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1. 多解法「2024 陕西西安期中」已知 $ 9 ＜ - 3 ( x + 4 ) ≤ 15 $，求 $ x $ 的取值范围。
答案
解析 【解法一】利用不等式的性质求解:
$9＜-3(x+4)≤15,$
去括号,得$9＜-3x-12≤15.$
移项,得$9+12＜-3x≤15+12.$
合并同类项,得$21＜-3x≤27.$
系数化为 1,得$-9≤x＜-7.$
【解法二】组成不等式组求解:
由题意得$\{\begin{array}{l} -3(x+4)≤15①,\\ -3(x+4)＞9②,\end{array} $
解不等式①,得$x≥-9,$
解不等式②,得$x＜-7,$
$\therefore x$的取值范围为$-9≤x＜-7.$
$9＜-3(x+4)≤15,$
去括号,得$9＜-3x-12≤15.$
移项,得$9+12＜-3x≤15+12.$
合并同类项,得$21＜-3x≤27.$
系数化为 1,得$-9≤x＜-7.$
【解法二】组成不等式组求解:
由题意得$\{\begin{array}{l} -3(x+4)≤15①,\\ -3(x+4)＞9②,\end{array} $
解不等式①,得$x≥-9,$
解不等式②,得$x＜-7,$
$\therefore x$的取值范围为$-9≤x＜-7.$
2. 「2025 甘肃武威期末」若关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $\begin{cases}x + y = 2 + a,\\x - y = 3a - 6\end{cases}$ 的解满足 $ 2 ＜ x - 2y ≤ 10 $。
(1) 求 $ a $ 的取值范围。
(2) 若 $ 3a + b = 1 $，求 $ b $ 的取值范围。
(1) 求 $ a $ 的取值范围。
(2) 若 $ 3a + b = 1 $，求 $ b $ 的取值范围。
答案
解析 (1)解$\{\begin{array}{l} x+y=2+a,\\ x-y=3a-6,\end{array} $得$\{\begin{array}{l} x=2a-2,\\ y=4-a,\end{array} $
$\therefore x-2y=2a-2-2(4-a)=4a-10.$
$\because 2＜x-2y≤10,\therefore 2＜4a-10≤10$,解得$3＜a≤5.$
(2)$\because 3a+b=1,\therefore a=\frac {1-b}{3},$
由(1)知$3＜a≤5,\therefore 3＜\frac {1-b}{3}≤5$,解得$-14≤b＜-8.$
$\therefore x-2y=2a-2-2(4-a)=4a-10.$
$\because 2＜x-2y≤10,\therefore 2＜4a-10≤10$,解得$3＜a≤5.$
(2)$\because 3a+b=1,\therefore a=\frac {1-b}{3},$
由(1)知$3＜a≤5,\therefore 3＜\frac {1-b}{3}≤5$,解得$-14≤b＜-8.$
3. 「2025 广东佛山顺德月考」先阅读下面的材料，再解答问题。
分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式，如 $\frac{x - 2}{x + 1} ＞ 0$，$\frac{2x + 3}{x - 1} ＜ 0$ 等，怎样求出它们的解集呢？我们知道：两数相除，同号得正，异号得负。
(1) 若 $\frac{a}{b} ＞ 0$，则 $\begin{cases}a ＞ 0,\\b ＞ 0\end{cases}$ 或 ______ ；若 $\frac{a}{b} ＜ 0$，则 ______ 或 ______ 。
(2) 根据上述信息，求不等式 $\frac{x - 2}{x + 1} ＞ 0$ 和 $\frac{2x + 3}{x - 1} ＜ 0$ 的解集。
分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式，如 $\frac{x - 2}{x + 1} ＞ 0$，$\frac{2x + 3}{x - 1} ＜ 0$ 等，怎样求出它们的解集呢？我们知道：两数相除，同号得正，异号得负。
(1) 若 $\frac{a}{b} ＞ 0$，则 $\begin{cases}a ＞ 0,\\b ＞ 0\end{cases}$ 或 ______ ；若 $\frac{a}{b} ＜ 0$，则 ______ 或 ______ 。
(2) 根据上述信息，求不等式 $\frac{x - 2}{x + 1} ＞ 0$ 和 $\frac{2x + 3}{x - 1} ＜ 0$ 的解集。
答案
解析 (1)$\{\begin{array}{l} a＜0,\\ b＜0;\end{array} \{\begin{array}{l} a＞0,\\ b＜0;\end{array} \{\begin{array}{l} a＜0,\\ b＞0.\end{array} $
(2)对于$\frac {x-2}{x+1}＞0$,可知$\{\begin{array}{l} x-2＞0,\\ x+1＞0\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x-2＜0,\\ x+1＜0,\end{array} $
解得$x＞2$或$x＜-1.$
对于$\frac {2x+3}{x-1}＜0$,可知$\{\begin{array}{l} 2x+3＞0,\\ x-1＜0\end{array} $或$\{\begin{array}{l} 2x+3＜0,\\ x-1＞0,\end{array} $
解得$-\frac {3}{2}＜x＜1.$
(2)对于$\frac {x-2}{x+1}＞0$,可知$\{\begin{array}{l} x-2＞0,\\ x+1＞0\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x-2＜0,\\ x+1＜0,\end{array} $
解得$x＞2$或$x＜-1.$
对于$\frac {2x+3}{x-1}＜0$,可知$\{\begin{array}{l} 2x+3＞0,\\ x-1＜0\end{array} $或$\{\begin{array}{l} 2x+3＜0,\\ x-1＞0,\end{array} $
解得$-\frac {3}{2}＜x＜1.$
4. 「2024 江苏盐城期末改编」观察下列不等式及其解集：
① $ x ＞ 1 $ 的解集为 $ x ＞ 1 $ 或 $ x ＜ - 1 $；
② $ x ＞ \frac{1}{2} $ 的解集为 $ x ＞ \frac{1}{2} $ 或 $ x ＜ - \frac{1}{2} $；
③ $ x ＞ 15 $ 的解集为 $ x ＞ 15 $ 或 $ x ＜ - 15 $；
④ $ x ＞ 100 $ 的解集为 $ x ＞ 100 $ 或 $ x ＜ - 100 $。
回答下列问题：
(1) $ x ＞ \sqrt{3} $ 的解集是
(2) 归纳：当 $ a ＞ 0 $ 时，不等式 $ x ＞ a $ 的解集是
(3) 运用(2)中的结论解不等式 $ 2x + 1 ＞ 27 $。
① $ x ＞ 1 $ 的解集为 $ x ＞ 1 $ 或 $ x ＜ - 1 $；
② $ x ＞ \frac{1}{2} $ 的解集为 $ x ＞ \frac{1}{2} $ 或 $ x ＜ - \frac{1}{2} $；
③ $ x ＞ 15 $ 的解集为 $ x ＞ 15 $ 或 $ x ＜ - 15 $；
④ $ x ＞ 100 $ 的解集为 $ x ＞ 100 $ 或 $ x ＜ - 100 $。
回答下列问题：
(1) $ x ＞ \sqrt{3} $ 的解集是
$x＞\sqrt {3}$或$x＜-\sqrt {3}$
。(2) 归纳：当 $ a ＞ 0 $ 时，不等式 $ x ＞ a $ 的解集是
$x＞a$或$x＜-a$
。(3) 运用(2)中的结论解不等式 $ 2x + 1 ＞ 27 $。
答案
解析 (1)$x＞\sqrt {3}$或$x＜-\sqrt {3}.$
(2)$x＞a$或$x＜-a.$
(3)因为$|2x+1|＞27,$
所以$2x+1＞27$①或$2x+1＜-27$②,
解①,得$x＞13$,解②,得$x＜-14,$
故不等式的解集为$x＞13$或$x＜-14.$
(2)$x＞a$或$x＜-a.$
(3)因为$|2x+1|＞27,$
所以$2x+1＞27$①或$2x+1＜-27$②,
解①,得$x＞13$,解②,得$x＜-14,$
故不等式的解集为$x＞13$或$x＜-14.$
