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(人教九上P₈₇综合与实践改编)【项目式学习】
项目主题:高铁建设与运营中的数学挑战
项目背景:随着中国经济的快速发展,高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区.假设某城市计划建设一条新的高铁线路,以缩短与邻近城市的旅行时间.数学小组的同学在查阅相关资料的情况下,开展了相关探究.
素材一:为了保证安全,高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止,都需要一定的时间,假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中,列车速度随时间变化的关系为:$v = v_0 + at$,其中$v$是最终速度,$v_0$是初始速度,$a$是加速度(或减速度),$t$是时间.
素材二:列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离,已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同,均为$d$千米,时间也相同,均为$t$秒.
素材三:匀加速(即加速度不变)或匀减速过程中,在单向行驶时,路程与运动时间的关系为:$s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$,其中:$s$是路程,$v_0$是初始速度,$a$是加速度(或减速度),$t$是时间.
任务一:理解与计算
(1)如果高铁列车的最高速度$v = 360$千米/时,加速度$a = 0.5$米/秒²,则从静止加速到最高速度所需的时间$t =$
(2)在(1)的条件下,列车从静止加速到最高速度所需的最小路程$d =$
任务二:应用与推理
(3)在(1)的条件下,假设高铁线路全程$x$千米中,除去两端的加减速路程$d$,列车以最高速度行驶的距离为$x - 2d$,请求出列车全程行驶的时间$T$.(用含$x$的表达式表示,单位:时)
任务三:设计与分析
(4)现有一列高铁距离下一站点3千米,正以180千米/时的速度驶来,列车准备进站减速,若减速度$a = -0.5$米/秒².请求出高铁减速至停止需要滑行多长距离,并判断该列车是否可以在站点之前完成减速停下,结合实际,说一说高铁进站减速设计需要考量哪些因素.
项目主题:高铁建设与运营中的数学挑战
项目背景:随着中国经济的快速发展,高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区.假设某城市计划建设一条新的高铁线路,以缩短与邻近城市的旅行时间.数学小组的同学在查阅相关资料的情况下,开展了相关探究.
素材一:为了保证安全,高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止,都需要一定的时间,假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中,列车速度随时间变化的关系为:$v = v_0 + at$,其中$v$是最终速度,$v_0$是初始速度,$a$是加速度(或减速度),$t$是时间.
素材二:列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离,已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同,均为$d$千米,时间也相同,均为$t$秒.
素材三:匀加速(即加速度不变)或匀减速过程中,在单向行驶时,路程与运动时间的关系为:$s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$,其中:$s$是路程,$v_0$是初始速度,$a$是加速度(或减速度),$t$是时间.
任务一:理解与计算
(1)如果高铁列车的最高速度$v = 360$千米/时,加速度$a = 0.5$米/秒²,则从静止加速到最高速度所需的时间$t =$
200
秒.(2)在(1)的条件下,列车从静止加速到最高速度所需的最小路程$d =$
10
千米.任务二:应用与推理
(3)在(1)的条件下,假设高铁线路全程$x$千米中,除去两端的加减速路程$d$,列车以最高速度行驶的距离为$x - 2d$,请求出列车全程行驶的时间$T$.(用含$x$的表达式表示,单位:时)
任务三:设计与分析
(4)现有一列高铁距离下一站点3千米,正以180千米/时的速度驶来,列车准备进站减速,若减速度$a = -0.5$米/秒².请求出高铁减速至停止需要滑行多长距离,并判断该列车是否可以在站点之前完成减速停下,结合实际,说一说高铁进站减速设计需要考量哪些因素.
答案
1. 200
2. 10
3.
∵加速和减速时间都是t秒且加减速路程都是d千米，
∴加速和减速的总时间为2t = 400 秒 = $\frac{1}{9}$时.
∴匀速行驶的时间为$(T-\frac{1}{9})$时,匀速行驶的路程为$(x-20)$千米,速度为 360 千米/时.
∴$T-\frac{1}{9}=\frac{x-20}{360}.\therefore T=\frac{x}{360}+\frac{1}{18}$.
∴列车全程行驶的时间 $T=\frac{x}{360}+\frac{1}{18}$.
4.
∵v=0,$v_0$=180 千米/时 =50 米/秒,$a = -0.5$ 米/秒²,
∴0 = 50 - 0.5t. 解得 t = 100.
∴$s=v_0 t+\frac{1}{2}at^2=50×100-\frac{1}{2}×0.5×100^2=2\ 500$.
∵2 500 米 =2.5 千米,
∴高铁减速至停止需要滑行 2.5 千米.
∵3 千米＞2.5 千米,
∴列车可以在站点之前完成减速停下.
进站减速需要考量:①优先保障乘客舒适度,日常进站采用较小的减速度;②根据列车行驶速度预留足够长的减速区段;③轨道上坡、下坡、弯道会改变制动距离;④雨雪天气钢轨摩擦力下降,必须更早启动减速;⑤列车载客重量,载重越大刹车距离越长;⑥ 提前规划减速起点,临近站台阶段低速行驶.
2. 10
3.
∵加速和减速时间都是t秒且加减速路程都是d千米，
∴加速和减速的总时间为2t = 400 秒 = $\frac{1}{9}$时.
∴匀速行驶的时间为$(T-\frac{1}{9})$时,匀速行驶的路程为$(x-20)$千米,速度为 360 千米/时.
∴$T-\frac{1}{9}=\frac{x-20}{360}.\therefore T=\frac{x}{360}+\frac{1}{18}$.
∴列车全程行驶的时间 $T=\frac{x}{360}+\frac{1}{18}$.
4.
∵v=0,$v_0$=180 千米/时 =50 米/秒,$a = -0.5$ 米/秒²,
∴0 = 50 - 0.5t. 解得 t = 100.
∴$s=v_0 t+\frac{1}{2}at^2=50×100-\frac{1}{2}×0.5×100^2=2\ 500$.
∵2 500 米 =2.5 千米,
∴高铁减速至停止需要滑行 2.5 千米.
∵3 千米＞2.5 千米,
∴列车可以在站点之前完成减速停下.
进站减速需要考量:①优先保障乘客舒适度,日常进站采用较小的减速度;②根据列车行驶速度预留足够长的减速区段;③轨道上坡、下坡、弯道会改变制动距离;④雨雪天气钢轨摩擦力下降,必须更早启动减速;⑤列车载客重量,载重越大刹车距离越长;⑥ 提前规划减速起点,临近站台阶段低速行驶.
解析
【分析】
解题首先要注意不同物理量的单位统一，速度单位千米/时和米/秒的换算关系为1千米/时=1/3.6米/秒。各小问解题思路如下：
(1) 第一问直接用匀变速速度公式$v = v_0 + at$，列车从静止出发$v_0=0$，将最高速度换算为米/秒后代入公式即可求解时间t；
(2) 第二问用匀变速路程公式$s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$，代入第一问求得的时间、加速度和初速度，计算后将单位换算为千米即可；
(3) 第三问先计算加减速总时间并换算为小时，再算出匀速行驶的路程，用路程除以最高速度得到匀速行驶时间，加减速总时间加匀速时间即为全程总时间，整理为含x的表达式即可；
(4) 第四问先将初速度换算为米/秒，代入速度公式求得减速到0的时间，再代入路程公式求得滑行距离，换算为千米后和3千米比较判断是否能停下，最后结合生活实际列举进站减速的考量因素即可。
【解析】
(1) 先换算最高速度单位：$360千米/时 = 360÷3.6 = 100米/秒$，列车从静止出发$v_0=0$，代入$v = v_0 + at$得：
$100 = 0 + 0.5t$，解得$t=200$秒。
(2) 代入匀变速路程公式$s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$，$v_0=0$，$a=0.5米/秒²$，$t=200$秒：
$s=0 + \frac{1}{2}×0.5×200² = 10000米 = 10千米$，即$d=10$千米。
(3) 加减速总时间：$2t=2×200=400$秒，换算为小时：$400÷3600=\frac{1}{9}$时；
加减速总路程：$2d=2×10=20$千米，匀速行驶路程为$(x-20)$千米，匀速行驶速度为360千米/时，故匀速行驶时间为$\frac{x-20}{360}$时；
全程总时间$T=$匀速时间+加减速总时间，即：
$T=\frac{x-20}{360} + \frac{1}{9} = \frac{x}{360} - \frac{20}{360} + \frac{40}{360} = \frac{x}{360} + \frac{1}{18}$（时）。
(4) 先换算初速度单位：$180千米/时=180÷3.6=50米/秒$，减速到停止时$v=0$，$a=-0.5米/秒²$，代入$v = v_0 + at$得：
$0=50 - 0.5t$，解得$t=100$秒；
代入路程公式计算滑行距离：
$s=v_0 t + \frac{1}{2} a t^2=50×100 + \frac{1}{2}×(-0.5)×100²=5000 - 2500=2500米=2.5千米$；
因为$2.5千米＜3千米$，所以列车可以在站点之前完成减速停下。
高铁进站减速需要考量的因素：①保障乘客舒适度，采用较小的减速度；②预留足够长的减速区段；③考虑轨道坡度、弯道对制动距离的影响；④考虑天气对钢轨摩擦力的影响，雨雪天气提前减速；⑤考虑列车载重对刹车距离的影响；⑥提前规划减速起点，临近站台低速行驶。
【答案】
(1) $\boxed{200}$
(2) $\boxed{10}$
(3) $\boxed{T=\frac{x}{360}+\frac{1}{18}}$（时）
(4) 减速至停止需要滑行$\boxed{2.5}$千米，可以在站点前完成减速停下；考量因素见解析。
【知识点】
单位换算、匀变速公式应用、实际问题建模
【点评】
本题结合高铁运营的真实场景，将数学计算和生活实际结合，既考察了公式代入计算的能力，也考察了单位换算的细心程度，同时引导学生用所学知识解决实际生活中的问题，实用性较强。
【难度系数】
0.7
解题首先要注意不同物理量的单位统一，速度单位千米/时和米/秒的换算关系为1千米/时=1/3.6米/秒。各小问解题思路如下：
(1) 第一问直接用匀变速速度公式$v = v_0 + at$，列车从静止出发$v_0=0$，将最高速度换算为米/秒后代入公式即可求解时间t；
(2) 第二问用匀变速路程公式$s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$，代入第一问求得的时间、加速度和初速度，计算后将单位换算为千米即可；
(3) 第三问先计算加减速总时间并换算为小时，再算出匀速行驶的路程，用路程除以最高速度得到匀速行驶时间，加减速总时间加匀速时间即为全程总时间，整理为含x的表达式即可；
(4) 第四问先将初速度换算为米/秒，代入速度公式求得减速到0的时间，再代入路程公式求得滑行距离，换算为千米后和3千米比较判断是否能停下，最后结合生活实际列举进站减速的考量因素即可。
【解析】
(1) 先换算最高速度单位：$360千米/时 = 360÷3.6 = 100米/秒$，列车从静止出发$v_0=0$，代入$v = v_0 + at$得：
$100 = 0 + 0.5t$，解得$t=200$秒。
(2) 代入匀变速路程公式$s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$，$v_0=0$，$a=0.5米/秒²$，$t=200$秒：
$s=0 + \frac{1}{2}×0.5×200² = 10000米 = 10千米$，即$d=10$千米。
(3) 加减速总时间：$2t=2×200=400$秒，换算为小时：$400÷3600=\frac{1}{9}$时；
加减速总路程：$2d=2×10=20$千米，匀速行驶路程为$(x-20)$千米，匀速行驶速度为360千米/时，故匀速行驶时间为$\frac{x-20}{360}$时；
全程总时间$T=$匀速时间+加减速总时间，即：
$T=\frac{x-20}{360} + \frac{1}{9} = \frac{x}{360} - \frac{20}{360} + \frac{40}{360} = \frac{x}{360} + \frac{1}{18}$（时）。
(4) 先换算初速度单位：$180千米/时=180÷3.6=50米/秒$，减速到停止时$v=0$，$a=-0.5米/秒²$，代入$v = v_0 + at$得：
$0=50 - 0.5t$，解得$t=100$秒；
代入路程公式计算滑行距离：
$s=v_0 t + \frac{1}{2} a t^2=50×100 + \frac{1}{2}×(-0.5)×100²=5000 - 2500=2500米=2.5千米$；
因为$2.5千米＜3千米$，所以列车可以在站点之前完成减速停下。
高铁进站减速需要考量的因素：①保障乘客舒适度，采用较小的减速度；②预留足够长的减速区段；③考虑轨道坡度、弯道对制动距离的影响；④考虑天气对钢轨摩擦力的影响，雨雪天气提前减速；⑤考虑列车载重对刹车距离的影响；⑥提前规划减速起点，临近站台低速行驶。
【答案】
(1) $\boxed{200}$
(2) $\boxed{10}$
(3) $\boxed{T=\frac{x}{360}+\frac{1}{18}}$（时）
(4) 减速至停止需要滑行$\boxed{2.5}$千米，可以在站点前完成减速停下；考量因素见解析。
【知识点】
单位换算、匀变速公式应用、实际问题建模
【点评】
本题结合高铁运营的真实场景，将数学计算和生活实际结合，既考察了公式代入计算的能力，也考察了单位换算的细心程度，同时引导学生用所学知识解决实际生活中的问题，实用性较强。
【难度系数】
0.7
