1. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $∠ BAD = 110°, ∠ B = ∠ D = 90°$, 在 $BC, CD$ 上分别找一点 $M, N$, 使 $△ AMN$ 的周长最小, 此时 $∠ AMN + ∠ ANM$ 的度数和为（ ）
A. $110°$
B. $120°$
C. $130°$
D. $140°$

D

2. 新素养 推理能力 如图，$∠ AOB=120°$，$OP$平分$∠ AOB$. 若$M,N$两点分别在$OA$，$OB$上，且$△ PMN$为等边三角形，则满足上述条件的$△ PMN$有 （ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 无数个

D

3. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AC = BC = 5$，$∠ ACB = 80°$，$O$ 为 $△ ABC$ 内部一点，$∠ OAB = 10°$，$∠ OBA = 30°$，则 $AO$ 的长是______．

5

4. (2025·江苏扬州模拟)如图,四边形ABCD的对角互补,且∠BAC=∠DAC,AB=15,AD=12.过顶点C作CE⊥AB于点E,则$\frac{AE}{BE}$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$.

9

5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=20°$,$AB=AC$,D是边AC上一点,连接BD,$AD=BC$,则$∠ DBA$的度数为______.


(第5题)
(第7题)

10°

6. (2025·江苏泰州模拟)已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=n°$.当$n$变化时，斜边$AB$上总存在$O,P$两点，使得$OC=CP=\frac{1}{2}AB$($O,P$两点不重合)，则$n$的取值范围为$\underline{\hspace{5cm}}$.

30≤n≤60且n≠45

7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=8$,$AC=5$,点$D$在$△ ABC$内部,连接$AD$,$BD$,$CD$,$∠ ADB=150°$,$∠ DBC=30°$,$∠ ABC + ∠ ADC=180°$,则$CD$的长为______.

3

8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°$,点$D$在边$BC$上,$∠ ADC=60°$,且$BD=\frac{1}{2}CD$.将$△ ACD$以直线$AD$为轴做轴对称变换,得到$△ AC'D$,连接$BC'$.
(1) 求证:$BC' ⊥ BC$;
(2) 求$∠ C$的度数.

; ​$(1) $​证明：由题意得​$\triangle AC'D≌\triangle ACD$​∴​$∠ADC' = ∠ADC，$​​$∠AC'D = ∠C，$​​$C'D = CD$​又​$∠ADC = 60°，$​​$∠BDC'+∠ADC'+∠ADC = 180°$​∴​$∠BDC' = 60°$​在边​$C'D$​上取一点​$P，$​使​$P D = BD，$​连接​$P B$​则​$\triangle BDP $​是等边三角形∴​$BP = BD = P D，$​​$∠P BD = ∠BP D = 60°$​又​$BD=\frac 12CD，$​∴​$BD = \frac 12C'D，$​即​$P C' = P D = BP$​∴​$∠BC'P=∠P BC'$​又​$∠BP D=∠BC'P+∠P BC'$​∴​$∠BC'P=∠P BC'=\frac 12∠BP D = 30°$​即​$∠C'BD=∠P BC'+∠P BD = 90°$​∴​$BC'\perp BC$​​$(2) $​解：过点​$A$​分别作​$BC，$​​$C'D，$​​$BC'$​的垂线，垂足分别为​$E，$​​$F，$​​$G$​由​$(1)$​得​$∠AC'D = ∠C，$​​$∠BC'P = 30°，$​​$∠ADC' = ∠ADC，$​​$∠C'BD = 90°$​∴​$DA$​平分​$∠CDC，$​即​$AE = AF$​又​$∠C'BD=∠ABC+∠ABC'，$​​$∠ABC = 45°$​∴​$∠ABC' = 45°，$​即​$∠ABC'=∠ABC$​∴​$AB$​平分​$∠C'BD，$​即​$AE = AG$​∴​$AF = AG$​在​$Rt\triangle AC'F $​和​$Rt\triangle AC'G $​中​$\begin {cases}AG = AF\\AC' = AC'\end {cases}$​∴​$Rt\triangle AC'F≌ Rt\triangle AC'G(\mathrm {HL})$​∴​$∠AC'F=∠AC'G$​又​$∠BC'P+∠AC'F+∠AC'G = 180°$​∴​$∠AC'F=\frac 12(180°-∠BC'P)=75°，$​即​$∠C = 75°$​