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例1 如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边的长可能是（
A.－5
B.4
C.7
D.8
B
）A.－5
B.4
C.7
D.8
答案
例1 B
解析
【分析】
首先观察数轴确定A、B两点表示的数，根据“点到原点的距离是该点对应数的绝对值”，得到三角形的两条边长；再利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围；最后结合选项，排除不符合范围和边长为负的选项，即可得到正确答案。
【解析】
解：由数轴可得，点A表示的数为-3，点B表示的数为4。
两点到原点的距离分别为：$\left|-3\right|=3$，$\left|4\right|=4$，即三角形的两边长分别为3和4。
设第三边长为$x$，根据三角形三边关系得：
$4-3 ＜ x ＜ 4+3$，即$1 ＜ x ＜7$。
结合选项分析：
A选项-5为负数，边长不能为负，排除；
B选项4满足$1＜4＜7$，符合要求；
C选项7等于两边之和，无法构成三角形，排除；
D选项8大于两边之和，无法构成三角形，排除。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用、绝对值的意义、三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，将数轴、绝对值和三角形三边关系结合考查，解题的核心是先准确求出三角形已知两边的长度，再根据三边关系确定第三边的取值范围，最后结合选项筛选即可，注意三角形边长为正数这一隐含条件。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴确定A、B两点表示的数，根据“点到原点的距离是该点对应数的绝对值”，得到三角形的两条边长；再利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围；最后结合选项，排除不符合范围和边长为负的选项，即可得到正确答案。
【解析】
解：由数轴可得，点A表示的数为-3，点B表示的数为4。
两点到原点的距离分别为：$\left|-3\right|=3$，$\left|4\right|=4$，即三角形的两边长分别为3和4。
设第三边长为$x$，根据三角形三边关系得：
$4-3 ＜ x ＜ 4+3$，即$1 ＜ x ＜7$。
结合选项分析：
A选项-5为负数，边长不能为负，排除；
B选项4满足$1＜4＜7$，符合要求；
C选项7等于两边之和，无法构成三角形，排除；
D选项8大于两边之和，无法构成三角形，排除。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用、绝对值的意义、三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，将数轴、绝对值和三角形三边关系结合考查，解题的核心是先准确求出三角形已知两边的长度，再根据三边关系确定第三边的取值范围，最后结合选项筛选即可，注意三角形边长为正数这一隐含条件。
【难度系数】
0.7
1.若$a,b$是等腰三角形$ABC$中两边的长，且满足$|a - 3| + (b - 7)^2 = 0$，则此三角形的周长是（
A.13
B.17
C.13或17
D.20
B
）A.13
B.17
C.13或17
D.20
答案
1. B
解析
【分析】
解题思路分三步：首先，根据绝对值和平方的非负性，两个非负数相加和为0时，每一项都为0，据此求出a、b的取值；其次，结合等腰三角形两腰相等的性质，分腰长为3和腰长为7两种情况讨论；最后，用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，舍去不符合条件的情况，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
首先根据非负数的性质求解a、b的值：
∵ $|a - 3| ≥ 0$，$(b - 7)^2 ≥ 0$，且$|a - 3| + (b - 7)^2 = 0$
∴ $a - 3 = 0$，$b - 7 = 0$
解得 $a = 3$，$b = 7$
接下来分情况讨论等腰三角形的边长：
情况1：若腰长为3，底边长为7，则三角形三边长为3、3、7
∵ $3 + 3 = 6 ＜ 7$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求
∴ 该情况无法构成三角形，舍去
情况2：若腰长为7，底边长为3，则三角形三边长为7、7、3
∵ $3 + 7 = 10 ＞ 7$，$7 + 7 ＞ 3$，满足三角形三边关系
∴ 该情况成立，三角形周长为 $7 + 7 + 3 = 17$
综上，此三角形的周长是17，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是易错题，综合考查了多个基础知识点，解题时容易忽略验证三角形三边关系，直接认为两种情况都成立误选C，牢记构成三角形的前提是满足三边关系是避错的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：首先，根据绝对值和平方的非负性，两个非负数相加和为0时，每一项都为0，据此求出a、b的取值；其次，结合等腰三角形两腰相等的性质，分腰长为3和腰长为7两种情况讨论；最后，用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，舍去不符合条件的情况，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
首先根据非负数的性质求解a、b的值：
∵ $|a - 3| ≥ 0$，$(b - 7)^2 ≥ 0$，且$|a - 3| + (b - 7)^2 = 0$
∴ $a - 3 = 0$，$b - 7 = 0$
解得 $a = 3$，$b = 7$
接下来分情况讨论等腰三角形的边长：
情况1：若腰长为3，底边长为7，则三角形三边长为3、3、7
∵ $3 + 3 = 6 ＜ 7$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求
∴ 该情况无法构成三角形，舍去
情况2：若腰长为7，底边长为3，则三角形三边长为7、7、3
∵ $3 + 7 = 10 ＞ 7$，$7 + 7 ＞ 3$，满足三角形三边关系
∴ 该情况成立，三角形周长为 $7 + 7 + 3 = 17$
综上，此三角形的周长是17，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是易错题，综合考查了多个基础知识点，解题时容易忽略验证三角形三边关系，直接认为两种情况都成立误选C，牢记构成三角形的前提是满足三边关系是避错的关键。
【难度系数】
0.7
2.若a,b,c是△ABC的三边的长，则化简|a+b−c|−|b−a−c|的结果是
2b−2c
.答案
2. 2b−2c
解析
【分析】
要化简含绝对值的代数式，首先需要判断绝对值内部式子的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号。本题可利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”分别判断两个绝对值内式子的正负：先判断$a+b-c$的正负，再判断$b-a-c$的正负，最后去绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$a+b＞c$，$a+c＞b$
因此$a+b-c＞0$，$b-a-c = b-(a+c) ＜ 0$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号计算：
$\begin{aligned}|a+b−c|−|b−a−c|&=(a+b-c) - [-(b-a-c)]\\&=a+b-c + b - a - c\\&=2b-2c\end{aligned}$
【答案】
$2b-2c$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练运用三角形三边关系判断绝对值内表达式的符号，再结合绝对值的性质化简计算，掌握好基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要化简含绝对值的代数式，首先需要判断绝对值内部式子的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号。本题可利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”分别判断两个绝对值内式子的正负：先判断$a+b-c$的正负，再判断$b-a-c$的正负，最后去绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$a+b＞c$，$a+c＞b$
因此$a+b-c＞0$，$b-a-c = b-(a+c) ＜ 0$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号计算：
$\begin{aligned}|a+b−c|−|b−a−c|&=(a+b-c) - [-(b-a-c)]\\&=a+b-c + b - a - c\\&=2b-2c\end{aligned}$
【答案】
$2b-2c$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练运用三角形三边关系判断绝对值内表达式的符号，再结合绝对值的性质化简计算，掌握好基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
例2 如图,在$△ ABC$中,CD是高,AE是中线.若$△ ABE$的面积是3,$AB=4.5$,则$CD=$.
反思归纳 三角形的中线等分对边且平分面积;三角形的高垂直于对边,利用等面积法计算高$CD$.
反思归纳 三角形的中线等分对边且平分面积;三角形的高垂直于对边,利用等面积法计算高$CD$.
答案
解：
∵ AE是△ABC的中线，
∴ BE=CE，
∴ $S_{△ ABC}=2S_{△ ABE}=2×3=6$。
∵ CD是△ABC中AB边上的高，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· CD$，
将$S_{△ ABC}=6$，$AB=4.5$代入得：
$\frac{1}{2}×4.5× CD=6$，
解得 $CD=\frac{8}{3}$。
$\frac{8}{3}$
∵ AE是△ABC的中线，
∴ BE=CE，
∴ $S_{△ ABC}=2S_{△ ABE}=2×3=6$。
∵ CD是△ABC中AB边上的高，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· CD$，
将$S_{△ ABC}=6$，$AB=4.5$代入得：
$\frac{1}{2}×4.5× CD=6$，
解得 $CD=\frac{8}{3}$。
$\frac{8}{3}$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：题目给出AE是三角形中线，根据三角形中线的性质，中线可将三角形分为两个等底同高、面积相等的小三角形，因此可先由△ABE的面积求出△ABC的总面积；接下来已知CD是AB边上的高，三角形面积可通过“$\frac{1}{2}$×底×高”计算，此时底AB的长度已知，总面积已求出，代入公式即可解出高CD的长度。
【解析】
解：
∵ AE是△ABC的中线，
∴ BE=CE，△ABE与△ACE等底同高，面积相等，
∴ $S_{△ ABC}=2S_{△ ABE}=2×3=6$。
∵ CD是△ABC中AB边上的高，
∴ 根据三角形面积公式可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· CD$，
将$S_{△ ABC}=6$，$AB=4.5$代入得：
$\frac{1}{2}×4.5× CD=6$，
解得 $CD=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
三角形中线的性质、三角形面积计算、等面积法
【点评】
本题考查三角形基础性质和面积公式的应用，解题关键是利用中线平分三角形面积的性质得到大三角形面积，再通过等面积法建立等式求解未知高，逻辑清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手：题目给出AE是三角形中线，根据三角形中线的性质，中线可将三角形分为两个等底同高、面积相等的小三角形，因此可先由△ABE的面积求出△ABC的总面积；接下来已知CD是AB边上的高，三角形面积可通过“$\frac{1}{2}$×底×高”计算，此时底AB的长度已知，总面积已求出，代入公式即可解出高CD的长度。
【解析】
解：
∵ AE是△ABC的中线，
∴ BE=CE，△ABE与△ACE等底同高，面积相等，
∴ $S_{△ ABC}=2S_{△ ABE}=2×3=6$。
∵ CD是△ABC中AB边上的高，
∴ 根据三角形面积公式可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· CD$，
将$S_{△ ABC}=6$，$AB=4.5$代入得：
$\frac{1}{2}×4.5× CD=6$，
解得 $CD=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
三角形中线的性质、三角形面积计算、等面积法
【点评】
本题考查三角形基础性质和面积公式的应用，解题关键是利用中线平分三角形面积的性质得到大三角形面积，再通过等面积法建立等式求解未知高，逻辑清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3.如图
,在△ABC中,CD是中线,CE是高,若BD=2,CE=2,则△ABC的面积是
,在△ABC中,CD是中线,CE是高,若BD=2,CE=2,则△ABC的面积是4
.答案
3. 4
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线会平分对边，由此可先求出底边AB的长度；再结合CE是AB边上的高，直接利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积。
【解析】
∵ CD是△ABC的中线，
∴ D为AB的中点，即AB = 2BD，
已知BD=2，
∴ AB = 2×2 = 4，
又
∵ CE是AB边上的高，CE=2，
∴ △ABC的面积$S=\frac{1}{2}×AB×CE=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积公式，三角形高的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质，准确找到三角形的底和对应高代入面积公式计算即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线会平分对边，由此可先求出底边AB的长度；再结合CE是AB边上的高，直接利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积。
【解析】
∵ CD是△ABC的中线，
∴ D为AB的中点，即AB = 2BD，
已知BD=2，
∴ AB = 2×2 = 4，
又
∵ CE是AB边上的高，CE=2，
∴ △ABC的面积$S=\frac{1}{2}×AB×CE=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积公式，三角形高的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质，准确找到三角形的底和对应高代入面积公式计算即可。
【难度系数】
0.9
例3 如图，在$△ ABC$中，AD平分$∠ BAC$，AE是高，若$∠ ADE=70°$，$∠ EAC=15°$，求$∠ B$的度数.
反思归纳 三角形内角和定理与外角的性质是求解与角有关问题的重要依据.
反思归纳 三角形内角和定理与外角的性质是求解与角有关问题的重要依据.
答案
解：
∵ AE是△ABC的高，
∴ AE⊥BC，即∠AED=90°。
在Rt△ADE中，∠DAE = 90° - ∠ADE = 90° - 70° = 20°。
∵ ∠EAC=15°，
∴ ∠DAC = ∠DAE + ∠EAC = 20° + 15° = 35°。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠DAC = 35°。
∵ ∠ADE是△ABD的外角，
∴ ∠ADE = ∠B + ∠BAD，
∴ ∠B = ∠ADE - ∠BAD = 70° - 35° = 35°。
∵ AE是△ABC的高，
∴ AE⊥BC，即∠AED=90°。
在Rt△ADE中，∠DAE = 90° - ∠ADE = 90° - 70° = 20°。
∵ ∠EAC=15°，
∴ ∠DAC = ∠DAE + ∠EAC = 20° + 15° = 35°。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠DAC = 35°。
∵ ∠ADE是△ABD的外角，
∴ ∠ADE = ∠B + ∠BAD，
∴ ∠B = ∠ADE - ∠BAD = 70° - 35° = 35°。
解析
【分析】
解题时可从已知条件逐步推导：首先利用AE是三角形高的性质得到直角，在直角三角形ADE中求出∠DAE的度数；再结合已知的∠EAC计算出∠DAC，根据AD是角平分线的性质得到∠BAD的度数；最后利用三角形外角的性质，结合∠ADE的度数即可求出∠B的大小。
【解析】
∵ AE是△ABC的高，
∴ AE⊥BC，即∠AED=90°。
在Rt△ADE中，∠DAE = 90° - ∠ADE = 90° - 70° = 20°。
∵ ∠EAC=15°，
∴ ∠DAC = ∠DAE + ∠EAC = 20° + 15° = 35°。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠DAC = 35°。
∵ ∠ADE是△ABD的外角，
∴ ∠ADE = ∠B + ∠BAD，
∴ ∠B = ∠ADE - ∠BAD = 70° - 35° = 35°。
【答案】
$\boldsymbol{35°}$
【知识点】
三角形高的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的常规题型，解题关键是理清图中各角之间的数量关系，熟练掌握三角形的基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时可从已知条件逐步推导：首先利用AE是三角形高的性质得到直角，在直角三角形ADE中求出∠DAE的度数；再结合已知的∠EAC计算出∠DAC，根据AD是角平分线的性质得到∠BAD的度数；最后利用三角形外角的性质，结合∠ADE的度数即可求出∠B的大小。
【解析】
∵ AE是△ABC的高，
∴ AE⊥BC，即∠AED=90°。
在Rt△ADE中，∠DAE = 90° - ∠ADE = 90° - 70° = 20°。
∵ ∠EAC=15°，
∴ ∠DAC = ∠DAE + ∠EAC = 20° + 15° = 35°。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠DAC = 35°。
∵ ∠ADE是△ABD的外角，
∴ ∠ADE = ∠B + ∠BAD，
∴ ∠B = ∠ADE - ∠BAD = 70° - 35° = 35°。
【答案】
$\boldsymbol{35°}$
【知识点】
三角形高的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的常规题型，解题关键是理清图中各角之间的数量关系，熟练掌握三角形的基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
4.如图，在$△ ABC$中，AD是$∠ BAC$的平分线，$CE⊥ AD$交AB于E，若$∠ B=50°$，$∠ DAC=30°$，则$∠ ECB=$
10°
。答案
4. 10°
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件推导相关角的度数：首先根据角平分线的定义，由∠DAC=30°可求出∠BAC的度数；再结合CE⊥AD的垂直关系，在直角三角形中求出∠ACE的度数；接下来利用三角形内角和定理，结合已知∠B=50°和已求的∠BAC的度数，算出∠ACB的大小；最后根据∠ECB=∠ACB-∠ACE的和差关系，代入数值即可得到结果。
【解析】
解：设AD与CE的交点为F。
∵AD是∠BAC的平分线，∠DAC=30°，
∴∠BAC=2∠DAC=60°，
∵CE⊥AD，
∴∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠ACE=90°-∠DAC=90°-30°=60°，
在△ABC中，∠B=50°，∠BAC=60°，
根据三角形内角和为180°可得：
∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-60°=70°，
∴∠ECB=∠ACB-∠ACE=70°-60°=10°。
【答案】
10°
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于角的计算基础题型，解题核心是理清各个角之间的数量关系，结合相关性质逐步推导即可得出答案，考查基础的几何运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件推导相关角的度数：首先根据角平分线的定义，由∠DAC=30°可求出∠BAC的度数；再结合CE⊥AD的垂直关系，在直角三角形中求出∠ACE的度数；接下来利用三角形内角和定理，结合已知∠B=50°和已求的∠BAC的度数，算出∠ACB的大小；最后根据∠ECB=∠ACB-∠ACE的和差关系，代入数值即可得到结果。
【解析】
解：设AD与CE的交点为F。
∵AD是∠BAC的平分线，∠DAC=30°，
∴∠BAC=2∠DAC=60°，
∵CE⊥AD，
∴∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠ACE=90°-∠DAC=90°-30°=60°，
在△ABC中，∠B=50°，∠BAC=60°，
根据三角形内角和为180°可得：
∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-60°=70°，
∴∠ECB=∠ACB-∠ACE=70°-60°=10°。
【答案】
10°
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于角的计算基础题型，解题核心是理清各个角之间的数量关系，结合相关性质逐步推导即可得出答案，考查基础的几何运算能力。
【难度系数】
0.7
5.如图,已知将一块直角三角板 DEF 放置在△ABC上,使得该三角板的两条直角边 DE,DF 恰好分别经过点 B,C.若∠ACD=20°,∠ABD=15°,则∠BAC的度数是
55°
.答案
5. 55°
解析
【分析】
要计算∠BAC的度数，可先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC+∠ACB的度数。首先由直角三角板的性质得∠D=90°，在△DBC中可先求出∠DBC+∠DCB的度数，再结合已知的∠ABD、∠ACD的度数，即可得到∠ABC+∠ACB的和，最后用△ABC的内角和180°减去该和就能求出∠BAC。
【解析】
解：
∵△DEF是直角三角板，∠EDF为直角，
∴∠D=90°，
在△DBC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠DBC + ∠DCB = 180° - ∠D = 180° - 90° = 90°，
∵∠ABC = ∠ABD + ∠DBC，∠ACB = ∠ACD + ∠DCB，
∴∠ABC + ∠ACB = (∠ABD + ∠DBC) + (∠ACD + ∠DCB)
= ∠ABD + ∠ACD + (∠DBC + ∠DCB)，
代入∠ABD=15°，∠ACD=20°，∠DBC+∠DCB=90°，得：
∠ABC + ∠ACB = 15° + 20° + 90° = 125°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BAC = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 125° = 55°。
【答案】
55°
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题属于三角形内角和的基础应用题型，解题时无需单独求出∠DBC、∠DCB的度数，利用整体代入的思想计算∠ABC与∠ACB的和，可简化计算过程，降低出错率。
【难度系数】
0.7
要计算∠BAC的度数，可先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC+∠ACB的度数。首先由直角三角板的性质得∠D=90°，在△DBC中可先求出∠DBC+∠DCB的度数，再结合已知的∠ABD、∠ACD的度数，即可得到∠ABC+∠ACB的和，最后用△ABC的内角和180°减去该和就能求出∠BAC。
【解析】
解：
∵△DEF是直角三角板，∠EDF为直角，
∴∠D=90°，
在△DBC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠DBC + ∠DCB = 180° - ∠D = 180° - 90° = 90°，
∵∠ABC = ∠ABD + ∠DBC，∠ACB = ∠ACD + ∠DCB，
∴∠ABC + ∠ACB = (∠ABD + ∠DBC) + (∠ACD + ∠DCB)
= ∠ABD + ∠ACD + (∠DBC + ∠DCB)，
代入∠ABD=15°，∠ACD=20°，∠DBC+∠DCB=90°，得：
∠ABC + ∠ACB = 15° + 20° + 90° = 125°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BAC = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 125° = 55°。
【答案】
55°
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题属于三角形内角和的基础应用题型，解题时无需单独求出∠DBC、∠DCB的度数，利用整体代入的思想计算∠ABC与∠ACB的和，可简化计算过程，降低出错率。
【难度系数】
0.7
