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9. 设 $ x_1, x_2 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ (x-1)(x-2)=m^2 $ 的两个实数根.
(1)当 $ x_1=-1 $ 时,求 $ x_2 $ 及 $ m $ 的值.
(2)求证: $ (x_1-1)(x_2-1)≤0 $.
(1)当 $ x_1=-1 $ 时,求 $ x_2 $ 及 $ m $ 的值.
(2)求证: $ (x_1-1)(x_2-1)≤0 $.
答案
9.(1)把 $ x_1=-1 $ 代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,得 $ m^2=6,∴m=±\sqrt{6}.∴(x-1)(x-2)=6 $,即 $ x^2-3x-4=0 $. 解得 $ x_1=-1,x_2=4.∴x_2=4 $, $ m=±\sqrt{6} $
(2)方程$(x-1)(x-2)=m^2$ 可化为 $ x^2-3x+2-m^2=0.∵Δ=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0 $,
∴方程有两个不相等的实数根.
∵方程$(x-1)·(x-2)=m^2$ 即 $ x^2-3x+2-m^2=0 $ 的两个实数根为 $ x_1,x_2,∴x_1+x_2=3,x_1x_2=2-m^2.∴(x_1-1)·(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2.∵m^2≥0,∴-m^2≤0 $,即 $ (x_1-1)(x_2-1)≤0 $
(2)方程$(x-1)(x-2)=m^2$ 可化为 $ x^2-3x+2-m^2=0.∵Δ=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0 $,
∴方程有两个不相等的实数根.
∵方程$(x-1)·(x-2)=m^2$ 即 $ x^2-3x+2-m^2=0 $ 的两个实数根为 $ x_1,x_2,∴x_1+x_2=3,x_1x_2=2-m^2.∴(x_1-1)·(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2.∵m^2≥0,∴-m^2≤0 $,即 $ (x_1-1)(x_2-1)≤0 $
解析
【分析】
(1) 已知$x_1$是方程的根，根据方程根的定义，将$x_1=-1$代入原方程即可求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值；再将$m^2$的值代回原方程，解一元二次方程即可求出另一个根$x_2$。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再将待证明的式子展开，代入$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式化简，最后结合平方数的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，解得$m=\pm\sqrt{6}$。
将$m^2=6$代入原方程得$(x-1)(x-2)=6$，整理为一般式：$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x+1)(x-4)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般式，得$x^2-3x+2-m^2=0$。
∵ $\Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=9-8+4m^2=4m^2+1＞0$，
∴ 方程总有两个不相等的实数根。
由根与系数的关系，得$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，
代入$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$，得：
原式$=(2-m^2)-3+1=-m^2$。
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$m^2≥0$，
∴ $-m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；平方的非负性
【点评】
本题考查一元二次方程的基础应用，第一问侧重考查根的定义和方程求解，属于基础题型；第二问需要结合根与系数的关系化简待证式，逻辑清晰，能够较好地检验学生对一元二次方程核心基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.8
(1) 已知$x_1$是方程的根，根据方程根的定义，将$x_1=-1$代入原方程即可求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值；再将$m^2$的值代回原方程，解一元二次方程即可求出另一个根$x_2$。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再将待证明的式子展开，代入$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式化简，最后结合平方数的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，解得$m=\pm\sqrt{6}$。
将$m^2=6$代入原方程得$(x-1)(x-2)=6$，整理为一般式：$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x+1)(x-4)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般式，得$x^2-3x+2-m^2=0$。
∵ $\Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=9-8+4m^2=4m^2+1＞0$，
∴ 方程总有两个不相等的实数根。
由根与系数的关系，得$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，
代入$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$，得：
原式$=(2-m^2)-3+1=-m^2$。
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$m^2≥0$，
∴ $-m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；平方的非负性
【点评】
本题考查一元二次方程的基础应用，第一问侧重考查根的定义和方程求解，属于基础题型；第二问需要结合根与系数的关系化简待证式，逻辑清晰，能够较好地检验学生对一元二次方程核心基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.8
10. 阅读材料.
材料1:若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$.
材料2:已知一元二次方程$x^2 -x -1=0$的两个实数根分别为$m,n$,求$m^2n + mn^2$的值.
解:∵一元二次方程$x^2 -x -1=0$的两个实数根分别为$m,n$,
∴$m + n=1,mn=-1$,
则$m^2n + mn^2=mn(m + n)=-1×1=-1$.
根据上述材料,结合你所学的知识,解答下列问题.
(1)材料理解:设一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个根为$x_1,x_2$,则$x_1 + x_2=$
(2)类比应用:已知一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个根分别为$m,n$,求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值.
(3)思维拓展:已知实数$s,t$满足$2s^2 -3s -1=0,2t^2 -3t -1=0$,且$s≠t$,求$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$的值.
材料1:若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$.
材料2:已知一元二次方程$x^2 -x -1=0$的两个实数根分别为$m,n$,求$m^2n + mn^2$的值.
解:∵一元二次方程$x^2 -x -1=0$的两个实数根分别为$m,n$,
∴$m + n=1,mn=-1$,
则$m^2n + mn^2=mn(m + n)=-1×1=-1$.
根据上述材料,结合你所学的知识,解答下列问题.
(1)材料理解:设一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个根为$x_1,x_2$,则$x_1 + x_2=$
$\frac{3}{2}$
,$x_1x_2=$$-\frac{1}{2}$
.(2)类比应用:已知一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个根分别为$m,n$,求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值.
(3)思维拓展:已知实数$s,t$满足$2s^2 -3s -1=0,2t^2 -3t -1=0$,且$s≠t$,求$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$的值.
答案
10.(1) $\frac{3}{2}$ $-\frac{1}{2}$
(2)
∵一元二次方程 $ 2x^2-3x-1=0 $ 的两个根分别为 $ m,n,∴m+n=\frac{3}{2},mn=-\frac{1}{2},∴\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m^2+n^2}{mn}=\frac{(m+n)^2-2mn}{mn}=\frac{(\frac{3}{2})^2-2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2} $
(3)
∵实数 $ s,t $ 满足 $ 2s^2-3s-1=0,2t^2-3t-1=0 $,且 $ s≠t,∴s,t $ 是一元二次方程 $ 2x^2-3x-1=0 $ 的两个实数根,
∴$ s+t=\frac{3}{2},st=-\frac{1}{2}.∵(t-s)^2=(t+s)^2-4st=(\frac{3}{2})^2-4×(-\frac{1}{2})=\frac{17}{4},∴t-s=±\frac{\sqrt{17}}{2}.∴\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t-s}{st}=\frac{±\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=±\sqrt{17}.∴\frac{1}{s}-\frac{1}{t} $的值为$-\sqrt{17}$或$\sqrt{17}$
(2)
∵一元二次方程 $ 2x^2-3x-1=0 $ 的两个根分别为 $ m,n,∴m+n=\frac{3}{2},mn=-\frac{1}{2},∴\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m^2+n^2}{mn}=\frac{(m+n)^2-2mn}{mn}=\frac{(\frac{3}{2})^2-2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2} $
(3)
∵实数 $ s,t $ 满足 $ 2s^2-3s-1=0,2t^2-3t-1=0 $,且 $ s≠t,∴s,t $ 是一元二次方程 $ 2x^2-3x-1=0 $ 的两个实数根,
∴$ s+t=\frac{3}{2},st=-\frac{1}{2}.∵(t-s)^2=(t+s)^2-4st=(\frac{3}{2})^2-4×(-\frac{1}{2})=\frac{17}{4},∴t-s=±\frac{\sqrt{17}}{2}.∴\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t-s}{st}=\frac{±\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=±\sqrt{17}.∴\frac{1}{s}-\frac{1}{t} $的值为$-\sqrt{17}$或$\sqrt{17}$
解析
【分析】
(1) 直接运用材料1给出的一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），确定方程$2x^2-3x-1=0$中$a、b、c$的取值，分别代入$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可。
(2) 先将所求代数式$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$通分，再利用完全平方公式变形为用$m+n$和$mn$表示的形式，代入韦达定理得到的结果计算即可。
(3) 首先根据$s、t$满足的等式特征，判断出$s、t$是方程$2x^2-3x-1=0$的两个不相等实数根，先通过韦达定理得到$s+t$和$st$的值，再将$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$通分变形为$\frac{t-s}{st}$，利用$(t-s)^2=(s+t)^2-4st$求出$t-s$的正负两种取值，最后代入计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$2x^2-3x-1=0$，$a=2$，$b=-3$，$c=-1$，根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
(2)
∵一元二次方程$2x^2-3x-1=0$的两个根分别为$m,n$，
∴$m+n=\frac{3}{2}$，$mn=-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m^2+n^2}{mn}=\frac{(m+n)^2-2mn}{mn}$，
代入数值计算：$\frac{(\frac{3}{2})^2-2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{9}{4}+1}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$。
(3)
∵实数$s,t$满足$2s^2-3s-1=0$，$2t^2-3t-1=0$，且$s≠t$，
∴$s,t$是一元二次方程$2x^2-3x-1=0$的两个不相等的实数根，
∴$s+t=\frac{3}{2}$，$st=-\frac{1}{2}$，
∵$(t-s)^2=(t+s)^2-4st=(\frac{3}{2})^2-4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4}$，
∴$t-s=±\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t-s}{st}=\frac{±\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=±\sqrt{17}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$，$-\frac{1}{2}$
(2) $-\frac{13}{2}$
(3) $\sqrt{17}$或$-\sqrt{17}$
【知识点】
韦达定理，代数式化简，一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于材料阅读类题型，核心考查韦达定理的灵活应用，解题关键是将所求代数式变形为仅含两根和、两根积的形式，第三问要注意开平方运算结果有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 直接运用材料1给出的一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），确定方程$2x^2-3x-1=0$中$a、b、c$的取值，分别代入$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可。
(2) 先将所求代数式$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$通分，再利用完全平方公式变形为用$m+n$和$mn$表示的形式，代入韦达定理得到的结果计算即可。
(3) 首先根据$s、t$满足的等式特征，判断出$s、t$是方程$2x^2-3x-1=0$的两个不相等实数根，先通过韦达定理得到$s+t$和$st$的值，再将$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$通分变形为$\frac{t-s}{st}$，利用$(t-s)^2=(s+t)^2-4st$求出$t-s$的正负两种取值，最后代入计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$2x^2-3x-1=0$，$a=2$，$b=-3$，$c=-1$，根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
(2)
∵一元二次方程$2x^2-3x-1=0$的两个根分别为$m,n$，
∴$m+n=\frac{3}{2}$，$mn=-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m^2+n^2}{mn}=\frac{(m+n)^2-2mn}{mn}$，
代入数值计算：$\frac{(\frac{3}{2})^2-2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{9}{4}+1}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$。
(3)
∵实数$s,t$满足$2s^2-3s-1=0$，$2t^2-3t-1=0$，且$s≠t$，
∴$s,t$是一元二次方程$2x^2-3x-1=0$的两个不相等的实数根，
∴$s+t=\frac{3}{2}$，$st=-\frac{1}{2}$，
∵$(t-s)^2=(t+s)^2-4st=(\frac{3}{2})^2-4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4}$，
∴$t-s=±\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t-s}{st}=\frac{±\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=±\sqrt{17}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$，$-\frac{1}{2}$
(2) $-\frac{13}{2}$
(3) $\sqrt{17}$或$-\sqrt{17}$
【知识点】
韦达定理，代数式化简，一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于材料阅读类题型，核心考查韦达定理的灵活应用，解题关键是将所求代数式变形为仅含两根和、两根积的形式，第三问要注意开平方运算结果有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
11. 已知方程$x^2 - 2x -5=0$的两根分别为$x_1,x_2$，则$(x_1 +1)(x_2 +1)$的值为
-2
。答案
11. -2
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根组成的代数式的值，无需解方程求出两根的具体数值，解题思路如下：第一步先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出原方程两根之和、两根之积；第二步将待求的代数式$(x_1+1)(x_2+1)$展开整理成含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第三步将两根之和、两根之积的数值代入整理后的式子计算即可得到结果，整体代入的方法比直接求根更简便。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x -5=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-5$。
根据韦达定理，方程的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -5$。
先展开待求式：
$(x_1+1)(x_2+1) = x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1$
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$代入上式：
原式$= -5 + 2 + 1 = -2$
【答案】
-2
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 多项式乘法
3. 代数式求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查韦达定理的应用，解题时使用整体代入的思想可以简化计算，降低出错率，需要熟练掌握韦达定理的公式和整式化简的方法。
【难度系数】
0.8
本题要求一元二次方程两根组成的代数式的值，无需解方程求出两根的具体数值，解题思路如下：第一步先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出原方程两根之和、两根之积；第二步将待求的代数式$(x_1+1)(x_2+1)$展开整理成含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第三步将两根之和、两根之积的数值代入整理后的式子计算即可得到结果，整体代入的方法比直接求根更简便。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x -5=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-5$。
根据韦达定理，方程的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -5$。
先展开待求式：
$(x_1+1)(x_2+1) = x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1$
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$代入上式：
原式$= -5 + 2 + 1 = -2$
【答案】
-2
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 多项式乘法
3. 代数式求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查韦达定理的应用，解题时使用整体代入的思想可以简化计算，降低出错率，需要熟练掌握韦达定理的公式和整式化简的方法。
【难度系数】
0.8
12. 已知方程$x^2 -5x -24=0$的两根分别为a和b，则代数式$a^2 -4a +b$的值为
29
。答案
12. 29
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，可得到a²与a的等量关系，利用该关系对所求代数式进行降次化简；第二步，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出两根之和a+b的值；第三步，将a+b的值代入化简后的代数式，即可算出最终结果。也可直接解方程求出两根后代入计算，但降次+整体代入的方法更简便。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 -5x -24=0$的根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 -5a -24=0$，即$a^2=5a+24$。
将$a^2=5a+24$代入代数式$a^2 -4a +b$得：
$a^2 -4a +b = (5a+24) -4a +b = a + b +24$。
∵a、b是方程$x^2 -5x -24=0$的两根，根据根与系数的关系，两根之和$a+b=-\frac{-5}{1}=5$。
将$a+b=5$代入上式得：$5 + 24 = 29$。
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的常规题型，核心考查整体代入的数学思想，解题关键是利用根的定义对高次项降次，再结合韦达定理整体代入求值，可避免求解方程的繁琐步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，根据一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，可得到a²与a的等量关系，利用该关系对所求代数式进行降次化简；第二步，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出两根之和a+b的值；第三步，将a+b的值代入化简后的代数式，即可算出最终结果。也可直接解方程求出两根后代入计算，但降次+整体代入的方法更简便。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 -5x -24=0$的根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 -5a -24=0$，即$a^2=5a+24$。
将$a^2=5a+24$代入代数式$a^2 -4a +b$得：
$a^2 -4a +b = (5a+24) -4a +b = a + b +24$。
∵a、b是方程$x^2 -5x -24=0$的两根，根据根与系数的关系，两根之和$a+b=-\frac{-5}{1}=5$。
将$a+b=5$代入上式得：$5 + 24 = 29$。
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的常规题型，核心考查整体代入的数学思想，解题关键是利用根的定义对高次项降次，再结合韦达定理整体代入求值，可避免求解方程的繁琐步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
