4.点 C 是线段 AB 的中点,点 D 是线段 AC 的三等分点。若线段 $ AB = 12 \, \mathrm{cm} $,求线段 BD 的长。

解:因为点 C 是线段 AB 的中点,$AB=12\ \mathrm{cm}$,
所以 $AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6(\mathrm{cm})$。
因为点 D 是线段 AC 的三等分点。
①当 $AD=\frac{1}{3}AC$ 时,$BD=BC+CD=BC+\frac{2}{3}AC=6+4=10(\mathrm{cm})$;
②当 $AD=\frac{2}{3}AC$ 时,$BD=BC+CD=BC+\frac{1}{3}AC=6+2=8(\mathrm{cm})$。
所以线段 BD 的长为 10 cm 或 8 cm。

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先根据线段中点的定义，结合AB的长度可先求出AC、BC的长度；再注意“线段的三等分点”存在两种位置情况：靠近A端的三等分点、靠近C端的三等分点，因此需要分两类讨论，分别计算两种情况下CD的长度，最后根据线段和差关系BD=BC+CD即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的中点，$AB=12\ \mathrm{cm}$，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6(\mathrm{cm})$。
∵点D是线段AC的三等分点，分两种情况讨论：
①当$AD=\frac{1}{3}AC$时，$CD=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}×6=4(\mathrm{cm})$，
此时$BD=BC+CD=6+4=10(\mathrm{cm})$；
②当$AD=\frac{2}{3}AC$时，$CD=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}×6=2(\mathrm{cm})$，
此时$BD=BC+CD=6+2=8(\mathrm{cm})$。
【答案】
线段BD的长为$\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题考查线段中点、三等分点的性质应用，易错点是容易忽略三等分点的两种不同位置，导致漏解，解题时要结合题意全面分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.6

5.如图，海上有两艘军舰A和B，由A测得B的方向是()。


A.南偏东$30°$
B.南偏东$60°$
C.北偏西$30°$
D.北偏西$60°$

5. B

【分析】
要解决这道题，首先明确方向角判断的核心是先确定观测点，本题观测点为A，即站在A点判断B的方位。首先遵循“上北下南、左西右东”的方位规则，再结合图中给出的角度，利用平行线的内错角相等的性质求出AB与A点方位线的夹角，即可判断出正确方向。
【解析】
第一步：确定观测点为A，方位判断规则为上北下南，左西右东。
第二步：A点的正东方向线与B点的正西方向线互相平行，根据平行线内错角相等的性质，可知线段AB与A点正东方向线的夹角为30°。
第三步：正东方向与正南方向的夹角为90°，因此AB与A点正南方向的夹角为$90°-30°=60°$，即B在A的南偏东$60°$方向。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
方位角的判定；平行线的性质
【点评】
本题是方位角应用的基础题型，解题的关键是找准观测点，再结合角度关系计算方位角，易错点是混淆观测点，或者搞错东偏南、南偏东的角度换算。
【难度系数】
0.7

6.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，下列各式正确的是（）。


A.$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOB$
B.$∠ AOD=\frac{2}{3}∠ AOB$
C.$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOD$
D.$∠ BOC=\frac{2}{3}∠ AOD$

6. D

【分析】
解题时可通过设未知数将各角的大小量化，结合角平分线的性质依次推导出各个角的表达式，再将表达式代入各选项逐一验证即可得出正确答案。首先设最小的角∠COD=x，根据OD是∠BOC的平分线可得∠BOD和∠BOC的度数，再根据OC是∠AOB的平分线可得∠AOC和∠AOB的度数，进而求出∠AOD的度数，最后代入每个选项判断正误。
【解析】
设∠COD=x，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD=∠COD=x，∠BOC=2∠COD=2x。
又
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠BOC=2x，∠AOB=2∠BOC=4x。
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=2x+x=3x。
接下来逐一分析选项：
A选项：∠COD=x，$\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×4x=2x$，$x≠2x$，该选项错误；
B选项：∠AOD=3x，$\frac{2}{3}∠AOB=\frac{2}{3}×4x=\frac{8}{3}x$，$3x≠\frac{8}{3}x$，该选项错误；
C选项：∠BOD=x，$\frac{1}{2}∠AOD=\frac{1}{2}×3x=1.5x$，$x≠1.5x$，该选项错误；
D选项：∠BOC=2x，$\frac{2}{3}∠AOD=\frac{2}{3}×3x=2x$，二者相等，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角平分线相关的基础题型，通过设参数将未知角量化的方法，能直观清晰地对比各角的数量关系，有效避免因直观观察图形产生的判断误差，是解决此类题型的常用技巧。
【难度系数】
0.7

7.钟表显示10时30分时，时针与分针的夹角为。

7. 135°

【分析】
要计算10时30分时针与分针的夹角，首先要明确钟面的基本特征：整个钟面是360°的周角，平均分成12个大格，因此每个大格对应的角度是30°。解题时先分别确定10时30分时分针、时针的位置：分针30分时指向数字6；时针不是正好指向10，因为时针每小时走1个大格，半小时会向11的方向偏移半个大格。最后计算两个指针之间的大格数，乘每个大格的角度就能得到夹角。
【解析】
解：钟面一周为360°，共分12个大格，每个大格的角度为：
$360° ÷ 12 = 30°$
10时30分时，分针指向数字6；
时针每小时走1个大格（30°），30分钟是0.5小时，因此时针从10的位置向11偏移的角度为：
$30° × 0.5 =15°$
此时时针与分针的间隔为：从6到10共4个大格，再加半个大格，合计4.5个大格
夹角为：$4.5 × 30° =135°$
【答案】
$\boxed{135°}$
【知识点】
1. 钟面角计算
2. 角的度量
【点评】
本题是钟面角问题的常考题型，解题的易错点是忽略时针会随分钟的流逝发生偏移，直接按时针指向10计算得到错误的120°，计算时要同时考虑时针、分针的位置变化。
【难度系数】
0.7

8. 如图，AB 和 CD 都是直线，∠AOE = 90°, ∠3 = ∠FOD, ∠1 = 27°20′, 求∠2, ∠3 的度数。

解:因为$∠AOE=90°$,
所以 $∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 27°20' = 62°40'$。
因为$∠AOD=180° - ∠1=180° - 27°20'=152°40',∠3=∠FOD$,
所以$∠3=\frac{1}{2}∠AOD=76°20'$。

【分析】
解题时先从已知的∠AOE=90°入手，可知∠1与∠2互余，二者和为90°，因此用90°减去已知的∠1的度数即可求出∠2；接下来AB是直线，因此∠1与∠AOD组成平角，和为180°，先求出∠AOD的度数，再结合已知∠3=∠FOD，说明OF将∠AOD分成两个相等的角，因此∠3等于∠AOD的一半，代入计算即可得到∠3的度数，计算时注意1°=60′的换算规则。
【解析】
解：
∵ $∠ AOE=90°$，
∴ $∠ 2 = 90° - ∠ 1 = 90° - 27°20' = 62°40'$。
∵ AB是直线，$∠ 1$与$∠ AOD$互为邻补角，
∴ $∠ AOD = 180° - ∠ 1 = 180° - 27°20' = 152°40'$，
又
∵ $∠ 3 = ∠ FOD$，
∴ $∠ 3 = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2}×152°40' = 76°20'$。
【答案】
$∠ 2=62°40'$，$∠ 3=76°20'$
【知识点】
余角的计算，补角的计算，角平分线的定义
【点评】
这道题是角度计算的基础题，解题的关键是结合图形找到角之间的和差关系，计算时注意度分是60进制，避免换算错误。
【难度系数】
0.8