折纸与证明
折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动,折纸大约起源于公元1世纪或2世纪时的中国,公元6世纪时传入日本,再经由日本传到全世界.折纸与自然科学结合在一起,不仅成为建筑学院的教具,还发展出了折纸几何学,成为现代几何学的一个分支.
【学习研究】
请阅读下面材料,填空、并解答下列问题:
学习了等腰三角形,我们知道等边对等角,即在一个三角形中,等边所对的角相等;反过来等角对等边,那么不相等的边(或角)所对的角(或边)之间的大小关系怎样呢?大边所对的角也大吗?
如图①,在$△ ABC$中,如果$AB＞AC$,那么我们可以将$△ ABC$折叠,使边$AC$落在$AB$上,点$C$落在$AB$上的点$D$处,折痕交$BC$于点$E$,即作$∠ BAC$的平分线$AE$,交$BC$于点$E$,在边$AB$上截$AD=AC$,连接$DE$,则可通过证明全等得到:
$∠ C=$①______;再由外角的性质得到②$\_\_\_\_\_\_＞∠ B$,所以$∠ C＞∠ B$.
这样,我们证明了在一个三角形中,大边所对的角也较大.从上面的过程可以看出,利用轴对称的性质,可以把研究角的问题与研究边的问题互相转化.
【类比迁移】
如图②,在$△ ABC$中,$∠ C=2∠ B$,$AE$平分$∠ BAC$,请用等式表示线段$AB$,$AC$,$CE$之间的数量关系,并证明.
【拓展应用】
如图③,对折长方形纸片$ABCD$,使$AD$与$BC$重合,得到折痕$EF$;把纸片展平,在$AD$上选一点$P$,沿$BP$折叠,使点$A$落在$EF$上的点$M$处;把纸片展平,连接$PM$,$BM$,延长$PM$与$BC$交于点$N$.求$∠ BME$的度数,判断$△ BNP$的形状,并证明.

$\angle ADE$ ; $\angle ADE$ ; 解：​$ [$​类比迁移​$] AB=AC+CE，$​证明如下：在​$AB$​上截取​$AD=AC，$​连接​$ DE$​∵​$AE $​平分​$∠BAC，$​∴​$∠DAE= ∠CAE$​在​$∆ADE$​和​$∆ACE$​中​$\begin {cases}{AD=AC}\\{∠DAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end {cases}$​∴​$∆ADE≌∆ACE(S AS)，$​∴​$DE=CE，$​​$∠ADE=∠C$​∵​$∠C=2∠B，$​​$∠ADE=∠B+ ∠DEB$​∴​$∠DEB=∠B，$​即​$DB=DE，$​∴​$DB= CE$​又​$AB=AD+DB，$​∴​$AB=AC+CE$​​$ [$​拓展应用​$] $​由题意得​$∠ABC=∠BAD=∠BMP=∠BEF= 90°，$​​$∠ABP=∠MBP，$​​$BM=BA，$​​$EF//BC，$​​$AE= BE=\frac 12\ \mathrm {A}B$​∴​$BE=\frac 12BM，$​即​$∠BME=30°，$​​$∆BNP $​是等边三角形，证明如下：∵​$EF//BC，$​∴​$∠MBN = ∠BME = 30°$​又​$∠MBE+ ∠BME=90°，$​∴​$∠MBE=90°−∠BME= 60°$​又​$∠MBE=∠ABP+∠MBP，$​∴​$∠MBP= \frac 12∠MBE=30°，$​即​$∠MBP=∠MBN$​又​$∠BMP= 90°，$​​$∠BMP+∠BMN=180°，$​∴​$∠BMN=180°− ∠BMP=90°，$​即​$∠BMN=∠BMP$​在​$∆BMP $​和​$ ∆BMN$​中​$\begin {cases}{∠BMP=∠BMN}\\{BM=BM}\\{∠MBP=∠MBN}\end {cases}$​∴​$∆BMP≌∆BMN (AS A)，$​∴​$BP=BN$​又​$∠P BN=∠MBP+ ∠MBN=60°，$​∴​$∆BNP $​是等边三角形