9. (2024·四川眉山)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=6,BC=4$,分别以$A,B$两点为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧交于$E,F$两点,过$E,F$两点作直线交$AC$于点$D$,连接$BD$,则$△ BCD$的周长为 ( )
A. 7
B. 8
C. 10
D. 12

C

10. 新趋势 几何直观 如图,在方格纸中,每个小正方形的边长都为 1,A,B 是方格纸中的两个格点(即小正方形的顶点),连接 AB. 若要再找一个格点 C,使 AC = BC,则满足条件的格点 C 有______个.

5

11. 如图, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, $∠ A = 22.5°$, 斜边 $AB$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $D$, 点 $F$ 在 $AC$ 上, 点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上, $CE = CF$, 连接 $EF, BF, DE$. 请判断线段 $DE$ 和 $BF$ 之间的数量和位置关系, 并说明理由.

; 解：​$DE = BF，$​​$DE\perp BF，$​理由如下：连接​$BD，$​延长​$BF $​交​$DE$​于点​$G$​∵点​$D$​在线段​$AB$​的垂直平分线上∴​$AD = BD$​又​$∠A = 22.5°$​∴​$∠ABD = ∠A = 22.5°$​∵​$∠ACB = 90°，$​​$∠A+∠ACB+∠ABC = 180°$​∴​$∠ABC = 180°-∠A-∠ACB = 67.5°.$​∴​$∠CBD = ∠ABC-∠ABD = 45°$​∴​$\triangle BCD$​为等腰直角三角形∴​$BC = DC$​​$ $​又​$∠DCE+∠ACB = 180°$​∴​$∠DCE = 180°-∠ACB = 90°，$​即​$∠DCE = ∠BCF$​​$ $​在​$\triangle ECD$​和​$\triangle F CB$​中​$\begin {cases}CE = CF\\∠DCE=∠BCF\\DC = BC\end {cases}$​∴​$\triangle ECD≌\triangle F CB(S AS)$​∴​$DE = BF，$​​$∠CED = ∠CF B$​∵​$∠CF B+∠CBF = 90°$​∴​$∠CED+∠CBF = 90°$​∴​$∠BG D = 90°，$​即​$DE\perp BF.$​

12. 如图,在$△ ABC$中,$AB=6$,$AC=4$,$AD$平分$∠ BAC$,交$BC$于点$D$,$DE ⊥ AB$于点$E$,$BF ⊥ AC$于点$F$,$DE=2$,则$BF$的长为 （ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

C

13. 亮点原创·如图,在四边形 ABCD 中,
∠A=90°,∠C=50°,对角线 BD⊥CD,
P 是边 BC 上一动点,连接 DP.若
DP 的长的最小值等于 AD 的长,则
∠ADB=______.

$50^{\circ}$

14. 如图,在$△ ABC$中,$AB = AC,AD$是$△ ABC$的角平分线,过点$D$分别作$DE ⊥ AB,DF ⊥ AC$,垂足分别是$E,F$,则下列结论错误的是（ ）
A. $∠ ADC=90°$
B. $DE=DF$
C. $AD=BC$
D. $BD=CD$

(第14题)

(第15题)

C

15. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=2∠ A$,$∠ ACB$的平分线$CD$交$AB$于点$D$.若$AC=16$,$BC=9$,则$BD$的长为______.

7

16. 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,D 为 BC 的中点,DE⊥AB,垂足为 E,过点 B 作 BF//AC,交 DE 的延长线于点 F,连接 CF,AD,CF 交 AD 于点 G.
(1) 求证:$AD⊥CF$;
(2) 连接 AF,试判断$△ACF$的形状,并说明理由.

解：​$(1)$​由题意得​$∠ACB = 90°，$​​$AC = CB，$​​$CD = BD，$​​$BF// AC$​∴​$∠BAC = ∠ABC = 45°，$​​$∠ACB+∠CBF = 180°$​即​$∠CBF = ∠ACB = 90°$​∵​$DE\perp AB，$​∴​$∠BED = 90°$​∴​$∠BDE+∠ABC = 90°$​∴​$∠BDE = 90°-∠ABC = 45°$​ 同理，得​$∠BF D = ∠BDE = 45°$​∴​$\triangle BDF $​是等腰直角三角形，即​$BD = BF$​∴​$CD = BF$​在​$\triangle ACD$​和​$\triangle CBF $​中​$\begin {cases}AC = CB\\∠ACD=∠CBF\\CD = BF\end {cases}$​∴​$\triangle ACD≌\triangle CBF(S AS)$​∴​$∠CAD = ∠BCF$​又​$∠BCF+∠ACG = ∠ACB = 90°$​∴​$∠CAD+∠ACG = 90°$​又​$∠AGF=∠ACG+∠CAD$​∴​$∠AGF = 90°，$​即​$AD\perp CF$​​$(2)\triangle ACF $​是等腰三角形，理由如下：由​$(1)$​得​$\triangle ACD≌\triangle CBF，$​​$BD = BF$​∴​$AD = CF$​又​$DF\perp AB$​∴​$DE = FE，$​即​$AB$​垂直平分​$DF$​∴​$AD = AF，$​∴​$AF = CF$​又​$AD＞AC$​∴​$AF = CF＞AC，$​即​$\triangle ACF $​是等腰三角形