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10. 「2025 四川南充营山二模」已知不等式组$\begin{cases}- 2x + 3 ＜ 1, \\ x - a ＜ 0\end{cases}$无解，则$a$的取值范围是( )
A.$a ＜ 1$
B.$a ≤ 1$
C.$a ＞ 1$
D.$a ≥ 1$
A.$a ＜ 1$
B.$a ≤ 1$
C.$a ＞ 1$
D.$a ≥ 1$
答案
10.B 解不等式 $- 2x + 3 ＜ 1$ 得 $x ＞ 1$，解不等式 $x - a ＜ 0$ 得 $x ＜ a$，因为此不等式组无解，所以 $a ≤ 1$. 故选 B.
11. 「2025 北京通州期末」若实数$m$满足$- 1 ＜ m ≤ 2$，则关于$x$的不等式组$\begin{cases}x ＜ 5, \\ x - m ≥ 0\end{cases}$的所有整数解的和是( )
A.9
B.9 或 10
C.8 或 10
D.8 或 9
A.9
B.9 或 10
C.8 或 10
D.8 或 9
答案
11.B 解不等式组 $\begin{cases}x ＜ 5, \\ x - m ≥ 0,\end{cases}$ 得 $m ≤ x ＜ 5$. $\because - 1 ＜ m ≤ 2$，
$\therefore$ 不等式组的整数解有 $0$，$1$，$2$，$3$，$4$ 或 $1$，$2$，$3$，$4$ 或 $2$，$3$，$4$，$\therefore$ 不等式组的所有整数解的和为 $0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10$ 或 $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ 或 $2 + 3 + 4 = 9$. 故选 B.
$\therefore$ 不等式组的整数解有 $0$，$1$，$2$，$3$，$4$ 或 $1$，$2$，$3$，$4$ 或 $2$，$3$，$4$，$\therefore$ 不等式组的所有整数解的和为 $0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10$ 或 $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ 或 $2 + 3 + 4 = 9$. 故选 B.
12. 「2025 四川南充中考」不等式组$\begin{cases}x - 3 ＞ - 1, \\ - x ＜ - m + 1\end{cases}$的解集是$x ＞ 2$，则$m$的取值范围是 ______ .
答案
12. 答案 $m ≤ 3$
解析 解不等式 $x - 3 ＞ - 1$，得 $x ＞ 2$，解不等式 $- x ＜ - m + 1$，得 $x ＞ m - 1$. $\because$ 不等式组的解集是 $x ＞ 2$，$\therefore m - 1 ≤ 2$，
$\therefore m ≤ 3$.
解析 解不等式 $x - 3 ＞ - 1$，得 $x ＞ 2$，解不等式 $- x ＜ - m + 1$，得 $x ＞ m - 1$. $\because$ 不等式组的解集是 $x ＞ 2$，$\therefore m - 1 ≤ 2$，
$\therefore m ≤ 3$.
13. 「2025 湖北十堰丹江口期末改编」已知$\begin{cases}3x + 2y = 5k, \\ 2x + 3y = 3k + 2,\end{cases}$且$- 4 ＜ x - y ＜ 2$，则$k$的取值范围是 ______ .
答案
13. 答案 $- 1 ＜ k ＜ 2$
解析 $\begin{cases}3x + 2y = 5k①, \\ 2x + 3y = 3k + 2②,\end{cases}$ ① - ②，得 $x - y = 2k - 2$，
$\because - 4 ＜ x - y ＜ 2$，$\therefore - 4 ＜ 2k - 2 ＜ 2$，解得 $- 1 ＜ k ＜ 2$.
解析 $\begin{cases}3x + 2y = 5k①, \\ 2x + 3y = 3k + 2②,\end{cases}$ ① - ②，得 $x - y = 2k - 2$，
$\because - 4 ＜ x - y ＜ 2$，$\therefore - 4 ＜ 2k - 2 ＜ 2$，解得 $- 1 ＜ k ＜ 2$.
14. 「2024 四川泸州中考」某商场购进 A，B 两种商品，已知购进 3 件 A 商品比购进 4 件 B 商品费用多 60 元；购进 5 件 A 商品和 2 件 B 商品总费用为 620 元.
(1) 求 A，B 两种商品每件进价各为多少元.
(2) 该商场计划购进 A，B 两种商品共 60 件，且购进 B 商品的件数不少于 A 商品件数的 2 倍.若 A 商品按每件 150 元销售，B 商品按每件 80 元销售，为满足销售完 A，B 两种商品后获得的总利润不低于 1770 元，则购进 A 商品的件数最多为多少?
(1) 求 A，B 两种商品每件进价各为多少元.
(2) 该商场计划购进 A，B 两种商品共 60 件，且购进 B 商品的件数不少于 A 商品件数的 2 倍.若 A 商品按每件 150 元销售，B 商品按每件 80 元销售，为满足销售完 A，B 两种商品后获得的总利润不低于 1770 元，则购进 A 商品的件数最多为多少?
答案
14. 解析 (1) 设 A 商品每件进价是 $x$ 元，B 商品每件进价是 $y$ 元，根据题意得 $\begin{cases}3x - 4y = 60, \\ 5x + 2y = 620,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x = 100, \\ y = 60.\end{cases}$
答：A 商品每件进价是 $100$ 元，B 商品每件进价是 $60$ 元.
(2) 设购进 $m$ 件 A 商品，则购进 $(60 - m)$ 件 B 商品，
根据题意得 $\begin{cases}60 - m ≥ 2m, \\ (150 - 100)m + (80 - 60)(60 - m) ≥ 1770,\end{cases}$
解得 $19 ≤ m ≤ 20$，$\therefore m$ 的最大值为 $20$.
答：购进 A 商品的件数最多为 $20$.
解得 $\begin{cases}x = 100, \\ y = 60.\end{cases}$
答：A 商品每件进价是 $100$ 元，B 商品每件进价是 $60$ 元.
(2) 设购进 $m$ 件 A 商品，则购进 $(60 - m)$ 件 B 商品，
根据题意得 $\begin{cases}60 - m ≥ 2m, \\ (150 - 100)m + (80 - 60)(60 - m) ≥ 1770,\end{cases}$
解得 $19 ≤ m ≤ 20$，$\therefore m$ 的最大值为 $20$.
答：购进 A 商品的件数最多为 $20$.
15. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}6x - a ≥ 0, \\ 5x - b ＜ 0\end{cases}$的整数解仅有 1，2，3，则$a + b$的最大值为 ______ .
答案
15. 答案 $26$
解析 $\begin{cases}6x - a ≥ 0①, \\ 5x - b ＜ 0②,\end{cases}$ 解不等式①，得 $x ≥ \dfrac{a}{6}$，解不等式②，得 $x ＜ \dfrac{b}{5}$，$\therefore$ 不等式组的解集为 $\dfrac{a}{6} ≤ x ＜ \dfrac{b}{5}$，$\because$ 关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}6x - a ≥ 0, \\ 5x - b ＜ 0\end{cases}$ 的整数解仅有 $1$，$2$，$3$，$\therefore 0 ＜ \dfrac{a}{6} ≤ 1$，$3 ＜ \dfrac{b}{5} ≤ 4$，解得 $0 ＜ a ≤ 6$，$15 ＜ b ≤ 20$，$\therefore a$ 的最大值为 $6$，$b$ 的最大值为 $20$，$\therefore a + b$ 的最大值为 $6 + 20 = 26$.
解析 $\begin{cases}6x - a ≥ 0①, \\ 5x - b ＜ 0②,\end{cases}$ 解不等式①，得 $x ≥ \dfrac{a}{6}$，解不等式②，得 $x ＜ \dfrac{b}{5}$，$\therefore$ 不等式组的解集为 $\dfrac{a}{6} ≤ x ＜ \dfrac{b}{5}$，$\because$ 关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}6x - a ≥ 0, \\ 5x - b ＜ 0\end{cases}$ 的整数解仅有 $1$，$2$，$3$，$\therefore 0 ＜ \dfrac{a}{6} ≤ 1$，$3 ＜ \dfrac{b}{5} ≤ 4$，解得 $0 ＜ a ≤ 6$，$15 ＜ b ≤ 20$，$\therefore a$ 的最大值为 $6$，$b$ 的最大值为 $20$，$\therefore a + b$ 的最大值为 $6 + 20 = 26$.
16. 「2025 北京石景山期末」已知不等式(组)$M$和不等式(组)$N$都有解，若不等式(组)$M$的解集中的任何一个值都是不等式(组)$N$的解，则称不等式(组)$N$“包围”不等式(组)$M$.例如，$x - 1 ＞ 0$的解集是$x ＞ 1$，$x + 1 ＞ 0$的解集是$x ＞ - 1$，所以不等式$x + 1 ＞ 0$“包围”不等式$x - 1 ＞ 0$.
(1) 已知不等式$Q:x + 2 ＞ 0$，则以下不等式(组)能“包围”不等式$Q$的有
①$x ≤ - 2$；②$x ≥ - 2$；③$\begin{cases}1 - 2x ＞ 0, \\ x + 2 ＞ 0;\end{cases}$④$\begin{cases}x + 3 ≥ 0, \\ x + 4 ＞ 0.\end{cases}$
(2) 已知不等式$A:3x + 2m ＜ 5x - 3m$，不等式$B:x - 1 ≥ 3$，若不等式$B$“包围”不等式$A$，则$m$的取值范围是
(3) 已知关于$x$的不等式$3x - 2a ＞ 3a + 2$“包围”不等式组$\begin{cases}2x + 1 ＞ 3a, \\ 1 - 2x ＞ 2a,\end{cases}$若$T = 3a - 2b - 4c$且满足$a + b + 3c = 18$，$3a - 2b - c = - 11$，求$T$的取值范围.
(1) 已知不等式$Q:x + 2 ＞ 0$，则以下不等式(组)能“包围”不等式$Q$的有
②④
.①$x ≤ - 2$；②$x ≥ - 2$；③$\begin{cases}1 - 2x ＞ 0, \\ x + 2 ＞ 0;\end{cases}$④$\begin{cases}x + 3 ≥ 0, \\ x + 4 ＞ 0.\end{cases}$
(2) 已知不等式$A:3x + 2m ＜ 5x - 3m$，不等式$B:x - 1 ≥ 3$，若不等式$B$“包围”不等式$A$，则$m$的取值范围是
答案 $m ≥ \dfrac{8}{5}$
.(3) 已知关于$x$的不等式$3x - 2a ＞ 3a + 2$“包围”不等式组$\begin{cases}2x + 1 ＞ 3a, \\ 1 - 2x ＞ 2a,\end{cases}$若$T = 3a - 2b - 4c$且满足$a + b + 3c = 18$，$3a - 2b - c = - 11$，求$T$的取值范围.
答案
16. 解析 (1) $\because$ 不等式 $Q$ 为 $x + 2 ＞ 0$，$\therefore x ＞ - 2$.
① 不等式 $x ≤ - 2$ 不能“包围”不等式 $Q$.
② 不等式 $x ≥ - 2$ 能“包围”不等式 $Q$.
③ 解不等式组 $\begin{cases}1 - 2x ＞ 0, \\ x + 2 ＞ 0,\end{cases}$ 得 $- 2 ＜ x ＜ \dfrac{1}{2}$，
$\therefore$ 此不等式组不能“包围”不等式 $Q$.
④ 解不等式组 $\begin{cases}x + 3 ≥ 0, \\ x + 4 ＞ 0,\end{cases}$ 得 $x ≥ - 3$，
$\therefore$ 此不等式组能“包围”不等式 $Q$. 故答案为 ②④.
(2) $\because$ 不等式 $A$：$3x + 2m ＜ 5x - 3m$，$\therefore x ＞ \dfrac{5}{2}m$.
$\because$ 不等式 $B$：$x - 1 ≥ 3$，$\therefore x ≥ 4$.
$\because$ 不等式 $B$“包围”不等式 $A$，$\therefore \dfrac{5}{2}m ≥ 4$，$\therefore m ≥ \dfrac{8}{5}$.
故答案为 $m ≥ \dfrac{8}{5}$.
(3) 解不等式 $3x - 2a ＞ 3a + 2$，得 $x ＞ \dfrac{5a + 2}{3}$.
解不等式组 $\begin{cases}2x + 1 ＞ 3a, \\ 1 - 2x ＞ 2a,\end{cases}$ 得 $\dfrac{3a - 1}{2} ＜ x ＜ \dfrac{1 - 2a}{2}$.
$\because$ 关于 $x$ 的不等式 $3x - 2a ＞ 3a + 2$“包围”不等式组 $\begin{cases}2x + 1 ＞ 3a, \\ 1 - 2x ＞ 2a,\end{cases}$ $\therefore \dfrac{5a + 2}{3} ≤ \dfrac{3a - 1}{2} ＜ \dfrac{1 - 2a}{2}$，$\therefore a ≤ - 7$.
$\because a + b + 3c = 18$，$3a - 2b - c = - 11$，
$\therefore b = 3 + 2a$，$c = 5 - a$.
$\therefore T = 3a - 2b - 4c = 3a - 2(3 + 2a) - 4(5 - a)$
$= 3a - 6 - 4a - 20 + 4a = 3a - 26$.
$\because a ≤ - 7$，$\therefore T ≤ - 47$.
① 不等式 $x ≤ - 2$ 不能“包围”不等式 $Q$.
② 不等式 $x ≥ - 2$ 能“包围”不等式 $Q$.
③ 解不等式组 $\begin{cases}1 - 2x ＞ 0, \\ x + 2 ＞ 0,\end{cases}$ 得 $- 2 ＜ x ＜ \dfrac{1}{2}$，
$\therefore$ 此不等式组不能“包围”不等式 $Q$.
④ 解不等式组 $\begin{cases}x + 3 ≥ 0, \\ x + 4 ＞ 0,\end{cases}$ 得 $x ≥ - 3$，
$\therefore$ 此不等式组能“包围”不等式 $Q$. 故答案为 ②④.
(2) $\because$ 不等式 $A$：$3x + 2m ＜ 5x - 3m$，$\therefore x ＞ \dfrac{5}{2}m$.
$\because$ 不等式 $B$：$x - 1 ≥ 3$，$\therefore x ≥ 4$.
$\because$ 不等式 $B$“包围”不等式 $A$，$\therefore \dfrac{5}{2}m ≥ 4$，$\therefore m ≥ \dfrac{8}{5}$.
故答案为 $m ≥ \dfrac{8}{5}$.
(3) 解不等式 $3x - 2a ＞ 3a + 2$，得 $x ＞ \dfrac{5a + 2}{3}$.
解不等式组 $\begin{cases}2x + 1 ＞ 3a, \\ 1 - 2x ＞ 2a,\end{cases}$ 得 $\dfrac{3a - 1}{2} ＜ x ＜ \dfrac{1 - 2a}{2}$.
$\because$ 关于 $x$ 的不等式 $3x - 2a ＞ 3a + 2$“包围”不等式组 $\begin{cases}2x + 1 ＞ 3a, \\ 1 - 2x ＞ 2a,\end{cases}$ $\therefore \dfrac{5a + 2}{3} ≤ \dfrac{3a - 1}{2} ＜ \dfrac{1 - 2a}{2}$，$\therefore a ≤ - 7$.
$\because a + b + 3c = 18$，$3a - 2b - c = - 11$，
$\therefore b = 3 + 2a$，$c = 5 - a$.
$\therefore T = 3a - 2b - 4c = 3a - 2(3 + 2a) - 4(5 - a)$
$= 3a - 6 - 4a - 20 + 4a = 3a - 26$.
$\because a ≤ - 7$，$\therefore T ≤ - 47$.
