登录
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审. 审清题意，了解
（2）设. 根据题意，设恰当的未知数，有
（3）列. 列出方程，将相等关系中的量用
（4）解. 解出方程，求出
（5）验. 检验所得根，一要检验所求方程的根是否满足
（6）答. 写出答案，如果是间接设元，要利用未知数的值求出
（1）审. 审清题意，了解
已知量
与未知量
之间的数量关系.（2）设. 根据题意，设恰当的未知数，有
直接设元
与间接设元
两种.（3）列. 列出方程，将相等关系中的量用
含未知数的代数式
表达出来，再根据相等关系构建方程.（4）解. 解出方程，求出
方程的根
.（5）验. 检验所得根，一要检验所求方程的根是否满足
所列出的方程
，二要检验它是否能使实际问题有意义
.（6）答. 写出答案，如果是间接设元，要利用未知数的值求出
题中所要求的量
，再作答.答案
(1) 已知量 未知量
(2) 直接设元 间接设元
(3) 含未知数的代数式
(4) 方程的根
(5) 所列出的方程 实际问题有意义
(6) 题中所要求的量
(2) 直接设元 间接设元
(3) 含未知数的代数式
(4) 方程的根
(5) 所列出的方程 实际问题有意义
(6) 题中所要求的量
解析
【分析】
本题考查列一元二次方程解应用题的基本步骤，属于基础识记类考点。解题时只需回忆每一步骤的核心要求，逐一对应填空即可：①审题的核心是梳理题目中已知量和未知量的数量关系；②设未知数分为直接设所求量为未知数的直接设元，和设中间相关量为未知数的间接设元两类；③列方程的关键是将等量关系中的量用含未知数的代数式表示，再构建方程；④解方程的目标是求出方程的根；⑤验根需要分两步，首先验证根是否满足所列方程，其次验证根是否符合实际问题的要求；⑥作答时若为间接设元，需先算出题目最终要求的量再写答案。
【解析】
根据列一元二次方程解应用题的标准步骤，逐一填空如下：
(1) 审清题意的核心是明确已知量与未知量之间的数量关系，对应填已知量、未知量；
(2) 设未知数的两种常用方法为直接设元、间接设元，对应填直接设元、间接设元；
(3) 列方程时需将相等关系中的量用含未知数的代数式表达，再构建方程，对应填含未知数的代数式；
(4) 解方程的目的是求出方程的根，对应填方程的根；
(5) 检验根时，一是检验根是否满足所列出的方程，二是检验根是否能使实际问题有意义，对应填所列出的方程、实际问题有意义；
(6) 若采用间接设元，求出的未知数的值不是最终所求量，需先求出题中所要求的量再作答，对应填题中所要求的量。
【答案】
(1) 已知量 未知量
(2) 直接设元 间接设元
(3) 含未知数的代数式
(4) 方程的根
(5) 所列出的方程 实际问题有意义
(6) 题中所要求的量
【知识点】
一元二次方程实际应用、设元的方法、方程根的检验
【点评】
本题是基础识记类题目，考查列一元二次方程解应用题的通用流程，熟练掌握这些步骤是正确解决一元二次方程实际应用问题的前提，能帮助我们规避设元不当、漏验根、作答不完整等常见错误。
【难度系数】
0.9
本题考查列一元二次方程解应用题的基本步骤，属于基础识记类考点。解题时只需回忆每一步骤的核心要求，逐一对应填空即可：①审题的核心是梳理题目中已知量和未知量的数量关系；②设未知数分为直接设所求量为未知数的直接设元，和设中间相关量为未知数的间接设元两类；③列方程的关键是将等量关系中的量用含未知数的代数式表示，再构建方程；④解方程的目标是求出方程的根；⑤验根需要分两步，首先验证根是否满足所列方程，其次验证根是否符合实际问题的要求；⑥作答时若为间接设元，需先算出题目最终要求的量再写答案。
【解析】
根据列一元二次方程解应用题的标准步骤，逐一填空如下：
(1) 审清题意的核心是明确已知量与未知量之间的数量关系，对应填已知量、未知量；
(2) 设未知数的两种常用方法为直接设元、间接设元，对应填直接设元、间接设元；
(3) 列方程时需将相等关系中的量用含未知数的代数式表达，再构建方程，对应填含未知数的代数式；
(4) 解方程的目的是求出方程的根，对应填方程的根；
(5) 检验根时，一是检验根是否满足所列出的方程，二是检验根是否能使实际问题有意义，对应填所列出的方程、实际问题有意义；
(6) 若采用间接设元，求出的未知数的值不是最终所求量，需先求出题中所要求的量再作答，对应填题中所要求的量。
【答案】
(1) 已知量 未知量
(2) 直接设元 间接设元
(3) 含未知数的代数式
(4) 方程的根
(5) 所列出的方程 实际问题有意义
(6) 题中所要求的量
【知识点】
一元二次方程实际应用、设元的方法、方程根的检验
【点评】
本题是基础识记类题目，考查列一元二次方程解应用题的通用流程，熟练掌握这些步骤是正确解决一元二次方程实际应用问题的前提，能帮助我们规避设元不当、漏验根、作答不完整等常见错误。
【难度系数】
0.9
例 等腰梯形的面积为160 cm²，上底比高多4 cm，下底比上底多16 cm，求这个梯形的高.
解 设这个梯形的高为x cm，则上底为$(x+4)\mathrm{cm}$，下底为$(x+20)\mathrm{cm}$.
根据题意得
$\frac{1}{2}(x+4+x+20)x=160$，
整理，得 $x^2+12x-160=0$，
解得 $x_1=8, x_2=-20$（不合题意，舍去）.
因此这个梯形的高为8 cm.
方法感悟 利用一元二次方程解决规则图形问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式以及勾股定理等建立方程进行计算.
解 设这个梯形的高为x cm，则上底为$(x+4)\mathrm{cm}$，下底为$(x+20)\mathrm{cm}$.
根据题意得
$\frac{1}{2}(x+4+x+20)x=160$，
整理，得 $x^2+12x-160=0$，
解得 $x_1=8, x_2=-20$（不合题意，舍去）.
因此这个梯形的高为8 cm.
方法感悟 利用一元二次方程解决规则图形问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式以及勾股定理等建立方程进行计算.
答案
解析
【分析】
本题属于利用方程求解几何图形边长的基础题，解题思路如下：首先，题目中上底、下底的长度都和高存在数量关系，因此优先设高为未知数x，就可以依次用含x的代数式表示上底和下底的长度；其次，回忆梯形面积公式为$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，已知梯形面积为160$cm^2$，将表示好的上底、下底、高代入面积公式，即可列出关于x的一元二次方程；最后求解方程，注意梯形的高为正数，需要舍去不符合实际意义的负根，就能得到高的准确数值。
【解析】
解：设这个梯形的高为$x$ cm，
根据“上底比高多4 cm”，得上底长度为$(x+4)$ cm；
根据“下底比上底多16 cm”，得下底长度为$x+4+16=(x+20)$ cm。
将各量代入梯形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}(x+4 + x+20) · x = 160$
整理方程：
$\frac{1}{2}(2x+24)x = 160$
$(x+12)x = 160$
$x^2 + 12x - 160 = 0$
因式分解得$(x-8)(x+20)=0$，解得$x_1=8$，$x_2=-20$。
因为梯形的高为正数，$x=-20$不符合实际意义，故舍去。
【答案】
8 cm
【知识点】
梯形面积公式，一元二次方程应用，实际问题根的检验
【点评】
本题是几何问题结合方程的典型基础题，解题核心是理清未知量和相关量的数量关系，结合图形对应的公式建立方程求解，需要注意的是，实际问题中方程的根必须符合现实意义，要对求出的根进行筛选。
【难度系数】
0.7
本题属于利用方程求解几何图形边长的基础题，解题思路如下：首先，题目中上底、下底的长度都和高存在数量关系，因此优先设高为未知数x，就可以依次用含x的代数式表示上底和下底的长度；其次，回忆梯形面积公式为$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，已知梯形面积为160$cm^2$，将表示好的上底、下底、高代入面积公式，即可列出关于x的一元二次方程；最后求解方程，注意梯形的高为正数，需要舍去不符合实际意义的负根，就能得到高的准确数值。
【解析】
解：设这个梯形的高为$x$ cm，
根据“上底比高多4 cm”，得上底长度为$(x+4)$ cm；
根据“下底比上底多16 cm”，得下底长度为$x+4+16=(x+20)$ cm。
将各量代入梯形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}(x+4 + x+20) · x = 160$
整理方程：
$\frac{1}{2}(2x+24)x = 160$
$(x+12)x = 160$
$x^2 + 12x - 160 = 0$
因式分解得$(x-8)(x+20)=0$，解得$x_1=8$，$x_2=-20$。
因为梯形的高为正数，$x=-20$不符合实际意义，故舍去。
【答案】
8 cm
【知识点】
梯形面积公式，一元二次方程应用，实际问题根的检验
【点评】
本题是几何问题结合方程的典型基础题，解题核心是理清未知量和相关量的数量关系，结合图形对应的公式建立方程求解，需要注意的是，实际问题中方程的根必须符合现实意义，要对求出的根进行筛选。
【难度系数】
0.7
1. 某展览馆计划将长 60 m，宽 40 m 的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是面积为 1 500 m² 的一个矩形展览区，四周留有等宽的通道(如图 25.3-1 所示)，求通道的宽.设通道的宽为 x m，根据题意列方程正确的是(
A.(60－2x)(40－2x)＝1 500
B.(60－2x)(40－x)＝1 500
C.(60－x)(40－2x)＝1 500
D.(60－x)(40－x)＝1 500
A
).A.(60－2x)(40－2x)＝1 500
B.(60－2x)(40－x)＝1 500
C.(60－x)(40－2x)＝1 500
D.(60－x)(40－x)＝1 500
答案
1. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确展览区的长、宽和原场馆参数、通道宽度的关系：通道是四周等宽的，宽度为x m，原场馆长方向左右两侧各有宽为x的通道，因此展览区的长需要用原长减去两个通道的宽度；原场馆宽方向上下两侧各有宽为x的通道，因此展览区的宽需要用原宽减去两个通道的宽度。再结合矩形面积公式和展览区的已知面积，即可列出对应方程，匹配正确选项。
【解析】
设通道的宽为x m：
1. 原场馆长为60m，左右各有宽x的通道，因此展览区的长为$ (60-2x) $ m；
2. 原场馆宽为40m，上下各有宽x的通道，因此展览区的宽为$ (40-2x) $ m；
3. 已知展览区面积为1500㎡，根据矩形面积=长×宽，可列方程：$ (60-2x)(40-2x)=1500 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于面积类实际应用题，解题核心是准确表示内部区域的长和宽，要注意通道在四周均有分布，因此长、宽都需要减去2倍的通道宽度，避免出现只减去单侧宽度的错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确展览区的长、宽和原场馆参数、通道宽度的关系：通道是四周等宽的，宽度为x m，原场馆长方向左右两侧各有宽为x的通道，因此展览区的长需要用原长减去两个通道的宽度；原场馆宽方向上下两侧各有宽为x的通道，因此展览区的宽需要用原宽减去两个通道的宽度。再结合矩形面积公式和展览区的已知面积，即可列出对应方程，匹配正确选项。
【解析】
设通道的宽为x m：
1. 原场馆长为60m，左右各有宽x的通道，因此展览区的长为$ (60-2x) $ m；
2. 原场馆宽为40m，上下各有宽x的通道，因此展览区的宽为$ (40-2x) $ m；
3. 已知展览区面积为1500㎡，根据矩形面积=长×宽，可列方程：$ (60-2x)(40-2x)=1500 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于面积类实际应用题，解题核心是准确表示内部区域的长和宽，要注意通道在四周均有分布，因此长、宽都需要减去2倍的通道宽度，避免出现只减去单侧宽度的错误。
【难度系数】
0.7
