9. （亮点原创）如图，一条直线经过点$A(0,2)$和点$B(1,0)$，将这条直线向左平移与$x$轴、$y$轴分别交于$C$，$D$两点. 若$DB=DC$，则直线$CD$对应的函数表达式为______.

$y=-2x - 2$

10. 新素养推理能力 如图，直线 $y = \dfrac{2}{3}x + 4$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $A,B$ 两点，点 $C$ 在线段 $AB$ 上，点 $D$ 在 $y$ 轴的负半轴上，$C,D$ 两点到 $x$ 轴的距离均为 $2$. 若 $P$ 为线段 $OA$ 上一动点，且 $PC + PD$ 的值最小，则此时点 $P$ 的坐标为$\underline{\hspace{5cm}}$.

$(-\frac{3}{2},0)$

11. (2025·江苏淮安模拟)若把一次函数$y=kx+b$的图象先绕着原点旋转$180°$，再向左平移2个单位长度后，恰好经过点$A(-4,0)$和点$B(0,2)$，则原一次函数的表达式是$\underline{\hspace{5cm}}$．

$y=\frac{1}{2}x - 1$

12. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $ y = -x + 3 $ 经过点 $ A(5,m) $,且与 $ y $ 轴交于点 $ B $,把点 $ A $ 先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到点 $ C $,过点 $ C $ 且与直线 $ y = 2x $ 平行的直线交 $ y $ 轴于点 $ D $.
(1) 求直线 $ CD $ 对应的函数表达式;
(2) 若直线 $ AB $ 与 $ CD $ 相交于点 $ E $,将直线 $ CD $ 沿 $ EB $ 方向平移,平移到经过点 $ B $ 的位置停止,求直线 $ CD $ 在平移过程中与 $ x $ 轴交点的横坐标的取值范围.

解：​$(1)$​由题意，把​$(5，$​​$m)$​代入​$y=-x + 3$​中，得​$m=-5 + 3=-2$​∴点​$A$​的坐标为​$(5，$​​$-2)$​∵点​$A$​先向左平移​$2$​个单位长度，再向上平移​$4$​个单位长度，得到点​$C$​∴点​$C$​的坐标为​$(3，$​​$2)$​∵直线​$CD$​与直线​$y = 2x$​平行∴设直线​$CD$​对应的函数表达式为​$y = 2x + b$​又点​$C$​在直线​$CD$​上∴把​$C(3，$​​$2)$​代入​$y = 2x + b$​中，得​$6 + b = 2，$​解得​$b=-4$​∴直线​$CD$​对应的函数表达式为​$y = 2x - 4$​​$(2)$​对于​$y=-x + 3，$​令​$x = 0，$​得​$y = 3$​∴点​$B$​的坐标为​$(0，$​​$3)$​由​$(1)$​得直线​$CD$​对应的函数表达式为​$y = 2x - 4$​令​$y = 0，$​得​$2x - 4 = 0，$​解得​$x = 2$​∴直线​$y = 2x - 4$​与​$x$​轴的交点坐标为​$(2，$​​$0)$​设当直线​$CD$​平移到经过点​$B$​时的直线对应的函数表达式为​$y = 2x - 4 + n$​则​$3 = 2×0 - 4 + n，$​解得​$n = 7$​∴平移结束时得到的直线对应的函数表达式为​$y = 2x + 3$​令​$y = 0，$​得​$2x + 3 = 0，$​解得​$x=-\frac 32$​∴直线​$y = 2x + 3$​与​$x$​轴的交点坐标为​$(-\frac 32，$​​$0)$​∴直线​$CD$​在平移过程中与​$x$​轴交点的横坐标的取值范围为​$-\frac 32\leq x\leq 2$​

13. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=2x-1$的图象分别交$x$轴、$y$轴于$A,B$两点,将直线$AB$绕点$B$按顺时针方向旋转$45°$,交$x$轴于点$C$,则直线$BC$对应的函数表达式是______.

$y=\frac{1}{3}x - 1$

14. 新趋势 综合实践（2025·江苏苏州模拟）如图，在平面直角坐标系中有$A(0,1)$，$M(3,2)$，$N(4,4)$三点. 动点$P$从点$A$出发，沿$y$轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点$P$的直线$l:y=-x+b$也随之移动. 设点$P$移动的时间是$t$秒.
（1）当$t=2$时，$AP=$______，此时点$P$的坐标是________；
（2）当$t=3$时，求过点$P$的直线$l:y=-x+b$对应的函数表达式；
（3）当直线$l:y=-x+b$从经过点$M$到经过点$N$时，求点$P$向上移动的时间.

$2$ ; $(0,3)$ ; 解：​$(2)$​当​$t = 3$​时，​$AP = 1×3 = 3$​又点​$A$​的坐标是​$(0，$​​$1)，$​∴​$OA = 1$​∴​$OP = OA + AP = 4$​∴点​$P $​的坐标是​$(0，$​​$4)$​又点​$P $​在直线​$l∶y=-x + b$​上∴把​$P(0，$​​$4)$​代入​$y=-x + b$​中，得​$b = 4$​∴直线​$l$​对应的函数表达式是​$y=-x + 4$​​$ (3)$​由​$(2)，$​得​$OA = 1$​当直线​$l$​经过点​$M(3，$​​$2)$​时把​$M(3，$​​$2)$​代入​$y=-x + b$​中，得​$2=-3 + b，$​解得​$b = 5$​∴直线​$l$​对应的函数表达式是​$y=-x + 5$​令​$x = 0，$​得​$y = 5$​∴此时点​$P $​的坐标是​$(0，$​​$5)，$​即​$OP = 5$​∴​$AP = OP - OA = 4$​∴​$t=\frac 41=4($​秒​$)$​当直线​$l$​经过点​$N(4，$​​$4)$​时，把​$N(4，$​​$4)$​代入​$y=-x + b$​中，得​$4=-4 + b，$​解得​$b = 8$​∴直线​$l$​对应的函数表达式是​$y=-x + 8$​令​$x = 0，$​得​$y = 8$​∴此时点​$P $​的坐标是​$(0，$​​$8)，$​即​$OP = 8$​∴​$AP = OP - OA = 7$​∴​$t=\frac 71=7($​秒​$)$​又​$7 - 4 = 3($​秒​$)$​∴点​$P $​向上移动的时间为​$3$​秒