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四、传播问题
4.某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播速度非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染.每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？
4.某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播速度非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染.每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？
答案
4. 解:设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑,根据题意,得$(1+x)^2=25$,解得$x_1=4$,$x_2=-6$(不合题意,舍去).答:每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑.
解析
【分析】这是典型的传播类一元二次方程应用题，首先识别干扰信息：题目给出的150台学生电脑是冗余条件，因两轮感染后总感染数仅25台，远小于机房总电脑数，无需考虑感染上限。解题时先设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑，根据传播规律推导：初始有1台被感染的电脑，第一轮感染后总感染数为(1+x)台；第二轮感染时，已感染的每台电脑都会感染x台新电脑，因此第二轮结束后总感染数为$(1+x)^2$台，结合两轮后共25台被感染的条件列方程求解即可，注意感染台数不能为负数，需舍去不符合实际意义的根。
【解析】解：设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑，根据题意，得
$(1+x)^2=25$
解得$x_1=4$，$x_2=-6$，
因为感染的台数不能为负数，所以$x_2=-6$不合题意，舍去。
答：每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑。
【答案】每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑。
【知识点】一元二次方程的实际应用；传播类问题建模；一元二次方程根的取舍
【点评】本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，核心是理清传播过程中总感染数量的变化规律，建立正确的等量关系列方程，求解后要注意结合实际情景筛选根，舍去不符合常理的解。
【难度系数】0.7
【解析】解：设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑，根据题意，得
$(1+x)^2=25$
解得$x_1=4$，$x_2=-6$，
因为感染的台数不能为负数，所以$x_2=-6$不合题意，舍去。
答：每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑。
【答案】每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑。
【知识点】一元二次方程的实际应用；传播类问题建模；一元二次方程根的取舍
【点评】本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，核心是理清传播过程中总感染数量的变化规律，建立正确的等量关系列方程，求解后要注意结合实际情景筛选根，舍去不符合常理的解。
【难度系数】0.7
五、数字问题
5.有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8.如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数，得到的积为1 855，求这个两位数。
5.有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8.如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数，得到的积为1 855，求这个两位数。
答案
5. 解:设原来个位上的数字为x,则十位上的数字为(8-x).根据题意,得$[10×(8-x)+x](10x+8-x)=1\ 855$,解得$x_1=3$,$x_2=5$.
∴原来十位上的数字为5或3.答:这个两位数为53或35.
∴原来十位上的数字为5或3.答:这个两位数为53或35.
解析
【分析】
解决本题首先要明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字。已知原两位数十位数字与个位数字之和为8，我们可以设其中一个数位的数字为未知数，另一个数位的数字用含未知数的式子表示；再根据“原两位数×调换数位后的新两位数=1855”这一等量关系列方程，求解后验证所得的解符合数位的取值要求（0到9的整数，十位数字不为0），即可得到原两位数。
【解析】
解：设原来两位数的个位数字为$ x $，则十位数字为$ (8-x) $。
原来的两位数可表示为：$ 10(8-x)+x $，
调换十位与个位数字后得到的新两位数可表示为：$ 10x+(8-x) $。
根据题意列方程得：
$ [10(8-x)+x][10x+(8-x)] = 1855 $
整理得：$ (80-9x)(9x+8) = 1855 $
化简为标准一元二次方程形式：$ x^2 -8x +15 = 0 $
因式分解得：$ (x-3)(x-5)=0 $
解得$ x_1=3 $，$ x_2=5 $。
当$ x=3 $时，十位数字为$ 8-3=5 $，原两位数为53；
当$ x=5 $时，十位数字为$ 8-5=3 $，原两位数为35。
【答案】
这个两位数为35或53。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 两位数的数位表示
3. 因式分解法解方程
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题的关键是正确用数位规则表示出原两位数和调换后的新两位数，再根据等量关系列方程求解，得出结果后要注意验证解是否符合数位的实际意义，保证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字。已知原两位数十位数字与个位数字之和为8，我们可以设其中一个数位的数字为未知数，另一个数位的数字用含未知数的式子表示；再根据“原两位数×调换数位后的新两位数=1855”这一等量关系列方程，求解后验证所得的解符合数位的取值要求（0到9的整数，十位数字不为0），即可得到原两位数。
【解析】
解：设原来两位数的个位数字为$ x $，则十位数字为$ (8-x) $。
原来的两位数可表示为：$ 10(8-x)+x $，
调换十位与个位数字后得到的新两位数可表示为：$ 10x+(8-x) $。
根据题意列方程得：
$ [10(8-x)+x][10x+(8-x)] = 1855 $
整理得：$ (80-9x)(9x+8) = 1855 $
化简为标准一元二次方程形式：$ x^2 -8x +15 = 0 $
因式分解得：$ (x-3)(x-5)=0 $
解得$ x_1=3 $，$ x_2=5 $。
当$ x=3 $时，十位数字为$ 8-3=5 $，原两位数为53；
当$ x=5 $时，十位数字为$ 8-5=3 $，原两位数为35。
【答案】
这个两位数为35或53。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 两位数的数位表示
3. 因式分解法解方程
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题的关键是正确用数位规则表示出原两位数和调换后的新两位数，再根据等量关系列方程求解，得出结果后要注意验证解是否符合数位的实际意义，保证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
六、循环赛类问题
6. (2026 廊坊期中)九年级举办了乒乓球比赛,比赛采用单循环赛制(即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场),嘉嘉说:“本次比赛一共进行了40场.”淇淇说:“你说得不对,按这个赛制不应该是40场.”设有x人报名参加比赛.
(1)依据两人对话,乐乐列出方程:$\frac{1}{2}x(x-1)=40$.请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确.
(2)赛后经查询发现,因为有一人身体不适,参与4场比赛后中途退赛,所以比赛才进行了40场,求x的值.
6. (2026 廊坊期中)九年级举办了乒乓球比赛,比赛采用单循环赛制(即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场),嘉嘉说:“本次比赛一共进行了40场.”淇淇说:“你说得不对,按这个赛制不应该是40场.”设有x人报名参加比赛.
(1)依据两人对话,乐乐列出方程:$\frac{1}{2}x(x-1)=40$.请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确.
(2)赛后经查询发现,因为有一人身体不适,参与4场比赛后中途退赛,所以比赛才进行了40场,求x的值.
答案
6. 解:(1)根据题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=40$,
∴$x(x-1)=80$,解得$x=\frac{1±\sqrt{321}}{2}$,不为整数,
∴方程的解不符合实际,按这个赛制不应该是40场,故淇淇的说法正确.
(2)
∵有一人比赛了4场后退出比赛,根据题意,得$\frac{(x-1)(x-2)}{2}+4=40$,解得$x_1=10$,$x_2=-7$(不合题意,舍去),
∴x的值为10.
∴$x(x-1)=80$,解得$x=\frac{1±\sqrt{321}}{2}$,不为整数,
∴方程的解不符合实际,按这个赛制不应该是40场,故淇淇的说法正确.
(2)
∵有一人比赛了4场后退出比赛,根据题意,得$\frac{(x-1)(x-2)}{2}+4=40$,解得$x_1=10$,$x_2=-7$(不合题意,舍去),
∴x的值为10.
解析
【分析】
(1) 单循环赛制下，x名参赛者的总比赛场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，由于参赛人数x必须为正整数，因此只需判断乐乐所列方程的解是否为正整数，即可验证淇淇的说法是否正确。
(2) 一人中途退赛后，总比赛场次分为两部分：一是退赛人员已完成的4场比赛，二是剩余$x-1$名参赛者之间全部完成的单循环比赛场次，两部分相加等于实际总场次40，据此列方程求解后舍去不符合实际的负根即可。
【解析】
(1) 整理方程$\frac{1}{2}x(x-1)=40$，得：
$x^2 -x -80=0$
由求根公式解得：$x=\frac{1\pm\sqrt{321}}{2}$
由于参赛人数必须为正整数，该方程的解不符合实际意义，因此按单循环赛制不可能共进行40场比赛，淇淇的说法正确。
(2) 根据题意，剩余$x-1$名参赛者之间的单循环比赛场次为$\frac{1}{2}(x-1)(x-2)$，结合总场次为40列方程：
$\frac{1}{2}(x-1)(x-2)+4=40$
整理得：$x^2 -3x -70=0$
因式分解得：$(x-10)(x+7)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=-7$（人数不能为负，舍去）
【答案】
(1) 淇淇的说法正确；
(2) $x=10$
【知识点】
单循环场次计算、一元二次方程求解、实际问题方程应用
【点评】
本题结合体育比赛场景考查一元二次方程的应用，解题核心是准确理解赛制规则梳理场次构成，同时要注意实际问题中方程的解必须符合现实逻辑，需对结果进行合理性检验。
【难度系数】
0.6
(1) 单循环赛制下，x名参赛者的总比赛场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，由于参赛人数x必须为正整数，因此只需判断乐乐所列方程的解是否为正整数，即可验证淇淇的说法是否正确。
(2) 一人中途退赛后，总比赛场次分为两部分：一是退赛人员已完成的4场比赛，二是剩余$x-1$名参赛者之间全部完成的单循环比赛场次，两部分相加等于实际总场次40，据此列方程求解后舍去不符合实际的负根即可。
【解析】
(1) 整理方程$\frac{1}{2}x(x-1)=40$，得：
$x^2 -x -80=0$
由求根公式解得：$x=\frac{1\pm\sqrt{321}}{2}$
由于参赛人数必须为正整数，该方程的解不符合实际意义，因此按单循环赛制不可能共进行40场比赛，淇淇的说法正确。
(2) 根据题意，剩余$x-1$名参赛者之间的单循环比赛场次为$\frac{1}{2}(x-1)(x-2)$，结合总场次为40列方程：
$\frac{1}{2}(x-1)(x-2)+4=40$
整理得：$x^2 -3x -70=0$
因式分解得：$(x-10)(x+7)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=-7$（人数不能为负，舍去）
【答案】
(1) 淇淇的说法正确；
(2) $x=10$
【知识点】
单循环场次计算、一元二次方程求解、实际问题方程应用
【点评】
本题结合体育比赛场景考查一元二次方程的应用，解题核心是准确理解赛制规则梳理场次构成，同时要注意实际问题中方程的解必须符合现实逻辑，需对结果进行合理性检验。
【难度系数】
0.6
