【例 1】如图，BD，CE 是△ABC 的高，M 为 BC 的中点.试说明点 B，C，D，E 在以点 M 为圆心的同一个圆上.
解:

如图,连接 ME,MD.

因为 BD, CE 均为 △ABC 的高, 所以△BEC 和△BDC 都是直角三角形.又因为M 为 BC 的中点,所以 ME=MD=MC=MB=$\frac{1}{2}$BC,
所以点 B,C,D,E 在以点 M 为圆心的同一个圆上.

变式训练
1.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，三个顶点$A,B,C$在$\odot O$上.求证:$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$AB$的中点是$\odot O$的圆心.

1. 证明：由题意可知 O 为圆心，OA = OB = OC，则∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，所以∠AOC = 180°−2∠OCA，∠BOC = 180°−2∠OCB。又因为∠ACB=90°，所以∠AOC+∠BOC=360°−2(∠OCA+∠OCB)=360°−2∠ACB=180°，所以点O在AB上。又OA=OB，所以O为AB的中点，所以Rt△ABC的斜边AB的中点是⊙O的圆心。

【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，AD=8 cm.
(1)若以点A为圆心，6 cm为半径作$\odot A$，判断点B，C，D与$\odot A$的位置关系.
(2)若作$\odot A$，使B，C，D三点中至少有一个点在$\odot A$内，且至少有一个点在$\odot A$外，求$\odot A$的半径r的取值范围.

解:
【规律方法】
已知点到圆心的距离d与半径r之间的数量关系，可以判断点与圆的位置关系；反过来，由点与圆的位置关系也可以确定d与r的数量关系.

(1) 点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外。
(2) 6 cm＜r＜10 cm.