【学习研究】
（1）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图①，诗中大意是将军从山脚下的点A出发，带着马走到河边点P处饮水后，再回到点B宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点P，使$PA+PB$的值最小，不说明理由.
【类比迁移】
（2）① 如图②，P，Q是$△ ABC$的边AC，AB上的两个定点，请同学们在BC上找一点R，使得$△ PQR$的周长最小，
② 如图③，$∠ AOB$内部有两点P，Q，在OA，OB上分别找M，N两点，使四边形PQMN的周长最小；
【实践应用】
（3）① 如图④，一条笔直的河流$l$的同侧有A，B两个村庄，要把A村的产品运往B村.按计划要先到河岸M处接一批货物，然后一起运往B村，要使总路程最短，点M应选在河流$l$的什么位置？
② 在(1)的条件下，若在河岸M处接货后，需沿河岸行$a$千米至N处，再将货物运送至B村，要使总路程最短，则M，N两点应选在河流$l$的什么位置？

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; 解：​$(1) $​如图​$①，$​作点​$B$​关于河边所在直线的对称点​$B'，$​连接​$AB'$​交河边于点​$P，$​则此时​$P A + PB$​的值最小​$(2) ① $​如图​$②，$​作点​$P $​关于边​$BC$​所在直线的对称点​$P'，$​连接​$P'Q{交}BC$​于点​$R，$​连接​$PQ，$​​$PR$​此时​$\triangle PQR $​的周长最小，则点​$R $​即为所求② 如图③，分别作​$P，$​​$Q $​两点关于射线​$OB，$​​$OA$​的对称点​$C，$​​$D，$​连接​$CD$​分别交​$OA，$​​$OB$​于​$M，$​​$N$​两点，此时四边形​$PQMN$​的周长最小​$. $​则​$M，$​​$N$​两点即为所求​$(3) ① $​如图​$④，$​根据轴对称的性质和''两点之间线段最短''，得以河流​$l$​为对称轴，作点​$A$​关于河流​$l$​所在直线的对称点​$A'，$​连接​$A'B，$​交河流​$l$​于点​$M，$​则点​$M$​即为所作② 如图⑤，作法：​$(\mathrm {I}) $​过点​$A$​作​$AE// l，$​在射线​$AE$​上截取​$AA' = a$​​$(Ⅱ) $​作点​$B$​关于河流​$l$​所在直线的对称点​$B'，$​连接​$A'B'$​交河流​$l$​于点​$N；$​​$(Ⅲ)$​在河流​$l$​上点​$N$​的左侧截取​$MN = a，$​交河流​$l$​于点​$M，$​则​$M，$​​$N$​两点即为所作