17.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是边AB上一点(点D与点A,B不重合),连接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.
(1)求证:△ACD≌△BCE.
(2)判断AD与BE的数量关系,并证明你的结论.
(3)当AD=BF时,求∠BEF的度数.

17. (1)证明:由旋转知CD=CE,∠DCE=90°,
又因为∠ACB=90°,∠ACD=∠ACB-∠DCB,∠BCE=∠DCE-∠DCB,
所以∠ACD=∠BCE。
在△ACD与△BCE中,
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACD=∠BCE,\\CD=CE,\end{cases}$
所以△ACD≌△BCE(SAS)。
(2)解:AD=BE。证明如下:
由(1)可得,△ACD≌△BCE,
所以AD=BE。
(3)解:因为∠ACB=90°,AC=BC,
所以∠A=45°。
由(1)可知,∠CBE=∠A=45°。
因为AD=BF,AD=BE,
所以BE=BF,
所以∠BEF=∠BFE=$\frac{1}{2}$×(180°-∠CBE)=67.5°。

18.(13分)【阅读理解】
半角模型是指有公共顶点,锐角等于较大角的一半,且组成这个较大角的两边相等.通过旋转或截长补短,将角的倍分关系转化为角的相等关系,并进一步构成全等三角形,并用以解决线段关系、角度、面积等问题.
【初步探究】
如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,连接AE,AF,EF.若∠EAF=45°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,使点D与点B重合,得到△ABG.易证△AEF≌△AEG.
(1)根据以上信息,填空:
①∠EAG=°.
②线段BE,EF,DF之间满足的数量关系为.
【迁移探究】
(2)如图②,在正方形ABCD中,若点E在射线CB上,点F在射线DC上,∠EAF=45°,猜想线段BE,EF,DF之间的数量关系,并证明你的结论.
【拓展探索】
(3)如图③,已知正方形ABCD的边长为$3\sqrt{2}$,∠EAF=45°,连接BD分别交AE,AF于点M,N.若点M恰好为线段BD的一个三等分点,且BM＜DM,求线段MN的长.

18. 解:(1)由题意可知,△ADF≌△ABG,
所以GB=DF。
由△AEF≌△AEG,得∠EAG=∠EAF=45°,GE=FE。
因为GE=GB+BE=DF+BE,
所以EF=BE+DF。
故答案为:①45。
②EF=BE+DF。
(2)EF=DF-BE。证明如下:
如图,将AF绕点A顺时针旋转90°得到AG,连接BG,
则∠GAF=90°,AF=AG。
在正方形ABCD中,∠DAB=90°,AD=AB,
所以∠DAF=∠BAG。
在△ABG和△ADF中,
$\begin{cases}AD=AB,\\∠DAF=∠BAG,\\AF=AG,\end{cases}$
所以△ABG≌△ADF(SAS),
所以BG=DF,∠ABG=∠ADF=90°,
所以∠ABG+∠ABC=180°,
所以G,B,C三点在一条直线上。
因为∠GAF=90°,∠EAF=45°,
所以∠EAG=∠FAG-∠EAF=45°,
所以∠EAG=∠EAF。
在△AEG和△AEF中,
$\begin{cases}AG=AF,\\∠EAG=∠EAF,\\AE=AE,\end{cases}$
所以△AEG≌△AEF(SAS),
所以EF=GE=GB-BE=DF-BE。
(3)因为正方形ABCD的边长为$3\sqrt{2}$,所以BD=$\sqrt{BC^2+CD^2}$=6。
因为点M恰好为线段BD的一个三等分点,且BM＜DM,所以BM=2。
如图,将△ADN绕点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连接GM,
所以AN=AG,DN=BG,∠ABG=∠ADN=45°,∠DAN=∠BAG。
因为∠EAF=45°,
所以∠DAN+∠BAM=45°,
所以∠GAM=∠BAG+∠BAM=45°,
所以∠GAM=∠NAM。
因为AM=AM,
所以△GAM≌△NAM(SAS),
所以GM=NM。
因为∠ABG=∠ABM=45°,
所以∠GBM=90°,
所以$BG^2+BM^2=GM^2$,
所以$DN^2+BM^2=MN^2$。
设MN=y,因为BM=2,
所以DN=BD-BM-MN=6-2-y=4-y,
所以$(4-y)^2+2^2=y^2$,
解得$y=\frac{5}{2}$,
所以MN=$\frac{5}{2}$。