1.下列选项中所涉及的两个变量满足二次函数关系的是()。

A.等边三角形的面积S与等边三角形的边长x
B.放学时,当小希骑车速度一定时,小希离学校的距离s与小希骑车的时间t
C.当工作总量一定时,工作效率y与工作时间t
D.正方形的周长y与边长x

A

【分析】
解题时首先要回忆一次函数、反比例函数、二次函数的定义，再逐一推导每个选项中两个变量的函数关系式，将推导得到的关系式和各类函数的定义对比，即可选出符合二次函数关系的选项。
【解析】
我们先明确各类函数的定义：
二次函数：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）的函数；
一次函数：形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k≠0$）的函数，正比例函数是特殊的一次函数；
反比例函数：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数。
接下来逐一分析选项：
A选项：边长为$x$的等边三角形，高为$\frac{\sqrt{3}}{2}x$，根据三角形面积公式可得$S=\frac{1}{2}× x×\frac{\sqrt{3}}{2}x=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$，符合二次函数定义，是二次函数关系。
B选项：设骑车速度为常数$v$，则$s=vt$，属于正比例函数（一次函数），不是二次函数关系。
C选项：设工作总量为常数$k$，则$y=\frac{k}{t}$，属于反比例函数，不是二次函数关系。
D选项：正方形周长$y=4x$，属于正比例函数（一次函数），不是二次函数关系。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数的定义
2.一次函数的定义
3.反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查不同类型函数的识别，解题的关键是能结合题意或几何公式准确列出变量间的函数关系式，再结合对应函数的定义判断即可。
【难度系数】
0.85

2.已知y关于x的二次函数表达式为$y=(m-2)x^{|m|}$，则$m=$()。

A.$\pm2$
B.$1$
C.$-2$
D.$\pm1$

C

【分析】
要解这道题，首先要明确二次函数的两个核心判定条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件必须同时满足，缺一不可。我们可以先根据次数要求列出关于m的方程，再结合系数不为0的限制排除不符合的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
∵ $y=(m-2)x^{|m|}$是y关于x的二次函数
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2：$|m|=2$，解得 $m=2$ 或 $m=-2$
2. 二次项系数不为0：$m-2≠0$，解得 $m≠2$
综上，舍去不符合要求的$m=2$，可得$m=-2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；绝对值的运算
【点评】
本题属于二次函数的基础概念考查题，解题时很容易遗漏二次项系数不为0的隐含条件，直接根据次数为2选±2导致出错，熟记概念的附加限制条件是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.7

3. 给出下列函数：
①$y=5x-4$；②$y=\frac{2}{3}x^2 -6x$；
③$y=2x^3 -8x^2 +3$；④$y=\frac{3}{8}x^2 -1$；
⑤$y=\frac{3}{x^2} - \frac{1}{x} -2$。
其中属于二次函数的是。（填序号）

②④

【分析】
要判断给定的函数是否为二次函数，核心依据是二次函数的定义，解题思路如下：第一步，先回忆二次函数的判定条件：①函数表达式是整式；②自变量x的最高次数为2；③二次项系数不为0。第二步，按照上述条件逐一排查每个函数，排除不符合的，最终筛选出符合要求的二次函数。
【解析】
首先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，需同时满足3个条件：是整式函数、自变量最高次数为2、二次项系数不为0。
对每个函数逐一判断：
①$y=5x-4$：自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数要求；
②$y=\frac{2}{3}x^2 -6x$：是整式，$x$的最高次数为2，二次项系数$\frac{2}{3}≠0$，符合二次函数定义；
③$y=2x^3 -8x^2 +3$：自变量$x$的最高次数是3，属于三次函数，不符合二次函数要求；
④$y=\frac{3}{8}x^2 -1$：是整式，$x$的最高次数为2，二次项系数$\frac{3}{8}≠0$，符合二次函数定义；
⑤$y=\frac{3}{x^2} - \frac{1}{x} -2$：表达式中含有分式，不是整式函数，不符合二次函数要求。
综上，属于二次函数的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
二次函数的定义；整式的概念
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，解题的关键是牢记二次函数的三个判定条件，注意要先判断函数是否为整式，再验证最高次数和二次项系数，避免将含分式、高次项的函数误判为二次函数。
【难度系数】
0.8

4.若点$(-1,y_1),(4,y_2)$都在二次函数$y=(x-2)^2+n$的图象上,则$y_1,y_2$的大小关系为()。

A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.$y_1≥ y_2$
D.$y_1≤ y_2$

A

【分析】
要比较$y_1$、$y_2$的大小，有两种常用思路：①利用二次函数的性质判断：先明确该二次函数的开口方向、对称轴，开口向上时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，因此只需计算两个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可；②代入求值法：直接将两个点的横坐标代入函数解析式，求出$y_1$、$y_2$的表达式再比较大小。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
二次函数$y=(x-2)^2+n$的二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$。
点$(-1,y_1)$到对称轴的距离为$\vert -1 - 2\vert=3$，点$(4,y_2)$到对称轴的距离为$\vert4 - 2\vert=2$。
因为抛物线开口向上时，到对称轴距离越远的点函数值越大，且$3＞2$，所以$y_1＞y_2$。
方法二：代入求值法
将$x=-1$代入$y=(x-2)^2+n$，得$y_1=(-1-2)^2+n=9+n$；
将$x=4$代入$y=(x-2)^2+n$，得$y_2=(4-2)^2+n=4+n$。
因为$9+n＞4+n$，所以$y_1＞y_2$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，两种解题方法都较为常用，掌握二次函数顶点式中开口方向、对称轴的判断方法，就能快速完成求解。
【难度系数】
0.8

5.小明同学在用描点法画二次函数$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的图象时，列出了下面表格：

则$m$的值是。

6

【分析】
解决本题可利用二次函数的轴对称性简化计算：首先观察表格中函数值相等的两组x、y，找到关于对称轴对称的两个点，先计算出抛物线的对称轴；再找到x=-1关于对称轴的对称点，根据对称点的函数值相等，即可直接得到m的值。也可以先求出二次函数的解析式，再代入x=-1计算m的值，两种方法都可行，利用对称性计算更简便。
【解析】
方法一：利用二次函数对称性求解
∵ 二次函数的图象是轴对称图形，由表格可知x=0和x=2对应的函数值均为3
∴ 这两个点关于抛物线的对称轴对称，可得抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$
设横坐标为-1的点关于对称轴$x=1$的对称点横坐标为$x'$，则$\frac{-1+x'}{2}=1$，解得$x'=3$
根据二次函数对称性，对称点的函数值相等，因此x=-1时的函数值m与x=3时的函数值相等
由表格得x=3时y=6，故$m=6$
方法二：求解析式计算
由表格可知x=1时y=2是函数的最小值，即抛物线顶点为(1,2)，因此二次函数顶点式为$y=a(x-1)^2+2$
将x=0，y=3代入解析式得：$3=a(0-1)^2+2$，解得$a=1$
∴ 二次函数解析式为$y=(x-1)^2+2$
将x=-1代入解析式得：$m=(-1-1)^2+2=4+2=6$
【答案】
6
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，既可以通过待定系数法求出解析式计算结果，也可以利用二次函数的对称性快速求解，掌握二次函数的轴对称性是快速解决本题的核心，能有效减少计算量。
【难度系数】
0.7

6.二次函数$y=(k+2)x^2$的图象如图所示，则k的取值范围是。

$k＞-2$

【分析】
要确定k的取值范围，需结合二次函数图象的性质分析：对于形如$y=ax^2$的二次函数，抛物线的开口方向由二次项系数$a$的符号决定：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。本题中图象开口向上，因此可列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
观察题图可知，二次函数$y=(k+2)x^2$的图象开口向上，
因此二次项系数大于0，即：
$k+2＞0$
解这个不等式，移项得：
$k＞-2$
【答案】
$k＞-2$
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数$y=ax^2$的图象性质，牢记二次项系数的符号与抛物线开口方向的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9