8. 新素养 推理能力 如图,直线$ l $经过$ A(6,0),B(0,8) $两点,点$ C $从点$ B $出发沿线段$ BO $以每秒1个单位长度的速度向点$ O $运动,点$ D $从点$ A $出发沿线段$ AB $以每秒2个单位长度的速度向点$ B $运动,设运动时间为$ t $秒$(t＞0)$.
(1) 求直线$ l $对应的函数表达式;
(2) 当$ t= $______时,$ BC=BD $;
(3) 将直线$ l $沿$ x $轴向右平移3个单位长度后,得到的直线与$ x $轴、$ y $轴分别交于$ E,F $两点,求四边形$ BAEF $的面积;
(4) 在第一象限内,是否存在点$ P $,使以$ A,B,P $三点为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,求出点$ P $的坐标;若不存在,请说明理由.

$\frac{10}{3}$ ; 解：​$(1) $​设直线​$l$​对应的函数表达式为​$y = kx + b$​把​$A(6，$​​$0)，$​​$B(0，$​​$8)$​分别代入得​$\begin {cases}6k + b = 0\\b = 8\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}k = -\frac 43\\b = 8\end {cases}$​∴直线​$l$​对应的函数表达式为​$y = -\frac 43x + 8$​​$(3) $​由​$(1)(2)$​得直线​$l$​对应的函数表达式为​$y = -\frac 43x + 8，$​​$OA = 6，$​​$OB = 8$​∴直线​$EF $​对应的函数表达式为​$y = -\frac 43(x - 3)+8=-\frac 43x + 12$​令​$x = 0，$​得​$y = 12；$​令​$y = 0，$​得​$-\frac 43x + 12 = 0，$​解得​$x = 9$​∴点​$E$​的坐标为​$(9，$​​$0)，$​点​$F $​的坐标为​$(0，$​​$12)$​即​$OE = 9，$​​$OF = 12$​又四边形​$BAEF $​的面积为​$S_{\triangle EFO}-S_{\triangle ABO}$​∴​$S_{四边形BAEF}=\frac 12OE·OF-\frac 12OA·OB = 30$​​$(4) $​存在，由​$(2)$​得​$OA = 6，$​​$OB = 8$​∵以​$A，$​​$B，$​​$P $​三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，∴分情况讨论如下：​$① $​当​$∠ABP = 90°，$​​$AB = BP $​时过点​$P $​作​$PM\perp y$​轴于点​$M$​易证​$\triangle AOB≌\triangle BMP(\mathrm {AAS})$​∴​$OA = MB，$​​$OB = MP，$​即​$MB = 6，$​​$MP = 8$​∴​$OM = 14，$​∴点​$P $​的坐标为​$(8，$​​$14)$​​$② $​当​$∠BAP = 90°，$​​$AB = AP $​时过点​$P $​作​$PN\perp x$​轴于点​$N$​易证​$\triangle AOB≌\triangle PNA(\mathrm {AAS})$​∴​$OA = NP，$​​$OB = NA，$​即​$NP = 6，$​​$NA = 8$​∴​$ON = 14，$​∴点​$P $​的坐标为​$(14，$​​$6)$​​$③ $​当​$∠AP B = 90°，$​​$BP = AP $​时过点​$P $​分别作​$PG\perp x$​轴于点​$G，$​​$PH\perp y$​轴于点​$H$​易证四边形​$OGPH$​是长方形，​$\triangle AGP≌\triangle BHP(\mathrm {AAS})$​∴​$AG = BH，$​​$PG = PH，$​​$OG = PH，$​​$PG = OH$​又​$OG = OA + AG，$​​$OH = OB - BH$​∴​$6 + AG = 8 - BH，$​解得​$AG = BH = 1$​∴​$OG = PG = 7，$​即点​$P $​的坐标为​$(7，$​​$7)$​综上，点​$P $​的坐标为​$(8，$​​$14)$​或​$(14，$​​$6)$​或​$(7，$​​$7)$​

9.* 已知一次函数 $ y = kx + b $，当 $ -3 ≤ x ≤ 1 $ 时，$ -1 ≤ y ≤ 7 $，则 $ k $ 的值为 （ ）
A. 2
B. -2
C. 2或5
D. 2或-2

D

10. (2025·江苏扬州期末)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为$(-3,0)$,B为 y 轴的正半轴上一点,将线段 AB 绕点 B 旋转$90°$至 BC 处,过点 C 作$CD ⊥$x 轴于点 D.若四边形 ABCD 的面积为36,则直线 AC 对应的函数表达式为________．

$y = \frac{1}{3}x + 1$或$y = - 3x - 9$

11. 新趋势 推导探究 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标分别为 A(0,
4), B(-3,0), C$(\dfrac{16}{3},0)$, 一次函数 $y = kx + b(0 ＜ k ＜ \dfrac{4}{3})$ 的图象经过点 B,且分别与线段 AC 和 y 轴交于 E,F 两点.
(1) △ABC 是 ______ 三角形;
(2) 当 BE 恰好平分∠ABC 时,求点 E 的坐标;
(3) 是否存在实数 k,使△AEF 是等腰三角形? 若存在,请直接写出 k 的值;若不存在,请说明理由.

直角 ;
; 解：​$(2) $​过点​$E$​作​$ED\perp BC$​于点​$D$​由​$(1)，$​得​$AB^2=25，$​​$∠BAC = 90°$​∴​$AB = 5，$​​$EA\perp AB$​∵​$BE$​平分​$∠ABC，$​∴​$ED = EA$​又​$BE = BE，$​∴​$Rt\triangle ABE≌ Rt\triangle DBE(\mathrm {HL})$​∴​$AB = DB，$​即​$DB = 5$​又点​$B$​的坐标为​$(-3，$​​$0)，$​∴​$OB = 3，$​即​$OD = 2$​∴点​$E$​的横坐标为​$2$​设直线​$AC$​的函数表达式为​$y = mx + n$​把​$A(0，$​​$4)，$​​$C(\frac {16}3，$​​$0)$​分别代入，得​$\begin {cases}n = 4\\\frac {16}3\ \mathrm {m} + n = 0\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}m = -\frac 34\\n = 4\end {cases}$​∴直线​$AC$​的函数表达式为​$y = -\frac 34x + 4$​又点​$E$​在直线​$AC$​上∴把​$x = 2$​代入，得​$y = \frac 52$​∴点​$E$​的坐标为​$(2，$​​$\frac 52)$​​$(3) $​存在，​$k$​的值为​$\frac 12$​或​$\frac 34$​或​$\frac 7{24}$​