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1. (2026 永州期末)下列方程是一元二次方程的是（
A.$ax^2 + bx + c = 0$
B.$x^2 + 3x = 0$
C.$x^2 + 3x = x^2 - 1$
D.$x + \frac{1}{x} = 2$
B
）A.$ax^2 + bx + c = 0$
B.$x^2 + 3x = 0$
C.$x^2 + 3x = x^2 - 1$
D.$x + \frac{1}{x} = 2$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断方程是否为一元二次方程，首先需明确一元二次方程的3个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程（分母不含未知数），若二次项系数含字母，还需保证二次项系数不为0。解题时带着这些条件逐一排查选项即可：先排除不符合条件的选项，最终剩下的就是正确答案。
【解析】
一元二次方程需同时满足：是整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0。我们逐一分析选项：
A. 当a=0时，方程变为bx+c=0，属于一元一次方程，不符合一元二次方程要求，排除；
B. 该方程只含未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义；
C. 移项化简可得：$x^2+3x -x^2 +1=0$，即$3x+1=0$，是一元一次方程，不符合要求，排除；
D. 方程分母含未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程判定、方程化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题时不能仅看方程表面是否有二次项，要先对方程化简，同时注意二次项系数不为0、方程为整式方程这些隐含限制条件，避免误选错误选项。
【难度系数】
0.8
要判断方程是否为一元二次方程，首先需明确一元二次方程的3个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程（分母不含未知数），若二次项系数含字母，还需保证二次项系数不为0。解题时带着这些条件逐一排查选项即可：先排除不符合条件的选项，最终剩下的就是正确答案。
【解析】
一元二次方程需同时满足：是整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0。我们逐一分析选项：
A. 当a=0时，方程变为bx+c=0，属于一元一次方程，不符合一元二次方程要求，排除；
B. 该方程只含未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义；
C. 移项化简可得：$x^2+3x -x^2 +1=0$，即$3x+1=0$，是一元一次方程，不符合要求，排除；
D. 方程分母含未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程判定、方程化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题时不能仅看方程表面是否有二次项，要先对方程化简，同时注意二次项系数不为0、方程为整式方程这些隐含限制条件，避免误选错误选项。
【难度系数】
0.8
2. 若关于$x$的方程$(m+1)x^{m^2+1} -3x +2=0$是一元二次方程，则$m$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$\pm1$
D.无法确定
B
）A.$-1$
B.$1$
C.$\pm1$
D.无法确定
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程的判定条件：一是方程为整式方程，只含一个未知数；二是未知数的最高次数为2；三是二次项的系数不能为0。我们需要先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，最终得到m的正确值。
【解析】
根据一元二次方程的定义，需同时满足两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即：
$m^2 + 1 = 2$
移项得$m^2 = 1$，解得$m = 1$或$m = -1$。
2. 二次项系数不为0，即：
$m + 1 ≠ 0$，解得$m ≠ -1$。
综合两个条件，只有$m=1$符合要求，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础应用题，易错点是容易遗漏“二次项系数不为0”的限制条件，误选C选项，解题时要注意对定义的两个核心条件逐一验证，避免漏判。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程的判定条件：一是方程为整式方程，只含一个未知数；二是未知数的最高次数为2；三是二次项的系数不能为0。我们需要先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，最终得到m的正确值。
【解析】
根据一元二次方程的定义，需同时满足两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即：
$m^2 + 1 = 2$
移项得$m^2 = 1$，解得$m = 1$或$m = -1$。
2. 二次项系数不为0，即：
$m + 1 ≠ 0$，解得$m ≠ -1$。
综合两个条件，只有$m=1$符合要求，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础应用题，易错点是容易遗漏“二次项系数不为0”的限制条件，误选C选项，解题时要注意对定义的两个核心条件逐一验证，避免漏判。
【难度系数】
0.7
3. (2025长沙月考)若关于x的一元二次方程$mx^2 - 2x + m^2 = 3x^2 + 9$有实数根$x=0$，则（
A.$m≠0$
B.$m=3$
C.$m=-3$
D.$m=±3$
C
）A.$m≠0$
B.$m=3$
C.$m=-3$
D.$m=±3$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，根据方程根的定义，将根x=0代入原方程，得到关于m的方程，求解得到m的可能取值；第二步，结合“一元二次方程”的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此对m的可能取值进行排除，最终得到正确的m值。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
移项合并同类项得：$(m-3)x^2 - 2x + m^2 - 9 = 0$。
① 将$x=0$代入整理后的方程：
$(m-3)×0^2 - 2×0 + m^2 -9 = 0$，
化简得$m^2=9$，解得$m=3$或$m=-3$。
② 因为原方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$m-3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$。
结合①②的结论，可得$m=-3$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，方程的根的定义
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，直接得到m=±3的错误结论，审题时要注意抓住题目中的限定条件，做完后注意验证是否符合所有题设要求。
【难度系数】
0.6
解题时可分两步思考：第一步，根据方程根的定义，将根x=0代入原方程，得到关于m的方程，求解得到m的可能取值；第二步，结合“一元二次方程”的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此对m的可能取值进行排除，最终得到正确的m值。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
移项合并同类项得：$(m-3)x^2 - 2x + m^2 - 9 = 0$。
① 将$x=0$代入整理后的方程：
$(m-3)×0^2 - 2×0 + m^2 -9 = 0$，
化简得$m^2=9$，解得$m=3$或$m=-3$。
② 因为原方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$m-3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$。
结合①②的结论，可得$m=-3$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，方程的根的定义
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，直接得到m=±3的错误结论，审题时要注意抓住题目中的限定条件，做完后注意验证是否符合所有题设要求。
【难度系数】
0.6
4. (2026 临汾月考)某同学解一元二次方程$2x^2 -6x +1=0$的解题步骤如下：
解:$2x^2 -6x = -1$,①
$x^2 -3x = -\frac{1}{2}$,②
$x^2 -3x + (\frac{3}{2})^2 = -\frac{1}{2}$,③
$(x - \frac{3}{2})^2 = -\frac{1}{2}$,④
∴该方程没有实数根.⑤
(1)这位同学解方程过程中从第
(2)请写出用配方法解方程$2x^2 -6x +1=0$的正确过程.
解:$2x^2 -6x = -1$,①
$x^2 -3x = -\frac{1}{2}$,②
$x^2 -3x + (\frac{3}{2})^2 = -\frac{1}{2}$,③
$(x - \frac{3}{2})^2 = -\frac{1}{2}$,④
∴该方程没有实数根.⑤
(1)这位同学解方程过程中从第
③
步开始出现错误,错误原因是方程两边未同时加上$(\frac{3}{2})^2$
.(2)请写出用配方法解方程$2x^2 -6x +1=0$的正确过程.
答案
4. (1) ③ 方程两边未同时加上$(\frac{3}{2})^2$
(2)解:$2x^2 -6x +1=0$,
$2x^2 -6x = -1$,
$x^2 -3x = -\frac{1}{2}$,
$x^2 -3x + (\frac{3}{2})^2 = -\frac{1}{2} + (\frac{3}{2})^2$,
$(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{7}{4}$,
$\therefore x-\frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{7}}{2}$,
$\therefore x-\frac{3}{2} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ 或 $x-\frac{3}{2} = -\frac{\sqrt{7}}{2}$,
$\therefore x_1 = \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{3}{2}, x_2 = -\frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{3}{2}$.
(2)解:$2x^2 -6x +1=0$,
$2x^2 -6x = -1$,
$x^2 -3x = -\frac{1}{2}$,
$x^2 -3x + (\frac{3}{2})^2 = -\frac{1}{2} + (\frac{3}{2})^2$,
$(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{7}{4}$,
$\therefore x-\frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{7}}{2}$,
$\therefore x-\frac{3}{2} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ 或 $x-\frac{3}{2} = -\frac{\sqrt{7}}{2}$,
$\therefore x_1 = \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{3}{2}, x_2 = -\frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{3}{2}$.
解析
【分析】
(1) 判断解题步骤错误需结合配方法解一元二次方程的规则和等式的性质分析：配方法的核心是将方程左边配成完全平方式，配方时需依据等式的性质，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方。对比解题步骤，步骤③仅左边加了$(\frac{3}{2})^2$，右边未加，因此从第③步开始出错。
(2) 正确用配方法解方程需遵循“移项→二次项系数化为1→配方→开平方→求根”的步骤，每一步都要保证等式两边同时进行相同的运算，符合等式的性质。
【解析】
(1) 逐步骤验证：
①移项将常数项移到等号右侧，操作正确；
②两边同时除以2将二次项系数化为1，操作正确；
③配方时仅等号左侧加了$(\frac{3}{2})^2$，右侧未同时加相同的数，违背了等式的性质，因此从第③步开始出错，错误原因是方程两边未同时加上$(\frac{3}{2})^2$。
(2) 正确解题过程：
先移项得$2x^2 -6x = -1$，
将二次项系数化为1得$x^2 -3x = -\frac{1}{2}$，
给两边同时加$(\frac{3}{2})^2$配方得$x^2 -3x + (\frac{3}{2})^2 = -\frac{1}{2} + (\frac{3}{2})^2$，
整理为完全平方式得$(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{7}{4}$，
开平方得$x-\frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{7}}{2}$，
拆分后求解即可得到两个根。
【答案】
(1) ③；方程两边未同时加上$(\frac{3}{2})^2$
(2)解:$2x^2 -6x +1=0$,
$2x^2 -6x = -1$,
$x^2 -3x = -\frac{1}{2}$,
$x^2 -3x + (\frac{3}{2})^2 = -\frac{1}{2} + (\frac{3}{2})^2$,
$(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{7}{4}$,
$\therefore x-\frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{7}}{2}$,
$\therefore x-\frac{3}{2} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ 或 $x-\frac{3}{2} = -\frac{\sqrt{7}}{2}$,
$\therefore x_1 = \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{3}{2}, x_2 = -\frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{3}{2}$.
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的基本性质、一元二次方程的解法
【点评】
本题侧重考查配方法的操作规范，易错点是配方时容易漏给等号右侧加一次项系数一半的平方，解题时要严格遵循等式的性质，保证等号两边运算一致。
【难度系数】
0.75
(1) 判断解题步骤错误需结合配方法解一元二次方程的规则和等式的性质分析：配方法的核心是将方程左边配成完全平方式，配方时需依据等式的性质，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方。对比解题步骤，步骤③仅左边加了$(\frac{3}{2})^2$，右边未加，因此从第③步开始出错。
(2) 正确用配方法解方程需遵循“移项→二次项系数化为1→配方→开平方→求根”的步骤，每一步都要保证等式两边同时进行相同的运算，符合等式的性质。
【解析】
(1) 逐步骤验证：
①移项将常数项移到等号右侧，操作正确；
②两边同时除以2将二次项系数化为1，操作正确；
③配方时仅等号左侧加了$(\frac{3}{2})^2$，右侧未同时加相同的数，违背了等式的性质，因此从第③步开始出错，错误原因是方程两边未同时加上$(\frac{3}{2})^2$。
(2) 正确解题过程：
先移项得$2x^2 -6x = -1$，
将二次项系数化为1得$x^2 -3x = -\frac{1}{2}$，
给两边同时加$(\frac{3}{2})^2$配方得$x^2 -3x + (\frac{3}{2})^2 = -\frac{1}{2} + (\frac{3}{2})^2$，
整理为完全平方式得$(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{7}{4}$，
开平方得$x-\frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{7}}{2}$，
拆分后求解即可得到两个根。
【答案】
(1) ③；方程两边未同时加上$(\frac{3}{2})^2$
(2)解:$2x^2 -6x +1=0$,
$2x^2 -6x = -1$,
$x^2 -3x = -\frac{1}{2}$,
$x^2 -3x + (\frac{3}{2})^2 = -\frac{1}{2} + (\frac{3}{2})^2$,
$(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{7}{4}$,
$\therefore x-\frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{7}}{2}$,
$\therefore x-\frac{3}{2} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ 或 $x-\frac{3}{2} = -\frac{\sqrt{7}}{2}$,
$\therefore x_1 = \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{3}{2}, x_2 = -\frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{3}{2}$.
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的基本性质、一元二次方程的解法
【点评】
本题侧重考查配方法的操作规范，易错点是配方时容易漏给等号右侧加一次项系数一半的平方，解题时要严格遵循等式的性质，保证等号两边运算一致。
【难度系数】
0.75
