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1. 「2024 四川南充中考」若关于 $ x $ 的不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＜ 5, \\x ＜ m + 1\end{cases}$的解集为 $ x ＜ 3 $，则 $ m $ 的取值范围是( )
A.$ m ＞ 2 $
B.$ m ≥ 2 $
C.$ m ＜ 2 $
D.$ m ≤ 2 $
A.$ m ＞ 2 $
B.$ m ≥ 2 $
C.$ m ＜ 2 $
D.$ m ≤ 2 $
答案
1. B 解不等式 $ 2x - 1 ＜ 5 $，得 $ x ＜ 3 $，
∵不等式组的解集为 $ x ＜ 3 $，
∴ $ m + 1 ≥ 3 $，
∴ $ m ≥ 2 $。故选 B。
∵不等式组的解集为 $ x ＜ 3 $，
∴ $ m + 1 ≥ 3 $，
∴ $ m ≥ 2 $。故选 B。
2. 「2025 安徽六安期中」若不等式组$\begin{cases}x ＞ a, \\2 - x ＞ 0\end{cases}$的解集是$ -1 ＜ x ＜ 2 $，则 $ a = $ ______ 。
答案
2. 答案 -1
解析 解不等式 $ 2 - x ＞ 0 $，得 $ x ＜ 2 $，
∵不等式组有解，
∴ $ a ＜ x ＜ 2 $。
∵不等式组的解集是 $ -1 ＜ x ＜ 2 $，
∴ $ a = -1 $。
解析 解不等式 $ 2 - x ＞ 0 $，得 $ x ＜ 2 $，
∵不等式组有解，
∴ $ a ＜ x ＜ 2 $。
∵不等式组的解集是 $ -1 ＜ x ＜ 2 $，
∴ $ a = -1 $。
3. 「2025 山东德州宁津期末」若不等式 $ -2x ＜ 1 $ 的解集能使关于 $ x $ 的一元一次不等式 $ 2x ＞ m + 3 $ 成立，则 $ m $ 的取值范围是
$ m ≤ -4 $
。答案
3. 答案 $ m ≤ -4 $
解析 解不等式 $ -2x ＜ 1 $，得 $ x ＞ -\frac{1}{2} $，
解不等式 $ 2x ＞ m + 3 $，得 $ x ＞ \frac{m + 3}{2} $，
∵不等式 $ -2x ＜ 1 $ 的解集能使关于 $ x $ 的一元一次不等式 $ 2x ＞ m + 3 $ 成立，
∴ $ \frac{m + 3}{2} ≤ -\frac{1}{2} $，解得 $ m ≤ -4 $。
解析 解不等式 $ -2x ＜ 1 $，得 $ x ＞ -\frac{1}{2} $，
解不等式 $ 2x ＞ m + 3 $，得 $ x ＞ \frac{m + 3}{2} $，
∵不等式 $ -2x ＜ 1 $ 的解集能使关于 $ x $ 的一元一次不等式 $ 2x ＞ m + 3 $ 成立，
∴ $ \frac{m + 3}{2} ≤ -\frac{1}{2} $，解得 $ m ≤ -4 $。
4. 「2024 湖北襄阳襄州月考」已知关于 $ x $ 的不等式 $ x ＞ \frac{a - 1}{2} $ 的解集在数轴上表示如图，求 $ a $ 的值。
答案
4. 解析 由题图可知不等式的解集为 $ x ＞ 2 $，
∴ $ \frac{a - 1}{2} = 2 $，解得 $ a = 5 $。
∴ $ \frac{a - 1}{2} = 2 $，解得 $ a = 5 $。
5. 「2025 广西崇左月考」关于 $ x $ 的不等式组$\begin{cases}\frac{x - a}{2} ＞ 2, \\x - 4 ≤ 3(x - 2)\end{cases}$的解集为 $ x ≥ 1 $，求 $ a $ 的取值范围。
答案
5. 解析 $ \begin{cases} \frac{x - a}{2} ＞ 2 ①, \\ x - 4 ≤ 3(x - 2) ②, \end{cases} $
解不等式①，得 $ x ＞ a + 4 $，解不等式②，得 $ x ≥ 1 $，
∵关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} \frac{x - a}{2} ＞ 2, \\ x - 4 ≤ 3(x - 2) \end{cases} $ 的解集为 $ x ≥ 1 $，
∴ $ a + 4 ＜ 1 $，解得 $ a ＜ -3 $。
解不等式①，得 $ x ＞ a + 4 $，解不等式②，得 $ x ≥ 1 $，
∵关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} \frac{x - a}{2} ＞ 2, \\ x - 4 ≤ 3(x - 2) \end{cases} $ 的解集为 $ x ≥ 1 $，
∴ $ a + 4 ＜ 1 $，解得 $ a ＜ -3 $。
6. 「2025 山东临沂期末」关于 $ x $ 的不等式 $ x - b ≥ 0 $ 恰有两个负整数解，则 $ b $ 的值可以是
-2(答案不唯一)
。(填写一个满足题意的值即可)答案
6. 答案 -2(答案不唯一)
解析 解不等式 $ x - b ≥ 0 $，得 $ x ≥ b $，
∵关于 $ x $ 的不等式 $ x - b ≥ 0 $ 恰有两个负整数解，
∴负整数解为 $ -2 $，$ -1 $，
∴ $ -3 ＜ b ≤ -2 $，
∴ $ b $ 的值可以是 $ -2 $。(答案不唯一)
解析 解不等式 $ x - b ≥ 0 $，得 $ x ≥ b $，
∵关于 $ x $ 的不等式 $ x - b ≥ 0 $ 恰有两个负整数解，
∴负整数解为 $ -2 $，$ -1 $，
∴ $ -3 ＜ b ≤ -2 $，
∴ $ b $ 的值可以是 $ -2 $。(答案不唯一)
7. 若关于 $ x $ 的不等式组$\begin{cases}3(x - 1) ＞ x - 6, \\8 - 2x + 2a ≥ 0\end{cases}$有三个整数解，则实数 $ a $ 的取值范围为 ______ 。
答案
7. 答案 $ -3 ≤ a ＜ -2 $
解析 解不等式 $ 3(x - 1) ＞ x - 6 $，得 $ x ＞ -1.5 $，
解不等式 $ 8 - 2x + 2a ≥ 0 $，得 $ x ≤ a + 4 $，
∵不等式组有三个整数解，
∴不等式组的整数解为 $ -1 $，$ 0 $，$ 1 $，
∴ $ 1 ≤ a + 4 ＜ 2 $，
解得 $ -3 ≤ a ＜ -2 $。
易错警示 易漏掉边界数 $ -3 $。
解析 解不等式 $ 3(x - 1) ＞ x - 6 $，得 $ x ＞ -1.5 $，
解不等式 $ 8 - 2x + 2a ≥ 0 $，得 $ x ≤ a + 4 $，
∵不等式组有三个整数解，
∴不等式组的整数解为 $ -1 $，$ 0 $，$ 1 $，
∴ $ 1 ≤ a + 4 ＜ 2 $，
解得 $ -3 ≤ a ＜ -2 $。
易错警示 易漏掉边界数 $ -3 $。
8. 「2025 陕西安康期末」如果整数 $ a $ 使得关于 $ x $ 的不等式组$\begin{cases}2x - 3(x - 1) ＜ 1, \\5x + a ≤ 2x + 5\end{cases}$有且仅有 $ 2 $ 个奇数解，那么整数 $ a $ 有 ______ 个。
答案
8. 答案 6
解析 $ \begin{cases} 2x - 3(x - 1) ＜ 1 ①, \\ 5x + a ≤ 2x + 5 ②, \end{cases} $
解不等式①，得 $ x ＞ 2 $，解不等式②，得 $ x ≤ \frac{5 - a}{3} $，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为 $ 2 ＜ x ≤ \frac{5 - a}{3} $，
∵整数 $ a $ 使得关于 $ x $ 的不等式组有且仅有 2 个奇数解，
∴ $ 5 ≤ \frac{5 - a}{3} ＜ 7 $，解得 $ -16 ＜ a ≤ -10 $，
∴符合条件的所有整数 $ a $ 为 $ -15 $，$ -14 $，$ -13 $，$ -12 $，$ -11 $，$ -10 $，共 6 个。
解析 $ \begin{cases} 2x - 3(x - 1) ＜ 1 ①, \\ 5x + a ≤ 2x + 5 ②, \end{cases} $
解不等式①，得 $ x ＞ 2 $，解不等式②，得 $ x ≤ \frac{5 - a}{3} $，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为 $ 2 ＜ x ≤ \frac{5 - a}{3} $，
∵整数 $ a $ 使得关于 $ x $ 的不等式组有且仅有 2 个奇数解，
∴ $ 5 ≤ \frac{5 - a}{3} ＜ 7 $，解得 $ -16 ＜ a ≤ -10 $，
∴符合条件的所有整数 $ a $ 为 $ -15 $，$ -14 $，$ -13 $，$ -12 $，$ -11 $，$ -10 $，共 6 个。
9. 「2025 陕西西安高陵期中节选」已知关于 $ x $ 的不等式组$\begin{cases}2x + m ＞ 0, \\x ＜ 4.\end{cases}$
(1) 若该不等式组有解，求 $ m $ 的取值范围。
(2) 若该不等式组所有整数解的和为 $ 5 $，求 $ m $ 的取值范围。
(1) 若该不等式组有解，求 $ m $ 的取值范围。
(2) 若该不等式组所有整数解的和为 $ 5 $，求 $ m $ 的取值范围。
答案
9. 解析 (1) 解不等式 $ 2x + m ＞ 0 $，得 $ x ＞ -\frac{m}{2} $，
∵该不等式组有解，
∴ $ -\frac{m}{2} ＜ 4 $，解得 $ m ＞ -8 $。
(2)
∵该不等式组所有整数解的和为 5，
∴整数解为 2，3 或 $ -1 $，0，1，2，3。
∴ $ 1 ≤ -\frac{m}{2} ＜ 2 $ 或 $ -2 ≤ -\frac{m}{2} ＜ -1 $，
解得 $ -4 ＜ m ≤ -2 $ 或 $ 2 ＜ m ≤ 4 $。
∵该不等式组有解，
∴ $ -\frac{m}{2} ＜ 4 $，解得 $ m ＞ -8 $。
(2)
∵该不等式组所有整数解的和为 5，
∴整数解为 2，3 或 $ -1 $，0，1，2，3。
∴ $ 1 ≤ -\frac{m}{2} ＜ 2 $ 或 $ -2 ≤ -\frac{m}{2} ＜ -1 $，
解得 $ -4 ＜ m ≤ -2 $ 或 $ 2 ＜ m ≤ 4 $。
10. 「2025 上海闵行期中改编」如果关于 $ x $ 的不等式组$\begin{cases}5x ＞ 3(x + a) - 10, \\3 - x ≥ \frac{a - 3}{4}\end{cases}$无解，则 $ a $ 的取值范围为 ______ 。
答案
10. 答案 $ a ≥ 5 $
解析 $ \begin{cases} 5x ＞ 3(x + a) - 10 ①, \\ 3 - x ≥ \frac{a - 3}{4} ②, \end{cases} $
解不等式①，得 $ x ＞ \frac{3}{2}a - 5 $，解不等式②，得 $ x ≤ \frac{15 - a}{4} $，
∵不等式组 $ \begin{cases} 5x ＞ 3(x + a) - 10, \\ 3 - x ≥ \frac{a - 3}{4} \end{cases} $ 无解，
∴ $ \frac{3}{2}a - 5 ≥ \frac{15 - a}{4} $，解得 $ a ≥ 5 $。
解析 $ \begin{cases} 5x ＞ 3(x + a) - 10 ①, \\ 3 - x ≥ \frac{a - 3}{4} ②, \end{cases} $
解不等式①，得 $ x ＞ \frac{3}{2}a - 5 $，解不等式②，得 $ x ≤ \frac{15 - a}{4} $，
∵不等式组 $ \begin{cases} 5x ＞ 3(x + a) - 10, \\ 3 - x ≥ \frac{a - 3}{4} \end{cases} $ 无解，
∴ $ \frac{3}{2}a - 5 ≥ \frac{15 - a}{4} $，解得 $ a ≥ 5 $。
