方形的边长为1。
1. 计算$∠ DAC$的正切值：$∠ DAC$的顶点为A，邻边为水平向右的线段，长度为6，对边为竖直向上的线段，长度为4，根据正切定义可得：
$\tan∠ DAC=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
2. 计算$∠ EBA$的正切值：$∠ EBA$的顶点为B，邻边为水平向左的线段，长度为3，对边为竖直向下的线段，长度为2，根据正切定义可得：
$\tan∠ EBA=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{2}{3}$
3. 比较角度：因为$∠ DAC$和$∠ EBA$都是锐角，且$\tan∠ DAC=\tan∠ EBA$，所以$∠ DAC=∠ EBA$。
【答案】C
【知识点】正切的定义；锐角三角函数的性质；网格角度计算
【点评】本题是网格背景下的角度比较问题，解题核心是借助正切的定义将角度比较转化为正切值的大小比较，渗透了数形结合的思想，属于基础常考题。
【难度系数】0.7
【解析】设每个小正方形的边长为1。
1. 计算$∠ DAC$的正切值：$∠ DAC$的顶点为A，邻边为水平向右的线段，长度为6，对边为竖直向上的线段，长度为4，根据正切定义可得：
$\tan∠ DAC=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
2. 计算$∠ EBA$的正切值：$∠ EBA$的顶点为B，邻边为水平向左的线段，长度为3，对边为竖直向下的线段，长度为2，根据正切定义可得：
$\tan∠ EBA=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{2}{3}$
3. 比较角度：因为$∠ DAC$和$∠ EBA$都是锐角，且$\tan∠ DAC=\tan∠ EBA$，所以$∠ DAC=∠ EBA$。
【答案】C
【知识点】正切的定义；锐角三角函数的性质；网格角度计算
【点评】本题是网格背景下的角度比较问题，解题核心是借助正切的定义将角度比较转化为正切值的大小比较，渗透了数形结合的思想，属于基础常考题。
【难度系数】0.7
6. 如图4,在$△ ABC$中,$CA=CB=4,\cos C=\dfrac{1}{4}$,则$\sin B$的值为（）
A.$\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{15}}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{6}}{4}$
D.$\dfrac{\sqrt{10}}{4}$
A.$\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{15}}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{6}}{4}$
D.$\dfrac{\sqrt{10}}{4}$
答案
D
解析
【分析】
本题是等腰三角形中求锐角正弦值的问题，解题核心是通过作高构造直角三角形，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解。首先过点A作BC边上的高，先在含∠C的直角三角形中利用余弦的定义求出直角边长度，再用勾股定理算另一条直角边；接着计算∠B所在直角三角形的各边长，最后根据正弦的定义求出sinB的值即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D：
在Rt△ADC中，AC=4，$\cos C=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{1}{4}$，
∴ $CD=AC×\cos C=4×\dfrac{1}{4}=1$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$。
∵ $CB=4$，
∴ $BD=BC-CD=4-1=3$，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(\sqrt{15})^2+3^2}=\sqrt{15+9}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，
根据正弦的定义：$\sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{\sqrt{15}}{2\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{15}×\sqrt{6}}{2×6}=\dfrac{3\sqrt{10}}{12}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题考查解三角形的基础应用，作高构造直角三角形是解决斜三角形计算问题的常用方法，解题时要熟练掌握锐角三角函数的定义，同时注意二次根式化简的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
本题是等腰三角形中求锐角正弦值的问题，解题核心是通过作高构造直角三角形，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解。首先过点A作BC边上的高，先在含∠C的直角三角形中利用余弦的定义求出直角边长度，再用勾股定理算另一条直角边；接着计算∠B所在直角三角形的各边长，最后根据正弦的定义求出sinB的值即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D：
在Rt△ADC中，AC=4，$\cos C=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{1}{4}$，
∴ $CD=AC×\cos C=4×\dfrac{1}{4}=1$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$。
∵ $CB=4$，
∴ $BD=BC-CD=4-1=3$，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(\sqrt{15})^2+3^2}=\sqrt{15+9}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，
根据正弦的定义：$\sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{\sqrt{15}}{2\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{15}×\sqrt{6}}{2×6}=\dfrac{3\sqrt{10}}{12}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题考查解三角形的基础应用，作高构造直角三角形是解决斜三角形计算问题的常用方法，解题时要熟练掌握锐角三角函数的定义，同时注意二次根式化简的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
