6.化简$\frac{4}{x+2} + x - 2$的结果是（）

A.1
B.$\frac{x^2}{x^2 -4}$
C.$\frac{x}{x+2}$
D.$\frac{x^2}{x+2}$

6. D

【分析】
本题是分式与整式的加减化简题，解题思路如下：首先明确异分母分式相加减需要先通分，转化为同分母分式后再计算。第一步把整式$x-2$看作分母为1的式子，确定两个项的最简公分母为$x+2$；第二步利用分式的基本性质将$x-2$通分为分母是$x+2$的分式；第三步对分子进行运算，用平方差公式展开后合并同类项，即可得到最简结果，再对应选项判断即可。
【解析】
解：$\frac{4}{x+2} + x - 2$
$=\frac{4}{x+2} + \frac{(x-2)(x+2)}{x+2}$
$=\frac{4}{x+2} + \frac{x^2 - 4}{x+2}$
$=\frac{4 + x^2 - 4}{x+2}$
$=\frac{x^2}{x+2}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、通分
【点评】
本题属于基础运算常考题，主要考查分式与整式的加减计算，解题关键是将整式视为分母为1的代数式完成通分，计算过程中要注意平方差公式的正确应用，合并同类项时避免计算错误。
【难度系数】
0.8

7.若$a^2 - 2a - 15 = 0$,则代数式$(a - \dfrac{4a - 4}{a}) · \dfrac{a^2}{a - 2}$的值是.

7. 15

【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题思路如下：首先优先化简给定的代数式，先对括号内的分式做通分计算，将分子因式分解后，再和括号外的分式相乘约分，得到最简结果；最后观察最简结果和已知方程的关联，用整体代入的方法计算，不需要单独求解a的取值，简化计算过程。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}(a - \dfrac{4a - 4}{a}) · \dfrac{a^2}{a - 2}&=(\dfrac{a^2}{a} - \dfrac{4a - 4}{a}) · \dfrac{a^2}{a - 2}\\&=\dfrac{a^2 - 4a + 4}{a} · \dfrac{a^2}{a - 2}\\&=\dfrac{(a - 2)^2}{a} · \dfrac{a^2}{a - 2}\\&=a(a - 2)\\&=a^2 - 2a\end{aligned}$
已知$a^2 - 2a - 15 = 0$，移项可得$a^2 - 2a = 15$，因此原式的值为15。
【答案】
15
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型常规题，核心解题原则是先化简再求值，能规避直接求解未知数的繁琐计算，掌握分式运算规则、常用因式分解方法和整体代入思想是快速解对这类题的关键。
【难度系数】
0.7

8. 计算：
(1)$(\dfrac{5a}{a^2 - 1} + \dfrac{2}{1 - a}) ÷ \dfrac{3a - 2}{a + 1}$；
(2)$(2025·遵义模拟)(x - 1 - \dfrac{3}{x + 1}) ÷ $$$。

(1)解:原式=$\frac{3a-2}{(a+1)(a-1)}·\frac{a+1}{3a-2}=\frac{1}{a-1}$
(2)解:原式=$\frac{(x+2)(x-2)}{x+1}·\frac{x+1}{(x-2)^2}=\frac{x+2}{x-2}$

【分析】
这两道题属于分式的混合运算题，解题遵循“先算括号内，再算括号外，除法转乘法，最后约分化简”的思路：
1. 对于第(1)题：首先观察括号内两个分式的分母，$a^2-1$可因式分解为$(a+1)(a-1)$，$1-a$与$a-1$互为相反数，先将$\frac{2}{1-a}$变形为$-\frac{2}{a-1}$，再找最简公分母$(a+1)(a-1)$通分，合并分子后将除法转化为乘以除数的倒数，约去公因式即可得到结果。
2. 对于第(2)题：先处理括号内的运算，将整式$x-1$看作分母为1的分式，和$\frac{3}{x+1}$通分，通分后分子用平方差公式展开合并，再对分子因式分解；除数的分子是完全平方式，先因式分解，再将除法转化为乘法，约去公因式得到最简结果。
【解析】
(1) 先化简括号内的分式，再计算除法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=( \frac{5a}{(a+1)(a-1)} - \frac{2}{a-1} ) ÷ \frac{3a-2}{a+1} \\&=\frac{5a - 2(a+1)}{(a+1)(a-1)} · \frac{a+1}{3a-2} \\&=\frac{3a-2}{(a+1)(a-1)} · \frac{a+1}{3a-2} \\&=\frac{1}{a-1}\end{aligned}$
(2) 先通分计算括号内的减法，再计算除法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=( \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} - \frac{3}{x+1} ) ÷ \frac{x^2-4x+4}{x+1} \\&=\frac{x^2-4}{x+1} · \frac{x+1}{(x-2)^2} \\&=\frac{(x+2)(x-2)}{x+1} · \frac{x+1}{(x-2)^2} \\&=\frac{x+2}{x-2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{1}{a-1}}$；(2) $\boxed{\dfrac{x+2}{x-2}}$
【知识点】
1. 分式混合运算
2. 因式分解
3. 异分母分式加减
【点评】
这两道题是分式运算的常规基础题型，主要考察分式运算的顺序、通分约分的方法以及因式分解的应用，解题时要注意互为相反数的分母的符号处理，熟练掌握平方差、完全平方等因式分解方法是快速约分化简的关键，计算时要注意隐含的分母不为0的条件。
【难度系数】
0.8

9. 先化简,再求值: $( \dfrac{a^2 -4}{a^2 -4a +4} - \dfrac{a}{a-2} ) ÷ \dfrac{a^2 +2a}{a-2}$,且$a$的值满足$a^2 +2a -8=0$.

9. 解:原式=$(\frac{a+2}{a-2}-\frac{a}{a-2})·\frac{a-2}{a(a+2)}=\frac{2}{a(a+2)}=\frac{2}{a^2+2a}$ $\because a^2+2a-8=0,\therefore a^2+2a=8.$ 当$a^2+2a=8$时,原式=$\frac{2}{a^2+2a}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$

【分析】
拿到这道分式化简求值题，可按三步思考：第一步先处理括号内的运算，先对第一个分式的分子、分母因式分解，约分后括号内变为同分母分式减法，按同分母分式减法法则计算；第二步将除法运算转化为乘法运算，对后续分式因式分解后约分，得到最简结果；第三步观察已知方程，无需单独求解a的值，可直接得到a²+2a的取值，整体代入最简式即可算出结果，既简化计算，也能避免讨论分式有意义的a的取值限制。
【解析】
解：先对原式中各分式因式分解：
原式=$[ \dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2} - \dfrac{a}{a-2} ] ÷ \dfrac{a(a+2)}{a-2}$
约分后将除法转化为乘法：
=$( \dfrac{a+2}{a-2} - \dfrac{a}{a-2} ) · \dfrac{a-2}{a(a+2)}$
计算括号内同分母分式的减法：
=$\dfrac{a+2 - a}{a-2} · \dfrac{a-2}{a(a+2)}$
=$\dfrac{2}{a-2} · \dfrac{a-2}{a(a+2)}$
约分化为最简形式：
=$\dfrac{2}{a(a+2)} = \dfrac{2}{a^2 + 2a}$
由已知$a^2 + 2a - 8 = 0$，移项得$a^2 + 2a = 8$，将其代入最简式：
原式=$\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题考查分式的混合运算与代数式求值，熟练掌握分式运算法则、因式分解方法是解题基础，运用整体代入思想可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.7

10.某种芯片每个探针单元的面积为 $0.00000164\ \mathrm{cm}^2$，0.00000164用科学记数法可表示为 ______________________。

10. $1.64×10^{-6}$

【分析】
本题要求用科学记数法表示小于1的正数，解题思路如下：首先明确科学记数法表示较小数的形式为$a × 10^{-n}$，其中需满足$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数；第一步先确定$a$的值，将原数的小数点向右移动，直到得到的数符合$1 ≤ a ＜ 10$的要求；第二步确定$n$的值，$n$的大小等于小数点向右移动的位数，也等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数，最后组合得到结果即可。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$，其中$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数。
1. 确定$a$的值：将$0.00000164$的小数点向右移动6位，得到$1.64$，满足$1 ≤ 1.64 ＜ 10$，因此$a=1.64$。
2. 确定$n$的值：小数点一共向右移动了6位，因此$n=6$，对应10的指数为$-6$。
综上，$0.00000164 = 1.64 × 10^{-6}$。
【答案】
$1.64× 10^{-6}$
【知识点】
科学记数法表示较小数
【点评】
本题是基础题型，核心考查科学记数法的运用，解题关键是准确掌握$a$的取值要求和$n$的确定方法，只要熟记规则、细心数清小数点移动的位数，就不会出错。
【难度系数】
0.85

11. 计算：$|-4| - (\dfrac{1}{2})^{-2} + (π - 3.14)^0 =$ 。

11. 1

【分析】
本题考查实数的基础混合运算，解题时可先拆分式子分别计算每一项，再按从左到右的顺序加减即可：第一步先计算绝对值，第二步计算负整数指数幂，第三步计算零指数幂，最后代入原式做加减运算得到结果。
【解析】
分别计算原式中的三个项：
1. 绝对值运算：$\vert -4\vert = 4$；
2. 负整数指数幂运算：根据$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，可得$(\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^2}=4$；
3. 零指数幂运算：根据非零数的0次幂等于1，且$π\approx3.14159≠3.14$，即底数$π-3.14≠0$，可得$(π-3.14)^0=1$。
将上述结果代入原式计算：
$\vert -4\vert - (\frac{1}{2})^{-2} + (π - 3.14)^0 = 4 - 4 + 1 = 1$
【答案】
1
【知识点】
绝对值的运算；负整数指数幂；零指数幂
【点评】
本题是基础运算类题型，核心考查三类常见实数运算的性质，只要准确掌握相关运算规则就能快速求解，是实数运算模块的常考题型。
【难度系数】
0.8

12. 计算：$( \frac{y^2}{4x} )^2 · 9xy^{-2} =$ .

12. $\frac{9y^2}{16x}$

【分析】
这是一道包含分式乘方、负整数指数幂和分式乘法的运算题，解题遵循“先乘方、再乘除、最后化简”的顺序：第一步先根据分式乘方法则，将分式的分子、分母分别乘方算出乘方的结果；第二步把负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式；第三步按照分式乘法规则计算乘积，最后约去分子分母的公因式得到最简结果。
【解析】
解：先计算乘方运算：
$( \frac{y^2}{4x} )^2 = \frac{(y^2)^2}{(4x)^2} = \frac{y^4}{16x^2}$
再将负整数指数幂转为正指数幂：$y^{-2}=\frac{1}{y^2}$
接着进行乘法运算：
原式$=\frac{y^4}{16x^2} · 9x · \frac{1}{y^2}$
$=\frac{9xy^4}{16x^2y^2}$
约去分子分母的公因式$xy^2$，得：
$=\frac{9y^2}{16x}$
【答案】
$\frac{9y^2}{16x}$
【知识点】
1.分式乘方运算
2.负整数指数幂
3.分式约分
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查幂的运算法则和分式的化简能力，运算时严格遵循运算顺序，注意负指数幂的转换规则，及时约分能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8

13.若关于$x$的分式方程$\frac{x}{x-1} - 2 = \frac{3m}{2x-2}$的解为正数，则$m$的取值范围为。

13. $m＜\frac{4}{3}且m≠\frac{2}{3}$

【分析】
要解决这个问题，第一步需要先将分式方程转化为整式方程，求出用含m的代数式表示的方程的解；第二步根据“解为正数”的条件列不等式求出m的初步范围；第三步切记分式方程分母不能为0，要排除增根对应的m值，最终得到m的完整取值范围。
【解析】
首先对原分式方程去分母，注意分母不为0，即$x≠1$：
原方程$\frac{x}{x-1} - 2 = \frac{3m}{2x-2}$可变形为$\frac{x}{x-1} - 2 = \frac{3m}{2(x-1)}$，
两边同时乘以$2(x-1)$得：$2x - 4(x-1) = 3m$，
展开并整理得：$2x - 4x + 4 = 3m$，
合并同类项得：$-2x = 3m - 4$，
解得：$x = \frac{4 - 3m}{2}$。
∵ 方程的解为正数，
∴ $x＞0$，即$\frac{4 - 3m}{2} ＞ 0$，
解得：$4 - 3m ＞ 0$，$m ＜ \frac{4}{3}$。
又
∵ 分母不为0，即$x ≠ 1$，
∴ $\frac{4 - 3m}{2} ≠ 1$，
解得：$4 - 3m ≠ 2$，$m ≠ \frac{2}{3}$。
综上，m的取值范围是$m ＜ \frac{4}{3}$且$m ≠ \frac{2}{3}$。
【答案】
$m＜\frac{4}{3}且m≠\frac{2}{3}$
【知识点】
分式方程的解法；解一元一次不等式；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的典型考题，解题时容易忽略分式分母不为零的隐含条件，导致漏掉$m≠\frac{2}{3}$的限制，求解时要先明确未知数的隐含限制，再结合题干要求推导参数范围。
【难度系数】
0.7

14. 甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前4天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是天.

14. 10

【分析】
这是典型的工程问题，解题时可先将总工作量设为单位“1”。我们可以设甲计划完成此项工作的天数为x天，因为甲乙工效相同，所以两人的工作效率均为$\frac{1}{x}$。接下来梳理工作过程：原计划x天完成，实际提前4天，因此实际总用时为$(x-4)$天；其中前2天只有甲单独工作，剩余$(x-4-2)$天是甲乙两人合作，总工作量等于各段工作量之和，根据这个等量关系即可列方程求解。
【解析】
解：设甲计划完成此项工作的天数是$x$天，将总工作量看作单位“1”，则甲、乙的工作效率均为$\frac{1}{x}$。
由题意可知，实际完成工作用时$(x-4)$天，其中甲单独工作2天，甲乙合作的天数为$(x-4-2)=(x-6)$天。
根据总工作量为1列方程：
$2×\frac{1}{x} + (x-6)×(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}) = 1$
方程两边同乘$x$去分母得：
$2 + 2(x-6) = x$
展开并整理得：
$2 + 2x -12 = x$
$x = 10$
检验：当$x=10$时，$x≠0$，且符合实际工作的意义，所以$x=10$是原方程的解。
【答案】
10
【知识点】
工程问题、分式方程的应用、工作效率计算
【点评】
本题属于工程类常规应用题，解题的核心是准确拆分工作阶段，理清每个阶段的工作人数、工作时间，结合总工作量为1的隐含条件构建方程，求解后注意验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7

15.为落实节约用水的政策,某旅游景点进行设施改造,将手拧水龙头全部换成感应水龙头.
已知该景点设施改造后,平均每天用水量是原来的一半,20吨水可以比原来多用5天.该景点在设施改造后平均每天用水吨.

15. 2

【分析】
这是分式方程的实际应用题，解题思路如下：首先明确所求量为改造后日均用水量，优先设其为未知数；其次找准核心等量关系：20吨水改造后使用的天数减去改造前使用的天数等于5天；再结合“改造后日均用水量是原来的一半”表示出改造前的日均用水量，根据“天数=总用水量÷日均用水量”分别表示出改造前后20吨水的使用天数，列分式方程求解；最后注意检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设该景点设施改造后平均每天用水$x$吨，则改造前平均每天用水$2x$吨。
根据题意列方程：
$\frac{20}{x} - \frac{20}{2x} = 5$
化简得：
$\frac{20}{x} - \frac{10}{x} = 5$
$\frac{10}{x}=5$
解得$x=2$
检验：当$x=2$时，分母$2x=4≠0$，且日均用水量为2吨符合实际意义，因此$x=2$是原方程的解。
【答案】
2
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用类题型，解题关键是准确提取题干中的等量关系列方程，求解后必须检验分式方程的根是否符合实际场景，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7

16.【新中考·新定义型阅读理解题】如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和睦分式”.
(1)下列分式：①$\frac{x-1}{x^2+1}$；②$\frac{x-2b}{a^2-b^2}$；③$\frac{x+y}{x^2-y^2}$；④$\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$. 其中是“和睦分式”的是（填序号）.
(2)若a为正整数，且$\frac{x+1}{x^2+ax+4}$为“和睦分式”，请直接写出a的值：.
(3)已知整式：①$m^2-n^2$；②$m^2+2mn+n^2$；③$m-n$. 从其中任意选择两个分别作为分子和分母构造分式，要求构造的分式是“和睦分式”，直接写出所有的结果：.

(1). ② (2). 4 (3). $\frac{m-n}{m^2+2mn+n^2}$，$\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$

【分析】
解题的核心是先准确把握“和睦分式”的两个判定条件：1. 分子或分母至少有一个可以因式分解；2. 分式不可约分（即分子、分母没有公因式）。解题时先对涉及的整式做因式分解，再对照两个条件逐一验证即可：(1)直接对4个分式的分子、分母因式分解后判断；(2)先确定分子无法因式分解，因此只需保证分母可因式分解且和分子无公因式，结合a为正整数用十字相乘法分析即可；(3)先将三个整式全部因式分解，再两两组合判断是否满足两个条件。
【解析】
(1)逐个判断4个分式：
①$\frac{x-1}{x^2+1}$：分子、分母均无法因式分解，不符合“和睦分式”定义，排除；
②$\frac{x-2b}{a^2-b^2}$：分母$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$可因式分解，且分子$x-2b$与分母无公因式，无法约分，符合定义；
③$\frac{x+y}{x^2-y^2}$：分母$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，分子分母有公因式$x+y$，可约分，不符合定义，排除；
④$\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$：分子$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，分子分母有公因式$a+b$，可约分，不符合定义，排除。
(2)分子$x+1$无法因式分解，要使分式为“和睦分式”，需满足：分母$x^2+ax+4$可因式分解，且分解后不含因式$x+1$。
a为正整数，用十字相乘法分解$x^2+ax+4$：
若分解为$(x+2)(x+2)$，则$a=2+2=4$，此时分母为$(x+2)^2$，与分子$x+1$无公因式，符合要求；
若分解为$(x+1)(x+4)$，则$a=1+4=5$，此时分母含因式$x+1$，可与分子约分，不符合要求；
负数因数分解得到的a为负，不符合a为正整数的要求，故a=4。
(3)先对三个整式因式分解：
①$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$；②$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$；③$m-n$。
两两组合分析：
选①和②：分子分母均含公因式$m+n$，可约分，不符合；
选①和③：分子分母均含公因式$m-n$，可约分，不符合；
选②和③：②可因式分解，且②与③无公因式，无法约分，符合要求，可构造两个分式：$\frac{m-n}{m^2+2mn+n^2}$、$\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$。
【答案】
(1) ②；(2) 4；(3) $\frac{m-n}{m^2+2mn+n^2}$，$\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$
【知识点】
因式分解，分式的约分，新定义理解
【点评】
本题属于新定义类阅读理解题，解题的关键是准确解读“和睦分式”的两个判定条件，结合因式分解、分式约分的基础知识逐一验证即可，注重对学生信息提取能力和基础运算能力的考察。
【难度系数】
0.7