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5. (2026 阜阳一模)若关于$x$的一元二次方程$x^2+mx+2=0$有两个不相等的实数根，则$m$的值可以是 （
A.$-1$
B.$0$
C.$2$
D.$3$
D
）A.$-1$
B.$0$
C.$2$
D.$3$
答案
5. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。我们先根据题目给出的方程确定$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的不等式，解出$m$的取值范围后，再对比四个选项选出符合条件的数值即可。
【解析】
解：已知一元二次方程$x^2+mx+2=0$有两个不相等的实数根，该方程中$a=1$，$b=m$，$c=2$。
根据一元二次方程根的判别式的性质可得：
$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$
将$a、b、c$的取值代入得：
$m^2 - 4×1×2 ＞ 0$
化简得：$m^2 ＞ 8$
逐一验证选项：
A. 当$m=-1$时，$(-1)^2=1＜8$，不符合要求；
B. 当$m=0$时，$0^2=0＜8$，不符合要求；
C. 当$m=2$时，$2^2=4＜8$，不符合要求；
D. 当$m=3$时，$3^2=9＞8$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，不等式求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，牢记$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根、$\Delta=0$对应两个相等的实数根、$\Delta＜0$对应没有实数根的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。我们先根据题目给出的方程确定$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的不等式，解出$m$的取值范围后，再对比四个选项选出符合条件的数值即可。
【解析】
解：已知一元二次方程$x^2+mx+2=0$有两个不相等的实数根，该方程中$a=1$，$b=m$，$c=2$。
根据一元二次方程根的判别式的性质可得：
$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$
将$a、b、c$的取值代入得：
$m^2 - 4×1×2 ＞ 0$
化简得：$m^2 ＞ 8$
逐一验证选项：
A. 当$m=-1$时，$(-1)^2=1＜8$，不符合要求；
B. 当$m=0$时，$0^2=0＜8$，不符合要求；
C. 当$m=2$时，$2^2=4＜8$，不符合要求；
D. 当$m=3$时，$3^2=9＞8$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，不等式求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，牢记$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根、$\Delta=0$对应两个相等的实数根、$\Delta＜0$对应没有实数根的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6.已知$m,n$是方程$x^2 + 2x -5=0$的两个实数根，则$m^2 -2n + mn=$
4
.答案
6. 4
解析
【分析】
解题可按以下思路进行：①利用一元二次方程根的定义，将m代入方程得到m²的表达式，实现降次，把所求代数式中的二次项替换为一次式；②整理替换后的代数式，使其变形为含两根之和m+n、两根之积mn的形式；③根据一元二次方程根与系数的关系，直接得出m+n和mn的值，代入整理后的代数式计算即可得到结果，无需直接求解方程的根，简化运算。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2 + 2x -5=0$的实数根，
∴将x=m代入方程得：$m^2 + 2m -5=0$，即$m^2=5-2m$。
将$m^2=5-2m$代入$m^2 -2n + mn$得：
$\begin{aligned}m^2 -2n + mn&=5-2m -2n + mn\\&=5 -2(m+n) + mn\end{aligned}$
又
∵m、n是方程$x^2 + 2x -5=0$的两个实数根，根据根与系数的关系：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$m+n=-\frac{b}{a}=-2$，两根之积$mn=\frac{c}{a}=-5$（本题中a=1，b=2，c=-5）。
将$m+n=-2$，$mn=-5$代入上式得：
$\begin{aligned}原式&=5 -2×(-2) + (-5)\\&=5 +4 -5\\&=4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，核心解题技巧是利用根的定义降次，结合根与系数的关系整体代入计算，规避了直接求解方程根的复杂运算，重点考察了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路进行：①利用一元二次方程根的定义，将m代入方程得到m²的表达式，实现降次，把所求代数式中的二次项替换为一次式；②整理替换后的代数式，使其变形为含两根之和m+n、两根之积mn的形式；③根据一元二次方程根与系数的关系，直接得出m+n和mn的值，代入整理后的代数式计算即可得到结果，无需直接求解方程的根，简化运算。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2 + 2x -5=0$的实数根，
∴将x=m代入方程得：$m^2 + 2m -5=0$，即$m^2=5-2m$。
将$m^2=5-2m$代入$m^2 -2n + mn$得：
$\begin{aligned}m^2 -2n + mn&=5-2m -2n + mn\\&=5 -2(m+n) + mn\end{aligned}$
又
∵m、n是方程$x^2 + 2x -5=0$的两个实数根，根据根与系数的关系：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$m+n=-\frac{b}{a}=-2$，两根之积$mn=\frac{c}{a}=-5$（本题中a=1，b=2，c=-5）。
将$m+n=-2$，$mn=-5$代入上式得：
$\begin{aligned}原式&=5 -2×(-2) + (-5)\\&=5 +4 -5\\&=4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，核心解题技巧是利用根的定义降次，结合根与系数的关系整体代入计算，规避了直接求解方程根的复杂运算，重点考察了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
7.已知关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2 -4x+2=0$有两个不相等的实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)如果符合条件的最大整数$m$的值是关于$y$的一元二次方程$y^2+ny-3=0$的一个根，求该方程的另一个根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)如果符合条件的最大整数$m$的值是关于$y$的一元二次方程$y^2+ny-3=0$的一个根，求该方程的另一个根.
答案
7. 解:(1)根据题意,得 $\Delta = b^2 -4ac = (-4)^2 -4(m-2)×2＞0$,且$m-2≠0$,
$\therefore m＜4$ 且 $m≠2$.
(2)设方程 $y^2 + ny -3=0$ 的另一个根为 $p$.
$\because$ 由(1)知符合条件的最大整数 $m$ 是 3,
$\therefore 3$ 是关于 $y$ 的一元二次方程 $y^2 + ny -3=0$ 的一个根,
$\therefore 3p = -3$,
解得 $p=-1$,
$\therefore$ 该方程的另一个根为 $-1$.
$\therefore m＜4$ 且 $m≠2$.
(2)设方程 $y^2 + ny -3=0$ 的另一个根为 $p$.
$\because$ 由(1)知符合条件的最大整数 $m$ 是 3,
$\therefore 3$ 是关于 $y$ 的一元二次方程 $y^2 + ny -3=0$ 的一个根,
$\therefore 3p = -3$,
解得 $p=-1$,
$\therefore$ 该方程的另一个根为 $-1$.
解析
【分析】
(1) 解题需紧扣题目给出的两个关键信息：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式Δ＞0。联立两个条件求解即可得到m的取值范围，注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含要求。
(2) 先从(1)得到的m的取值范围内找出符合条件的最大整数m，再利用一元二次方程根与系数的关系（两根之积等于常数项与二次项系数的比值），代入已知根即可直接求出另一个根，无需先求参数n，可简化计算。
【解析】
(1) 根据题意，方程$(m-2)x^2 -4x+2=0$是一元二次方程且有两个不相等的实数根，因此：
① 二次项系数不为0：$m-2≠0$，解得$m≠2$；
② 根的判别式大于0：$\Delta = b^2-4ac＞0$，代入$a=m-2$，$b=-4$，$c=2$得：
$\Delta = (-4)^2 -4×(m-2)×2 ＞ 0$
化简得$16-8(m-2)＞0$，进一步计算得$32-8m＞0$，解得$m＜4$。
综上，m的取值范围是$m＜4$且$m≠2$。
(2) 设方程$y^2+ny-3=0$的另一个根为$p$：
由(1)可知，符合条件的最大整数$m=3$（小于4的最大整数为3，且3≠2满足要求），因此3是方程$y^2+ny-3=0$的一个根。
根据根与系数的关系，该方程两根之积为$\frac{-3}{1}=-3$，即$3p=-3$，解得$p=-1$。
【答案】
(1) $m＜4$且$m≠2$；
(2) 该方程的另一个根为$-1$。
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，易错点是容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的条件，第二问借助根与系数的关系求解可减少计算量，提升解题准确率。
【难度系数】
0.7
(1) 解题需紧扣题目给出的两个关键信息：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式Δ＞0。联立两个条件求解即可得到m的取值范围，注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含要求。
(2) 先从(1)得到的m的取值范围内找出符合条件的最大整数m，再利用一元二次方程根与系数的关系（两根之积等于常数项与二次项系数的比值），代入已知根即可直接求出另一个根，无需先求参数n，可简化计算。
【解析】
(1) 根据题意，方程$(m-2)x^2 -4x+2=0$是一元二次方程且有两个不相等的实数根，因此：
① 二次项系数不为0：$m-2≠0$，解得$m≠2$；
② 根的判别式大于0：$\Delta = b^2-4ac＞0$，代入$a=m-2$，$b=-4$，$c=2$得：
$\Delta = (-4)^2 -4×(m-2)×2 ＞ 0$
化简得$16-8(m-2)＞0$，进一步计算得$32-8m＞0$，解得$m＜4$。
综上，m的取值范围是$m＜4$且$m≠2$。
(2) 设方程$y^2+ny-3=0$的另一个根为$p$：
由(1)可知，符合条件的最大整数$m=3$（小于4的最大整数为3，且3≠2满足要求），因此3是方程$y^2+ny-3=0$的一个根。
根据根与系数的关系，该方程两根之积为$\frac{-3}{1}=-3$，即$3p=-3$，解得$p=-1$。
【答案】
(1) $m＜4$且$m≠2$；
(2) 该方程的另一个根为$-1$。
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，易错点是容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的条件，第二问借助根与系数的关系求解可减少计算量，提升解题准确率。
【难度系数】
0.7
8.已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2m + 1)x + m^2 + m = 0 $.
(1)求证:无论 $ m $ 取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)设该方程的两个实数根为 $ a,b $,若 $ (2a + b)(a + 2b) = 20 $,求 $ m $ 的值.
(1)求证:无论 $ m $ 取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)设该方程的两个实数根为 $ a,b $,若 $ (2a + b)(a + 2b) = 20 $,求 $ m $ 的值.
答案
8. (1)证明:$\because \Delta = [-(2m+1)]^2 -4(m^2 +m)=1＞0$,
$\therefore$ 无论 $m$ 取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)解:$\because x^2 -(2m+1)x +m^2 +m=0$ 的两个实数根为 $a,b$,
$\therefore a+b=2m+1,ab=m^2 +m$.
$\because (2a + b)(a + 2b)=20$,
$\therefore 2a^2 +4ab +2b^2 +ab=20,\therefore 2(a+b)^2 +ab=20$.
$\therefore 2(2m+1)^2 +m^2 +m=20$,
即 $m^2 +m -2=0$.
解得 $m_1=1,m_2=-2$.
$\therefore m$ 的值为 $1$ 或 $-2$.
$\therefore$ 无论 $m$ 取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)解:$\because x^2 -(2m+1)x +m^2 +m=0$ 的两个实数根为 $a,b$,
$\therefore a+b=2m+1,ab=m^2 +m$.
$\because (2a + b)(a + 2b)=20$,
$\therefore 2a^2 +4ab +2b^2 +ab=20,\therefore 2(a+b)^2 +ab=20$.
$\therefore 2(2m+1)^2 +m^2 +m=20$,
即 $m^2 +m -2=0$.
解得 $m_1=1,m_2=-2$.
$\therefore m$ 的值为 $1$ 或 $-2$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程无论m取何值都有两个不相等的实数根，核心思路是计算方程的根的判别式Δ，若化简后Δ恒大于0，即可得证。
（2）已知方程两根为a、b，给出含a、b的代数式的值求m，首先根据根与系数的关系求出a+b和ab的表达式，再将(2a+b)(a+2b)展开变形，用a+b和ab整体代换，得到关于m的一元二次方程，求解即可，因第一问已证Δ恒正，无需额外验证根的存在性。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$x^2 - (2m + 1)x + m^2 + m = 0$，
根的判别式$\Delta = [-(2m+1)]^2 -4×1×(m^2 +m)$
$=4m^2+4m+1 -4m^2-4m$
$=1＞0$，
∴无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2)解：
∵方程的两个实数根为$a,b$，根据根与系数的关系得：
$a+b=2m+1$，$ab=m^2 +m$，
将$(2a + b)(a + 2b) = 20$左边展开化简：
左边$=2a^2 +4ab +ab +2b^2=2a^2+5ab+2b^2$
$=2(a^2+2ab+b^2)+ab=2(a+b)^2+ab$，
代入$a+b$和$ab$的表达式得：
$2(2m+1)^2 +m^2 +m=20$，
展开整理得：$9m^2+9m-18=0$，
化简得$m^2 +m -2=0$，
解得$m_1=1$，$m_2=-2$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$m$的值为$1$或$-2$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式；2.根与系数的关系；3.一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问直接考查判别式与根的个数的对应关系，计算难度较低；第二问的核心是熟练运用根与系数的关系，掌握代数式变形技巧，将待求式转化为两根和、两根积的形式整体代入求解，属于该章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程无论m取何值都有两个不相等的实数根，核心思路是计算方程的根的判别式Δ，若化简后Δ恒大于0，即可得证。
（2）已知方程两根为a、b，给出含a、b的代数式的值求m，首先根据根与系数的关系求出a+b和ab的表达式，再将(2a+b)(a+2b)展开变形，用a+b和ab整体代换，得到关于m的一元二次方程，求解即可，因第一问已证Δ恒正，无需额外验证根的存在性。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$x^2 - (2m + 1)x + m^2 + m = 0$，
根的判别式$\Delta = [-(2m+1)]^2 -4×1×(m^2 +m)$
$=4m^2+4m+1 -4m^2-4m$
$=1＞0$，
∴无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2)解：
∵方程的两个实数根为$a,b$，根据根与系数的关系得：
$a+b=2m+1$，$ab=m^2 +m$，
将$(2a + b)(a + 2b) = 20$左边展开化简：
左边$=2a^2 +4ab +ab +2b^2=2a^2+5ab+2b^2$
$=2(a^2+2ab+b^2)+ab=2(a+b)^2+ab$，
代入$a+b$和$ab$的表达式得：
$2(2m+1)^2 +m^2 +m=20$，
展开整理得：$9m^2+9m-18=0$，
化简得$m^2 +m -2=0$，
解得$m_1=1$，$m_2=-2$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$m$的值为$1$或$-2$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式；2.根与系数的关系；3.一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问直接考查判别式与根的个数的对应关系，计算难度较低；第二问的核心是熟练运用根与系数的关系，掌握代数式变形技巧，将待求式转化为两根和、两根积的形式整体代入求解，属于该章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.7
9.我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等.问方(面)圆径各若干?”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等.问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为$x$，则可列出方程为 （
A.$x^2 + πx^2 = 252$
B.$2x^2 + πx^2 = 252$
C.$(\frac{x}{2})^2 + πx^2 = 252$
D.$x^2 + π(\frac{x}{2})^2 = 252$
D
）A.$x^2 + πx^2 = 252$
B.$2x^2 + πx^2 = 252$
C.$(\frac{x}{2})^2 + πx^2 = 252$
D.$x^2 + π(\frac{x}{2})^2 = 252$
答案
9. D
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：设正方形边长为x，且正方形边长与圆的直径相等，两块田的面积和为252。我们可以先分别表示出正方形的面积和圆的面积，再根据“面积之和为252”这个等量关系列出方程，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 计算正方形的面积：已知正方形边长为x，根据正方形面积公式，可得正方形面积为$S_{正}=x^2$。
2. 计算圆形的面积：因为圆的直径等于正方形的边长，即圆的直径为x，所以圆的半径$r=\frac{x}{2}$；根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得圆形田的面积为$S_{圆}=π (\frac{x}{2})^2$。
3. 列方程：已知两块田的面积之和为252，因此可得$x^2 + π (\frac{x}{2})^2 = 252$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算、圆的面积计算、列方程解应用题
【点评】
本题结合古代数学典籍的记载出题，考查基础的几何面积公式应用与列方程的能力，解题的核心是找准面积和的等量关系，分别正确计算两个图形的面积即可得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先明确已知条件：设正方形边长为x，且正方形边长与圆的直径相等，两块田的面积和为252。我们可以先分别表示出正方形的面积和圆的面积，再根据“面积之和为252”这个等量关系列出方程，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 计算正方形的面积：已知正方形边长为x，根据正方形面积公式，可得正方形面积为$S_{正}=x^2$。
2. 计算圆形的面积：因为圆的直径等于正方形的边长，即圆的直径为x，所以圆的半径$r=\frac{x}{2}$；根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得圆形田的面积为$S_{圆}=π (\frac{x}{2})^2$。
3. 列方程：已知两块田的面积之和为252，因此可得$x^2 + π (\frac{x}{2})^2 = 252$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算、圆的面积计算、列方程解应用题
【点评】
本题结合古代数学典籍的记载出题，考查基础的几何面积公式应用与列方程的能力，解题的核心是找准面积和的等量关系，分别正确计算两个图形的面积即可得出结果。
【难度系数】
0.8
10.某企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定该零件的售价不能超过35元/个.经市场调研发现，该零件每周的销售量$y$(个)与销售单价$x$(元/个)之间满足一次函数$y=-20x+1000$，若要使该企业每周销售这种零件可获利6000元，则每个零件的售价应定为（
A.25元
B.20元或40元
C.40元
D.20元
D
）A.25元
B.20元或40元
C.40元
D.20元
答案
10. D
解析
【分析】
解题时首先要明确销售问题中的核心等量关系：总利润=单个零件的利润×销售量。单个利润为销售单价减去成本价，销售量是题目给出的关于x的一次函数，结合总获利6000元可列方程求解；最后要注意题目中“售价不能超过35元/个”的限制条件，对求出的根进行取舍，得到符合题意的答案。
【解析】
根据题意，单个零件的利润为$(x-10)$元，每周销售量为$(-20x+1000)$个，总利润为6000元，可列方程：
$(x-10)(-20x+1000)=6000$
展开并整理方程：
$-20x^2 + 1200x - 10000 = 6000$
$x^2 - 60x + 800 = 0$
因式分解得：
$(x-20)(x-40)=0$
解得$x_1=20$，$x_2=40$。
又因为零件售价不能超过35元/个，$40＞35$，故舍去$x=40$，因此每个零件的售价应定为20元。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润计算，一次函数实际应用
【点评】
本题属于销售类实际应用题，核心考查根据等量关系列方程求解的能力，解题时要特别注意题目给出的取值限制，避免未对根进行取舍导致错选。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确销售问题中的核心等量关系：总利润=单个零件的利润×销售量。单个利润为销售单价减去成本价，销售量是题目给出的关于x的一次函数，结合总获利6000元可列方程求解；最后要注意题目中“售价不能超过35元/个”的限制条件，对求出的根进行取舍，得到符合题意的答案。
【解析】
根据题意，单个零件的利润为$(x-10)$元，每周销售量为$(-20x+1000)$个，总利润为6000元，可列方程：
$(x-10)(-20x+1000)=6000$
展开并整理方程：
$-20x^2 + 1200x - 10000 = 6000$
$x^2 - 60x + 800 = 0$
因式分解得：
$(x-20)(x-40)=0$
解得$x_1=20$，$x_2=40$。
又因为零件售价不能超过35元/个，$40＞35$，故舍去$x=40$，因此每个零件的售价应定为20元。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润计算，一次函数实际应用
【点评】
本题属于销售类实际应用题，核心考查根据等量关系列方程求解的能力，解题时要特别注意题目给出的取值限制，避免未对根进行取舍导致错选。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°,AC=30\ \mathrm{cm},BC=25\ \mathrm{cm}$,动点 $P$ 从点 $C$ 出发,沿 $CA$ 方向向点 $A$ 运动,速度是 $2\ \mathrm{cm/s}$;同时,动点 $Q$ 从点 $B$ 出发,沿 $BC$ 方向向点 $C$ 运动,速度是$1\ \mathrm{cm/s}$,则经过
10
s后,$P,Q$两点之间相距 $25\ \mathrm{cm}$.答案
11. 10
解析
【分析】
本题属于动点结合勾股定理的综合题，解题思路如下：首先设运动时间为t秒，根据两个动点的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示出Rt△PCQ的两条直角边CP、CQ的长度；再结合∠C=90°、PQ=25cm的条件，利用勾股定理建立关于t的一元二次方程；最后解方程后结合实际运动情况舍去不符合题意的解，即可得到正确结果。
【解析】
设经过$ t $ s后，P、Q两点之间相距25 cm。
根据题意得：
$ CP = 2t \ \mathrm{cm} $，$ CQ = BC - BQ = (25 - t) \ \mathrm{cm} $，
∵ $ ∠ C = 90° $，
∴ 在$ \mathrm{Rt}△ PCQ $中，由勾股定理得：
$ CP^2 + CQ^2 = PQ^2 $
代入数据得：
$ (2t)^2 + (25 - t)^2 = 25^2 $
展开整理得：
$ 4t^2 + 625 - 50t + t^2 = 625 $
$ 5t^2 - 50t = 0 $
因式分解得：
$ 5t(t - 10) = 0 $
解得$ t_1 = 0 $，$ t_2 = 10 $。
$ t=0 $为初始运动时刻，不符合题意，舍去，故$ t=10 $。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理的应用；动点问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的几何动点与代数计算结合的题型，解题核心是将动态问题转化为静态的线段长度关系，通过勾股定理建立方程求解，解题时要注意验证方程的解是否符合实际运动情景，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
本题属于动点结合勾股定理的综合题，解题思路如下：首先设运动时间为t秒，根据两个动点的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示出Rt△PCQ的两条直角边CP、CQ的长度；再结合∠C=90°、PQ=25cm的条件，利用勾股定理建立关于t的一元二次方程；最后解方程后结合实际运动情况舍去不符合题意的解，即可得到正确结果。
【解析】
设经过$ t $ s后，P、Q两点之间相距25 cm。
根据题意得：
$ CP = 2t \ \mathrm{cm} $，$ CQ = BC - BQ = (25 - t) \ \mathrm{cm} $，
∵ $ ∠ C = 90° $，
∴ 在$ \mathrm{Rt}△ PCQ $中，由勾股定理得：
$ CP^2 + CQ^2 = PQ^2 $
代入数据得：
$ (2t)^2 + (25 - t)^2 = 25^2 $
展开整理得：
$ 4t^2 + 625 - 50t + t^2 = 625 $
$ 5t^2 - 50t = 0 $
因式分解得：
$ 5t(t - 10) = 0 $
解得$ t_1 = 0 $，$ t_2 = 10 $。
$ t=0 $为初始运动时刻，不符合题意，舍去，故$ t=10 $。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理的应用；动点问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的几何动点与代数计算结合的题型，解题核心是将动态问题转化为静态的线段长度关系，通过勾股定理建立方程求解，解题时要注意验证方程的解是否符合实际运动情景，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
