17. (2025·江苏南京模拟)如图，$∠ AOE = ∠ BOE = 15°$，$EF // OB$，$EC ⊥ OB$ 于点 C. 若 $EC=2$，则 $EF$ 的长为 （ ）

A. 5
B. 3.5
C. 3
D. 4

D

18. 如图，$∠ MON=30°$，点 $A_1,A_2,A_3······$ 在射线 $ON$ 上，点 $B_1,B_2,B_3······$ 在射线 $OM$ 上，$△ A_1B_1A_2,△ A_2B_2A_3,△ A_3B_3A_4······$ 均为等边三角形，从左起第 1 个等边三角形的边长记为 $a_1$，第 2 个等边三角形的边长记为 $a_2······$以此类推. 若 $OA_1=1$，则 $a_{2025}=$ ______.

$2^{2024}$

19. 如图，$△ ABE$，$△ ACD$都是等边三角形，且$B$，$E$，$C$三点在同一条直线上.
（1）求$∠ AED$的度数；
（2）若$M$，$N$分别是线段$BC$和$DE$的中点，连接$AM$，$MN$，$NA$，试判断$△ AMN$的形状，并说明理由.

解：​$(1)$​∵​$\triangle ABE$​和​$\triangle ACD$​都是等边三角形∴​$AB = AE，$​​$AC = AD，$​​$∠B = ∠BAE = ∠CAD = 60°$​∴​$∠BAE+∠CAE = ∠CAD+∠CAE，$​即​$∠BAC = ∠EAD$​在​$\triangle BAC$​和​$\triangle EAD$​中​$\begin {cases}AB = AE\\∠BAC=∠EAD\\AC = AD\end {cases}$​∴​$\triangle BAC≌\triangle EAD(S AS)$​∴​$∠B = ∠AED，$​​$BC = ED，$​即​$∠AED = 60°$​​$(2)\triangle AMN$​是等边三角形， 理由如下：由​$(1)$​得​$∠B = ∠BAE = ∠AED = 60°，$​​$BC = ED，$​​$AB = AE$​又​$M，$​​$N$​分别是线段​$BC$​和​$DE$​的中点∴​$BM=\frac 12BC，$​​$EN=\frac 12ED，$​即​$BM = EN$​在​$\triangle ABM$​和​$\triangle AEN$​中​$\begin {cases}AB = AE\\∠B=∠AEN\\BM = EN\end {cases}$​∴​$\triangle ABM≌\triangle AEN(S AS)$​∴​$AM = AN，$​​$∠BAM = ∠EAN$​∴​$∠BAM-∠EAM = ∠EAN-∠EAM，$​即​$∠BAE = ∠MAN，$​即​$∠MAN = 60°$​∴​$\triangle AMN$​是等边三角形

20. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$DC$ 是斜边 $AB$ 上的中线,$EF$ 过点 $C$ 且平行于 $AB$.若 $∠ BCF=35°$,则 $∠ ACD$ 的度数是（ ）
A. $35°$
B. $45°$
C. $55°$
D. $65°$


（第20题）
（第21题）

C

21. 新素养 几何直观 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$△ ABC$的角平分线,$CE$是$△ ABC$的中线,连接$DE$.若$AB=6$,则$DE$的长为______.

3

22. 如图，$△ ABC$ 的高 $BD$，$CE$ 相交于点 $O$，连接 $AO$，$DE$，$M$，$N$ 分别是 $BC$，$AO$ 的中点，连接 $MN$。求证：$MN$ 垂直平分 $DE$。

; 证明：连接​$ME，$​​$MD，$​​$NE，$​​$ND$​∵​$BD，$​​$CE$​是​$\triangle ABC$​的高∴​$∠BDC = ∠BDA = ∠BEC=∠AEC = 90°$​又​$M$​是​$BC$​的中点，​$N$​是​$AO$​的中点∴​$ME=\frac 12BC，$​​$MD=\frac 12BC，$​​$NE=\frac 12\ \mathrm {A}O，$​​$ND=\frac 12\ \mathrm {A}O$​即​$ME = MD，$​​$NE = ND$​∴​$MN$​垂直平分​$DE$​