1. (2025·江苏无锡期末)如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,P是线段AB上任意一点(不包括端点),过点P分别作两坐标轴的垂线,与两坐标轴围成的长方形的周长是8,则该直线对应的函数表达式是 ( )
A. $y=-x+4$
B. $y=x+4$
C. $y=x+8$
D. $y=-x+8$

(第1题)

(第2题)

A

2. （亮点原创）如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-\dfrac{3}{4}x+3$ 分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于 $A,B$ 两点，将 $△ AOB$ 沿过点 $A$ 的直线折叠，使点 $B$ 落在 $x$ 轴负半轴上，记作点 $C$，折痕交 $y$ 轴于点 $D$，则过 $C,D$ 两点的直线对应的函数表达式为______．

$y = \frac{4}{3}x+\frac{4}{3}$

3. 如图,直线 $y=\frac{1}{2}x+1$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $A'$,经过点 $A'$ 和 $y$ 轴上的点 $B(0,2)$ 的直线的函数表达式为 $y=kx+b$.
(1) 求点 $A'$ 的坐标;
(2) 求直线 $A'B$ 对应的函数表达式.

解：​$(1) $​对于​$y = \frac 12x + 1$​令​$y = 0，$​得​$\frac 12x + 1 = 0，$​解得​$x = - 2$​∴点​$A$​的坐标为​$(-2，$​​$0)$​∵点​$A$​关于​$y$​轴的对称点为​$A'$​∴点​$A'$​的坐标为​$(2，$​​$0)$​​$(2) $​由​$(1)，$​得点​$A'$​的坐标为​$(2，$​​$0)$​∵点​$B$​的坐标为​$(0，$​​$2)$​且​$A'，$​​$B$​两点都在直线​$y = kx + b$​上∴​$\begin {cases}2k + b = 0\\b = 2\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}k = - 1\\b = 2\end {cases}$​∴直线​$A'B$​对应的函数表达式为​$y = - x + 2$​

4. 如图,正方形 ABOD 的边长是 2,C 为 AB的中点,直线 CD 交 x 轴于点 F.
(1) 求直线 CD 对应的函数表达式;
(2) 在 x 轴上取一点 E,连接 CE,DE,使$∠ 1=∠ 2$.求证:$EC ⊥ CD$;
(3) 在(2)的条件下,求点 E 的坐标.

​$(1) $​解：∵​$C，$​​$D$​两点的坐标分别为​$(-2，$​​$1)，$​​$(0，$​​$2)$​设直线​$CD$​对应的函数表达式为​$y = kx + b$​把​$C(-2，$​​$1)，$​​$D(0，$​​$2)$​分别代入，得​$\begin {cases}-2k + b = 1\\b = 2\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}k = \frac 12\\b = 2\end {cases}$​∴直线​$CD$​对应的函数表达式为​$y = \frac 12x + 2$​​$(2) $​证明：由​$(1)$​得直线​$CD$​的函数表达式为​$y = \frac 12x + 2$​令​$y = 0，$​得​$\frac 12x + 2 = 0，$​解得​$x = - 4$​∴点​$F $​的坐标为​$(-4，$​​$0)，$​即​$OF = 4$​∵四边形​$ABOD$​是边长为​$2$​的正方形∴​$AD = BO = OD = 2，$​​$∠A=∠ABO = 90°$​又​$∠F BC+∠ABO = 180°，$​​$BO + BF = OF$​∴​$∠F BC = 90°，$​​$BF = 2，$​即​$∠F BC=∠A，$​​$BF = AD$​又​$C$​为​$AB$​的中点，∴​$AC = BC$​∴​$\triangle BCF≌\triangle ACD(S AS)$​∴​$CF = CD，$​​$∠BF C=∠1$​又​$∠1=∠2，$​∴​$∠2=∠BF C$​∴​$DE = FE，$​∴​$EC\perp CD$​​$(3) $​解：由​$(2)$​得​$OF = 4，$​​$OD = 2，$​​$FE = DE$​设​$OE = t，$​则​$DE = FE = 4 - t$​在​$Rt\triangle DOE$​中，由勾股定理，得​$DE^2=OD^2+OE^2$​∴​$(4 - t)^2=4 + t^2，$​解得​$t = 1.5$​∴点​$E$​的坐标为​$(-1.5，$​​$0)$​

5. (2023·江苏无锡)将函数$y=2x+1$的图象向下平移2个单位长度,所得图象对应的函数表达式为 ( )
A. $y=2x-1$
B. $y=2x+3$
C. $y=4x-3$
D. $y=4x+5$

A

6. 将直线 $ y = 2x - 1 $ 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，则平移后所得直线对应的函数表达式为 ______．

$y = 2x + 3$

7. 在平面直角坐标系中有 $ A(a,b) $ 和 $ B(1-\dfrac{1}{2}b,c) $ 两点，且 $ a,b,c $ 满足 $ \begin{cases} a+2b-c=2, \\ a-b+c=2. \end{cases} $ 将线段 $ AB $ 进行平移得到线段 $ CD $，点 $ A $ 的对应点为点 $ C(m,3m-8) $，点 $ B $ 的对应点为点 $ D $，且点 $ D $ 的纵坐标为 $ 3a+b $，且 $ a+3m=1 $，则线段 $ CD $ 所在直线对应的函数表达式为 ______．

$y = - 5x+\frac{8}{3}$