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1.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + ax + b = 0$有一个非零根$-b$，则$a - b$的值为 （）
A.1
B.-1
C.0
D.-2
A.1
B.-1
C.0
D.-2
答案
A
解析
【分析】
首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知方程的一个非零根是-b，解题时第一步将x=-b代入原方程得到关于a、b的等式，第二步结合根是非零的条件（即-b≠0，也就是b≠0）对等式进行化简，最终求出a-b的值。
【解析】
∵ x=-b是一元二次方程$x^2 + ax + b = 0$的根，
∴ 将x=-b代入方程，得：
$(-b)^2 + a·(-b) + b = 0$
整理得：$b^2 - ab + b = 0$
提取公因式b，得：$b(b - a + 1) = 0$
又
∵ 根$-b$是非零根，即$-b≠0$，
∴ $b≠0$
∴ 等式两边同时除以b，得：$b - a + 1 = 0$
移项可得：$a - b = 1$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解的应用；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的定义的应用，解题时注意利用“非零根”的条件排除b=0的情况，即可快速推导得到结果。
【难度系数】
0.8
首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知方程的一个非零根是-b，解题时第一步将x=-b代入原方程得到关于a、b的等式，第二步结合根是非零的条件（即-b≠0，也就是b≠0）对等式进行化简，最终求出a-b的值。
【解析】
∵ x=-b是一元二次方程$x^2 + ax + b = 0$的根，
∴ 将x=-b代入方程，得：
$(-b)^2 + a·(-b) + b = 0$
整理得：$b^2 - ab + b = 0$
提取公因式b，得：$b(b - a + 1) = 0$
又
∵ 根$-b$是非零根，即$-b≠0$，
∴ $b≠0$
∴ 等式两边同时除以b，得：$b - a + 1 = 0$
移项可得：$a - b = 1$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解的应用；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的定义的应用，解题时注意利用“非零根”的条件排除b=0的情况，即可快速推导得到结果。
【难度系数】
0.8
2. 已知点$A(-2,y_1)$，$B(2,y_2)$在反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$的图象上，则$y_1$和$y_2$的大小关系是（）
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1≥ y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.$y_1≤ y_2$
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1≥ y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.$y_1≤ y_2$
答案
A
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将两个点的横坐标分别代入解析式求出$y_1$、$y_2$的值，直接比较大小即可；思路二：根据反比例函数中$k$的符号判断函数图象所在象限，结合两个点的横坐标的正负确定它们所在的象限，利用第二象限点的纵坐标为正、第四象限点的纵坐标为负的性质，快速比较大小。
【解析】
方法一：代入计算法
∵点$A(-2,y_1)$在反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$的图象上
∴将$x=-2$代入解析式得：$y_1=-\dfrac{12}{-2}=6$
同理，点$B(2,y_2)$在图象上，将$x=2$代入得：$y_2=-\dfrac{12}{2}=-6$
∵$6 ＞ -6$
∴$y_1 ＞ y_2$
方法二：性质判断法
反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$中，$k=-12 ＜ 0$，因此函数图象分布在第二、四象限
点A的横坐标为$-2 ＜ 0$，位于第二象限，故$y_1 ＞ 0$
点B的横坐标为$2 ＞ 0$，位于第四象限，故$y_2 ＜ 0$
∵正数大于负数
∴$y_1 ＞ y_2$
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础常考题，解题方法灵活，既可以通过代入计算直接得到结果，也可以利用函数图象的性质快速判断，能很好地考察学生对基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路一：利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将两个点的横坐标分别代入解析式求出$y_1$、$y_2$的值，直接比较大小即可；思路二：根据反比例函数中$k$的符号判断函数图象所在象限，结合两个点的横坐标的正负确定它们所在的象限，利用第二象限点的纵坐标为正、第四象限点的纵坐标为负的性质，快速比较大小。
【解析】
方法一：代入计算法
∵点$A(-2,y_1)$在反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$的图象上
∴将$x=-2$代入解析式得：$y_1=-\dfrac{12}{-2}=6$
同理，点$B(2,y_2)$在图象上，将$x=2$代入得：$y_2=-\dfrac{12}{2}=-6$
∵$6 ＞ -6$
∴$y_1 ＞ y_2$
方法二：性质判断法
反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$中，$k=-12 ＜ 0$，因此函数图象分布在第二、四象限
点A的横坐标为$-2 ＜ 0$，位于第二象限，故$y_1 ＞ 0$
点B的横坐标为$2 ＞ 0$，位于第四象限，故$y_2 ＜ 0$
∵正数大于负数
∴$y_1 ＞ y_2$
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础常考题，解题方法灵活，既可以通过代入计算直接得到结果，也可以利用函数图象的性质快速判断，能很好地考察学生对基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.9
3. 根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功地找到三角形内心的是 ()
答案
$\boxed{B}$
解析
【分析】
要解决本题，首先明确核心概念：三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此我们需要判断哪个选项的尺规作图痕迹作出了两个内角的角平分线，二者的交点即为内心。首先回忆作图特征：角平分线的尺规作图会在角的内部留下两条弧的交点；线段垂直平分线的尺规作图会在线段的上下两侧都留下弧的交点，其交点是三角形的外心，据此逐一判断选项即可。
【解析】
三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，结合尺规作图的痕迹逐一分析：
选项A：作图痕迹包含1个内角的角平分线和底边的垂直平分线，无法得到两个内角角平分线的交点，不符合要求；
选项B：作图痕迹是分别作出三角形左下角、右下角两个内角的角平分线，两条角平分线的交点就是三角形的内心，符合要求；
选项C：作图痕迹是三角形两条边的垂直平分线，交点为三角形的外心，不符合内心的定义；
选项D：作图痕迹为一条边的垂直平分线和无关的弧，无法得到两个内角角平分线的交点，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
$\boxed{B}$
【知识点】
三角形内心的定义；角平分线的尺规作图
【点评】
本题侧重考查基础概念的理解与作图痕迹的识别，解题关键是牢记三角形内心是角平分线的交点，能够准确区分角平分线和线段垂直平分线的尺规作图痕迹。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确核心概念：三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此我们需要判断哪个选项的尺规作图痕迹作出了两个内角的角平分线，二者的交点即为内心。首先回忆作图特征：角平分线的尺规作图会在角的内部留下两条弧的交点；线段垂直平分线的尺规作图会在线段的上下两侧都留下弧的交点，其交点是三角形的外心，据此逐一判断选项即可。
【解析】
三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，结合尺规作图的痕迹逐一分析：
选项A：作图痕迹包含1个内角的角平分线和底边的垂直平分线，无法得到两个内角角平分线的交点，不符合要求；
选项B：作图痕迹是分别作出三角形左下角、右下角两个内角的角平分线，两条角平分线的交点就是三角形的内心，符合要求；
选项C：作图痕迹是三角形两条边的垂直平分线，交点为三角形的外心，不符合内心的定义；
选项D：作图痕迹为一条边的垂直平分线和无关的弧，无法得到两个内角角平分线的交点，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
$\boxed{B}$
【知识点】
三角形内心的定义；角平分线的尺规作图
【点评】
本题侧重考查基础概念的理解与作图痕迹的识别，解题关键是牢记三角形内心是角平分线的交点，能够准确区分角平分线和线段垂直平分线的尺规作图痕迹。
【难度系数】
0.7
4. 在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,若一共碰杯55次,则参加酒会的人数为 ()
A.9
B.10
C.11
D.12
A.9
B.10
C.11
D.12
答案
C
解析
【分析】
这是典型的“单循环计数”类实际问题，解题思路如下：①先设参加酒会的人数为未知数x；②理解“每两人只碰一次杯”的含义：每个人需要和除自己外的(x-1)人碰杯，直接用x乘(x-1)的话，每一次碰杯会被两个人各统计1次，存在重复计数，因此实际总碰杯次数为$\frac{x(x-1)}{2}$；③根据总碰杯次数为55次列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根即可得到答案。
【解析】
设参加酒会的人数为$x$人。
根据题意，每两人只碰一次杯，总碰杯次数不存在重复统计，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=55$
整理方程得：
$x^2 - x - 110 = 0$
因式分解得：
$(x-11)(x+10)=0$
解得$x_1=11$，$x_2=-10$。
因为人数不能为负数，故舍去$x=-10$，即参加酒会的人数为11人。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环计数问题
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题核心是理清计数逻辑，避免重复计算，同时要注意方程的解需符合实际场景的要求，舍去不符合题意的根。
【难度系数】
0.7
这是典型的“单循环计数”类实际问题，解题思路如下：①先设参加酒会的人数为未知数x；②理解“每两人只碰一次杯”的含义：每个人需要和除自己外的(x-1)人碰杯，直接用x乘(x-1)的话，每一次碰杯会被两个人各统计1次，存在重复计数，因此实际总碰杯次数为$\frac{x(x-1)}{2}$；③根据总碰杯次数为55次列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根即可得到答案。
【解析】
设参加酒会的人数为$x$人。
根据题意，每两人只碰一次杯，总碰杯次数不存在重复统计，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=55$
整理方程得：
$x^2 - x - 110 = 0$
因式分解得：
$(x-11)(x+10)=0$
解得$x_1=11$，$x_2=-10$。
因为人数不能为负数，故舍去$x=-10$，即参加酒会的人数为11人。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环计数问题
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题核心是理清计数逻辑，避免重复计算，同时要注意方程的解需符合实际场景的要求，舍去不符合题意的根。
【难度系数】
0.7
5. 将一个底面半径为6 cm，母线长为15 cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 ()
A.$54°$
B.$126°$
C.$136°$
D.$144°$
A.$54°$
B.$126°$
C.$136°$
D.$144°$
答案
D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确圆锥侧面展开图的性质：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以利用这组等量关系，结合弧长计算公式列出关于圆心角的方程，求解即可得到结果。
【解析】
设侧面展开图的圆心角为$n°$，已知圆锥底面半径$r=6\mathrm{cm}$，母线长$R=15\mathrm{cm}$。
1. 计算圆锥底面圆的周长：
$C=2π r=2π×6=12π\mathrm{cm}$
2. 圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，可得方程：
$\frac{nπ×15}{180}=12π$
3. 解方程：
两边同时约去$π$，得$\frac{15n}{180}=12$，计算得$n=\frac{12×180}{15}=144$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长计算公式
【点评】
本题是圆锥计算的典型基础题，解题核心是找准圆锥与侧面展开扇形的对应等量关系，只要掌握“底面周长等于展开扇形弧长”这一关键点即可顺利求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确圆锥侧面展开图的性质：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以利用这组等量关系，结合弧长计算公式列出关于圆心角的方程，求解即可得到结果。
【解析】
设侧面展开图的圆心角为$n°$，已知圆锥底面半径$r=6\mathrm{cm}$，母线长$R=15\mathrm{cm}$。
1. 计算圆锥底面圆的周长：
$C=2π r=2π×6=12π\mathrm{cm}$
2. 圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，可得方程：
$\frac{nπ×15}{180}=12π$
3. 解方程：
两边同时约去$π$，得$\frac{15n}{180}=12$，计算得$n=\frac{12×180}{15}=144$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长计算公式
【点评】
本题是圆锥计算的典型基础题，解题核心是找准圆锥与侧面展开扇形的对应等量关系，只要掌握“底面周长等于展开扇形弧长”这一关键点即可顺利求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图1,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$∠ BAC=30°$,$AB=\sqrt{3}$. 将$△ ABC$绕顶点$C$顺时针旋转至$△ A'B'C'$的位置,且$A,C,B'$三点在同一条直线上,则点$A$经过的路线的长度是 ()
A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.$\dfrac{32π}{3}$
D.$\dfrac{4π}{3}$
A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.$\dfrac{32π}{3}$
D.$\dfrac{4π}{3}$
答案
D
解析
【分析】
要计算点A经过的路线长度，首先明确点A的运动轨迹是：以旋转中心C为圆心，AC长为半径的一段圆弧，因此解题需要分三步：①利用直角三角形的性质求出AC的长度；②结合旋转的性质和A、C、B'共线的条件，求出旋转的圆心角；③代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ BAC=30°$，
∴ $∠ ACB=180°-90°-30°=60°$，且$AC=2BC$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
设$BC=x$，则$AC=2x$，由勾股定理得：
$AB^2+BC^2=AC^2$，代入$AB=\sqrt{3}$，
即 $(\sqrt{3})^2 + x^2 = (2x)^2$，
解得$x=1$，因此$AC=2×1=2$。
由旋转的性质可知，$∠ A'CB'=∠ ACB=60°$，
∵ A、C、B'三点在同一条直线上，
∴ 旋转角$∠ ACA'=180°-∠ A'CB'=180°-60°=120°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为圆心角度数，r为半径），
点A经过的路线长度为$\frac{120×π×2}{180}=\frac{4π}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
弧长的计算；旋转的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是几何变换类的常见题型，解题核心是准确判断动点的运动轨迹，结合旋转的性质找到弧长计算需要的半径和圆心角，再代入公式计算即可，对学生的几何分析能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7
要计算点A经过的路线长度，首先明确点A的运动轨迹是：以旋转中心C为圆心，AC长为半径的一段圆弧，因此解题需要分三步：①利用直角三角形的性质求出AC的长度；②结合旋转的性质和A、C、B'共线的条件，求出旋转的圆心角；③代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ BAC=30°$，
∴ $∠ ACB=180°-90°-30°=60°$，且$AC=2BC$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
设$BC=x$，则$AC=2x$，由勾股定理得：
$AB^2+BC^2=AC^2$，代入$AB=\sqrt{3}$，
即 $(\sqrt{3})^2 + x^2 = (2x)^2$，
解得$x=1$，因此$AC=2×1=2$。
由旋转的性质可知，$∠ A'CB'=∠ ACB=60°$，
∵ A、C、B'三点在同一条直线上，
∴ 旋转角$∠ ACA'=180°-∠ A'CB'=180°-60°=120°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为圆心角度数，r为半径），
点A经过的路线长度为$\frac{120×π×2}{180}=\frac{4π}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
弧长的计算；旋转的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是几何变换类的常见题型，解题核心是准确判断动点的运动轨迹，结合旋转的性质找到弧长计算需要的半径和圆心角，再代入公式计算即可，对学生的几何分析能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7
7. 如图2，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为 （）
A.6.5米
B.9米
C.13米
D.15米
A.6.5米
B.9米
C.13米
D.15米
答案
A
解析
【分析】
这是一道圆的实际应用问题，解题思路如下：首先将桥拱问题转化为圆的几何问题，圆弧形桥拱的跨度AB是圆的弦，拱高CD是弧AB的中点到弦AB的距离，因此CD所在直线必过圆心且垂直平分AB（垂径定理的推论）。我们可以设圆的半径为r，构造出由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设圆弧所在圆的圆心为O，半径为r米，连接OA。
由拱高的定义可知，点O、C、D在同一条直线上，且CD⊥AB。
根据垂径定理，D为AB的中点，因此$AD=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6$米。
又因为OC是半径长度为r，CD=4米，所以弦心距$OD=OC-CD=(r-4)$米。
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$
代入数值可得：
$r^2=6^2+(r-4)^2$
展开计算：
$r^2=36+r^2-8r+16$
消去$r^2$后整理得：
$8r=52$
解得$r=6.5$
即拱桥的半径为6.5米。
【答案】
A
【知识点】
1. 垂径定理
2. 勾股定理
3. 圆的实际应用
【点评】
本题是圆在实际生活中的典型应用题，解题的核心是将实际场景转化为几何模型，利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，体现了数形结合和方程思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
这是一道圆的实际应用问题，解题思路如下：首先将桥拱问题转化为圆的几何问题，圆弧形桥拱的跨度AB是圆的弦，拱高CD是弧AB的中点到弦AB的距离，因此CD所在直线必过圆心且垂直平分AB（垂径定理的推论）。我们可以设圆的半径为r，构造出由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设圆弧所在圆的圆心为O，半径为r米，连接OA。
由拱高的定义可知，点O、C、D在同一条直线上，且CD⊥AB。
根据垂径定理，D为AB的中点，因此$AD=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6$米。
又因为OC是半径长度为r，CD=4米，所以弦心距$OD=OC-CD=(r-4)$米。
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$
代入数值可得：
$r^2=6^2+(r-4)^2$
展开计算：
$r^2=36+r^2-8r+16$
消去$r^2$后整理得：
$8r=52$
解得$r=6.5$
即拱桥的半径为6.5米。
【答案】
A
【知识点】
1. 垂径定理
2. 勾股定理
3. 圆的实际应用
【点评】
本题是圆在实际生活中的典型应用题，解题的核心是将实际场景转化为几何模型，利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，体现了数形结合和方程思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
