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6. 时代购物广场要修建一个地下停车场,停车场的入口设计示意图如图14所示,其中斜坡的坡度为$1:3$,一楼到地下停车场地面的垂直高度$CD=3.2\ \mathrm{m}$,一楼到地平线的距离$BC=1\ \mathrm{m}$.
(1)为保证斜坡的坡度为$1:3$,应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工?
(2)如果给该购物广场送货的货车高度为$2.8\ \mathrm{m}$,那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场?请说明理由.(参考数据:$\sqrt{10}≈3.2$)
(1)为保证斜坡的坡度为$1:3$,应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工?
(2)如果给该购物广场送货的货车高度为$2.8\ \mathrm{m}$,那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场?请说明理由.(参考数据:$\sqrt{10}≈3.2$)
答案
解：
(1) 由题意可知，$BD = CD - BC = 3.2 - 1 = 2.2\ \mathrm{m}$，
∵ 斜坡$AD$的坡度为$1:3$，
∴ $\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{1}{3}$，
∴ $AB = 3BD = 3 × 2.2 = 6.6\ \mathrm{m}$。
答：应在地面上距点$B$ $6.6\ \mathrm{m}$的$A$处开始斜坡的施工。
(2) 能保证货车顺利进入地下停车场，理由如下：
过点$C$作$CE ⊥ AD$，垂足为$E$，
∵ 斜坡$AD$的坡度为$1:3$，即$\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{1}{3}$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD = \sqrt{BD^2 + AB^2} = \sqrt{BD^2 + (3BD)^2} = \sqrt{10} · BD$，
∴ $\sin∠ ADB = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3BD}{\sqrt{10} · BD} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ CED=90°$，$∠ CDE = ∠ ADB$，
∴ $CE = CD · \sin∠ CDE = CD · \dfrac{3}{\sqrt{10}}$，
代入$CD=3.2$，$\sqrt{10} \approx 3.2$，得：
$CE \approx \dfrac{3.2 × 3}{3.2} = 3\ \mathrm{m}$，
∵ $3\ \mathrm{m} ＞ 2.8\ \mathrm{m}$，
∴ 按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场。
(1) 由题意可知，$BD = CD - BC = 3.2 - 1 = 2.2\ \mathrm{m}$，
∵ 斜坡$AD$的坡度为$1:3$，
∴ $\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{1}{3}$，
∴ $AB = 3BD = 3 × 2.2 = 6.6\ \mathrm{m}$。
答：应在地面上距点$B$ $6.6\ \mathrm{m}$的$A$处开始斜坡的施工。
(2) 能保证货车顺利进入地下停车场，理由如下：
过点$C$作$CE ⊥ AD$，垂足为$E$，
∵ 斜坡$AD$的坡度为$1:3$，即$\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{1}{3}$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD = \sqrt{BD^2 + AB^2} = \sqrt{BD^2 + (3BD)^2} = \sqrt{10} · BD$，
∴ $\sin∠ ADB = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3BD}{\sqrt{10} · BD} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ CED=90°$，$∠ CDE = ∠ ADB$，
∴ $CE = CD · \sin∠ CDE = CD · \dfrac{3}{\sqrt{10}}$，
代入$CD=3.2$，$\sqrt{10} \approx 3.2$，得：
$CE \approx \dfrac{3.2 × 3}{3.2} = 3\ \mathrm{m}$，
∵ $3\ \mathrm{m} ＞ 2.8\ \mathrm{m}$，
∴ 按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场。
解析
【分析】
（1）首先明确坡度的定义：坡度是斜坡的垂直高度与水平宽度的比值。先计算斜坡AD的垂直高度BD，BD等于一楼到地下停车场的垂直高度CD减去一楼到地平线的距离BC，再根据坡度1:3的比例关系$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$，代入BD的数值即可求出AB的长度。
（2）要判断货车能否顺利进入，需计算斜坡通道的最大限高，即点C到斜坡AD的垂线段长度。过点C作CE⊥AD于E，CE就是通道的限高。先在Rt△ABD中利用勾股定理求出AD的长度，推导得到∠ADB的正弦值，再利用等角的三角函数值相等，在Rt△CDE中计算出CE的长度，将CE和货车高度2.8m比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意可知，斜坡的垂直高度 $BD = CD - BC = 3.2 - 1 = 2.2\ \mathrm{m}$，
∵ 斜坡$AD$的坡度为$1:3$，即垂直高度与水平宽度的比为$1:3$，
∴ $\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{1}{3}$，
∴ $AB = 3BD = 3 × 2.2 = 6.6\ \mathrm{m}$。
(2) 能保证货车顺利进入地下停车场，理由如下：
过点$C$作$CE ⊥ AD$，垂足为$E$，
∵ 斜坡$AD$的坡度为$1:3$，即$\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{1}{3}$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{BD^2 + AB^2} = \sqrt{BD^2 + (3BD)^2} = \sqrt{10} · BD$，
∴ $\sin∠ ADB = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3BD}{\sqrt{10} · BD} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ CED=90°$，$∠ CDE = ∠ ADB$，
∴ $CE = CD · \sin∠ CDE = CD · \dfrac{3}{\sqrt{10}}$，
代入$CD=3.2$，$\sqrt{10} \approx 3.2$，得：
$CE \approx \dfrac{3.2 × 3}{3.2} = 3\ \mathrm{m}$，
∵ $3\ \mathrm{m} ＞ 2.8\ \mathrm{m}$，
∴ 按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6.6\ \mathrm{m}}$；(2) 能保证货车顺利进入地下停车场
【知识点】
坡度的定义，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，重点考查学生对坡度概念的理解、转化思想的运用和基本运算能力。
【难度系数】
0.65
（1）首先明确坡度的定义：坡度是斜坡的垂直高度与水平宽度的比值。先计算斜坡AD的垂直高度BD，BD等于一楼到地下停车场的垂直高度CD减去一楼到地平线的距离BC，再根据坡度1:3的比例关系$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$，代入BD的数值即可求出AB的长度。
（2）要判断货车能否顺利进入，需计算斜坡通道的最大限高，即点C到斜坡AD的垂线段长度。过点C作CE⊥AD于E，CE就是通道的限高。先在Rt△ABD中利用勾股定理求出AD的长度，推导得到∠ADB的正弦值，再利用等角的三角函数值相等，在Rt△CDE中计算出CE的长度，将CE和货车高度2.8m比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意可知，斜坡的垂直高度 $BD = CD - BC = 3.2 - 1 = 2.2\ \mathrm{m}$，
∵ 斜坡$AD$的坡度为$1:3$，即垂直高度与水平宽度的比为$1:3$，
∴ $\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{1}{3}$，
∴ $AB = 3BD = 3 × 2.2 = 6.6\ \mathrm{m}$。
(2) 能保证货车顺利进入地下停车场，理由如下：
过点$C$作$CE ⊥ AD$，垂足为$E$，
∵ 斜坡$AD$的坡度为$1:3$，即$\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{1}{3}$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{BD^2 + AB^2} = \sqrt{BD^2 + (3BD)^2} = \sqrt{10} · BD$，
∴ $\sin∠ ADB = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3BD}{\sqrt{10} · BD} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ CED=90°$，$∠ CDE = ∠ ADB$，
∴ $CE = CD · \sin∠ CDE = CD · \dfrac{3}{\sqrt{10}}$，
代入$CD=3.2$，$\sqrt{10} \approx 3.2$，得：
$CE \approx \dfrac{3.2 × 3}{3.2} = 3\ \mathrm{m}$，
∵ $3\ \mathrm{m} ＞ 2.8\ \mathrm{m}$，
∴ 按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6.6\ \mathrm{m}}$；(2) 能保证货车顺利进入地下停车场
【知识点】
坡度的定义，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，重点考查学生对坡度概念的理解、转化思想的运用和基本运算能力。
【难度系数】
0.65
