登录
12.某读书兴趣小组计划去书店购买一批定价为50元/本的书籍，书店表示有两种优惠方案.方案一:若购买数量不超过10本，每本按定价出售；若超过10本，每增加1本，所有书籍的售价可比定价降2元，但售价不低于35元/本.方案二:前5本按定价出售，超过5本的部分可以打折.
(1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出此时购买书籍的数量.
(2)如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买(1)中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？
(1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出此时购买书籍的数量.
(2)如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买(1)中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？
答案
12. 解:(1)$\because 50×10=500$(元),$500＜600$,
$\therefore$ 读书兴趣小组购买书籍的数量超过 10 本.
设读书兴趣小组购买书籍 $x$ 本,则每本的售价为 $50-2(x-10)=(70-2x)$元.
根据题意,得 $(70-2x)x=600$.
解得 $x_1=15,x_2=20$.
当 $x=15$ 时,$70-2x=70-2×15=40$(元),$40＞35$,符合题意;
当 $x=20$ 时,$70-2x=70-2×20=30$(元),$30＜35$,不符合题意,舍去.
答:读书兴趣小组按照方案一的优惠方式购买了书籍15 本.
(2)设书店给出的优惠方案二中超过 5 本以上的部分打$y$ 折销售.
根据题意,得 $50×5+(15-5)×50×\frac{y}{10}＜600$,
解得 $y＜7$.
答:书店折扣至少低于七折才能使得实付金额少于 600 元.
$\therefore$ 读书兴趣小组购买书籍的数量超过 10 本.
设读书兴趣小组购买书籍 $x$ 本,则每本的售价为 $50-2(x-10)=(70-2x)$元.
根据题意,得 $(70-2x)x=600$.
解得 $x_1=15,x_2=20$.
当 $x=15$ 时,$70-2x=70-2×15=40$(元),$40＞35$,符合题意;
当 $x=20$ 时,$70-2x=70-2×20=30$(元),$30＜35$,不符合题意,舍去.
答:读书兴趣小组按照方案一的优惠方式购买了书籍15 本.
(2)设书店给出的优惠方案二中超过 5 本以上的部分打$y$ 折销售.
根据题意,得 $50×5+(15-5)×50×\frac{y}{10}＜600$,
解得 $y＜7$.
答:书店折扣至少低于七折才能使得实付金额少于 600 元.
解析
【分析】
（1）首先计算购买10本的总价为50×10=500元，小于支付的600元，可知购买数量超过10本。设购买书籍数量为x本，根据方案一规则，超过10本后每本售价为[50-2(x-10)]元，结合“总价=单价×数量”列方程求解，最后根据“售价不低于35元/本”的限制条件舍去不符合题意的解即可。
（2）已知（1）中购买数量为15本，设超过5本的部分打y折，根据方案二的优惠规则列出总付款的代数式，结合“实付金额少于600元”列不等式求解，即可得到折扣的要求。
【解析】
(1) 先计算10本的总价：$50×10=500$（元），$\because 500＜600$，$\therefore$ 购买书籍的数量超过10本。
设购买书籍$x$本，则每本的售价为$50-2(x-10)=(70-2x)$元，根据总付款为600元列方程：
$(70-2x)x=600$
整理求解得 $x_1=15,x_2=20$。
检验：当$x=15$时，$70-2x=70-2×15=40$（元），$40＞35$，符合题意；
当$x=20$时，$70-2x=70-2×20=30$（元），$30＜35$，不符合题意，舍去。
(2) 设方案二中超过5本以上的部分打$y$折销售，购买15本的总付款为前5本的总价加后10本的折后总价，根据实付金额少于600元列不等式：
$50×5+(15-5)×50×\frac{y}{10}＜600$
解不等式得 $y＜7$。
【答案】
(1) 购买书籍的数量为15本；
(2) 书店折扣至少低于七折才能使得实付金额少于600元。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际购物优惠场景出题，需要注意题干中的限制条件（如售价不低于35元/本），求解后要检验结果是否符合实际要求，同时要准确掌握打折类问题的计算方法，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
（1）首先计算购买10本的总价为50×10=500元，小于支付的600元，可知购买数量超过10本。设购买书籍数量为x本，根据方案一规则，超过10本后每本售价为[50-2(x-10)]元，结合“总价=单价×数量”列方程求解，最后根据“售价不低于35元/本”的限制条件舍去不符合题意的解即可。
（2）已知（1）中购买数量为15本，设超过5本的部分打y折，根据方案二的优惠规则列出总付款的代数式，结合“实付金额少于600元”列不等式求解，即可得到折扣的要求。
【解析】
(1) 先计算10本的总价：$50×10=500$（元），$\because 500＜600$，$\therefore$ 购买书籍的数量超过10本。
设购买书籍$x$本，则每本的售价为$50-2(x-10)=(70-2x)$元，根据总付款为600元列方程：
$(70-2x)x=600$
整理求解得 $x_1=15,x_2=20$。
检验：当$x=15$时，$70-2x=70-2×15=40$（元），$40＞35$，符合题意；
当$x=20$时，$70-2x=70-2×20=30$（元），$30＜35$，不符合题意，舍去。
(2) 设方案二中超过5本以上的部分打$y$折销售，购买15本的总付款为前5本的总价加后10本的折后总价，根据实付金额少于600元列不等式：
$50×5+(15-5)×50×\frac{y}{10}＜600$
解不等式得 $y＜7$。
【答案】
(1) 购买书籍的数量为15本；
(2) 书店折扣至少低于七折才能使得实付金额少于600元。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际购物优惠场景出题，需要注意题干中的限制条件（如售价不低于35元/本），求解后要检验结果是否符合实际要求，同时要准确掌握打折类问题的计算方法，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
13. (应用意识)(2026安庆模拟)综合与实践.
【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系.
【素材呈现】
素材1:某商场以每件40元的成本价新进一批小家电,准备采用降价销售的方式尽快售出小家电,获取合理的利润；
素材2:在销售过程中发现,这种小家电的售价定为60元/件时,每天可卖出100件,在此基础上,这种小家电的价格每降低2元,该商场每天可多卖出5件；
素材3:假设该小家电的价格定为x元(40≤x≤60).
【问题解决】
(1)用含x的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是
(2)已知该商场销售这种小家电每天的利润是1 250元,求这种小家电每件的价格；
(3)该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2 500元? 若能,求出这种小家电每件的价格；若不能,请说明理由.
【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系.
【素材呈现】
素材1:某商场以每件40元的成本价新进一批小家电,准备采用降价销售的方式尽快售出小家电,获取合理的利润；
素材2:在销售过程中发现,这种小家电的售价定为60元/件时,每天可卖出100件,在此基础上,这种小家电的价格每降低2元,该商场每天可多卖出5件；
素材3:假设该小家电的价格定为x元(40≤x≤60).
【问题解决】
(1)用含x的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是
$(-\frac{5}{2}x+250)$
件；(2)已知该商场销售这种小家电每天的利润是1 250元,求这种小家电每件的价格；
(3)该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2 500元? 若能,求出这种小家电每件的价格；若不能,请说明理由.
答案
13. (1) $(-\frac{5}{2}x+250)$
(2)解:根据题意,得$(x-40)(-\frac{5}{2}x+250)=1\ 250$,
解得 $x_1=50,x_2=90$(不合题意,舍去).
答:该商场销售这种小家电每天的利润是 1 250 元时,这种小家电每件的价格为 50 元.
(3)解:该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2 500 元.
理由如下:根据题意,得$(x-40)(-\frac{5}{2}x+250)=2\ 500$,
整理,得 $x^2 -140x +5\ 000=0$,
$\because \Delta=(-140)^2 -4×1×5\ 000=-400＜0$,
$\therefore$ 此一元二次方程没有实数根,
$\therefore$ 该商场销售这种小家电每天的利润不能达到 2 500 元.
(2)解:根据题意,得$(x-40)(-\frac{5}{2}x+250)=1\ 250$,
解得 $x_1=50,x_2=90$(不合题意,舍去).
答:该商场销售这种小家电每天的利润是 1 250 元时,这种小家电每件的价格为 50 元.
(3)解:该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2 500 元.
理由如下:根据题意,得$(x-40)(-\frac{5}{2}x+250)=2\ 500$,
整理,得 $x^2 -140x +5\ 000=0$,
$\because \Delta=(-140)^2 -4×1×5\ 000=-400＜0$,
$\therefore$ 此一元二次方程没有实数根,
$\therefore$ 该商场销售这种小家电每天的利润不能达到 2 500 元.
解析
【分析】
（1）求解销售量需先理清销量变化规律：原售价60元时销量为100件，售价每降低2元多卖5件，现售价为x元，先算出售价比60元降低的金额为(60-x)元，再计算降低的金额中包含多少个2元，乘5得到多销售的件数，最后加上原销量100件，化简即可得到销量的代数式。
（2）根据“总利润=每件利润×销售量”的等量关系列方程：每件利润为(x-40)元，销售量为第(1)问得到的代数式，令总利润等于1250列出一元二次方程，求解后结合x的取值范围40≤x≤60舍去不符合题意的根，即可得到正确售价。
（3）先假设利润能达到2500元，按照总利润公式列方程，整理为一元二次方程的一般形式后，计算根的判别式Δ，若Δ≥0则方程有实根，说明利润能达到；若Δ＜0则方程无实根，说明利润不能达到。
【解析】
(1) 当售价为x元时，相比60元降低了(60-x)元，多销售的件数为$\frac{60-x}{2} × 5$，因此总销量为：
$100+\frac{5(60-x)}{2}=-\frac{5}{2}x+250$
(2) 根据总利润的计算公式列方程：
$(x-40)(-\frac{5}{2}x+250)=1250$
整理方程得$x^2-140x+4500=0$，解得$x_1=50,x_2=90$。
因为$40≤ x≤60$，所以$x_2=90$不符合题意，舍去。
(3) 不能达到2500元，理由如下：
假设利润能达到2500元，列方程得：
$(x-40)(-\frac{5}{2}x+250)=2500$
整理得$x^2-140x+5000=0$，计算根的判别式：
$\Delta=(-140)^2-4×1×5000=-400＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，不存在符合条件的售价，所以利润不能达到2500元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\frac{5}{2}x+250}$
(2) 这种小家电每件的价格为50元。
(3) 不能达到，理由是对应一元二次方程无实数根，不存在符合条件的售价。
【知识点】
列代数式、一元二次方程的实际应用、根的判别式的应用
【点评】
本题是贴近生活的销售利润类应用题，解题核心是掌握总利润的计算公式，能结合题意准确列代数式和方程，同时要注意结合实际取值范围筛选方程的根，会用根的判别式判断方程解的存在性，解决“能否达到”类的判断问题。
【难度系数】
0.65
（1）求解销售量需先理清销量变化规律：原售价60元时销量为100件，售价每降低2元多卖5件，现售价为x元，先算出售价比60元降低的金额为(60-x)元，再计算降低的金额中包含多少个2元，乘5得到多销售的件数，最后加上原销量100件，化简即可得到销量的代数式。
（2）根据“总利润=每件利润×销售量”的等量关系列方程：每件利润为(x-40)元，销售量为第(1)问得到的代数式，令总利润等于1250列出一元二次方程，求解后结合x的取值范围40≤x≤60舍去不符合题意的根，即可得到正确售价。
（3）先假设利润能达到2500元，按照总利润公式列方程，整理为一元二次方程的一般形式后，计算根的判别式Δ，若Δ≥0则方程有实根，说明利润能达到；若Δ＜0则方程无实根，说明利润不能达到。
【解析】
(1) 当售价为x元时，相比60元降低了(60-x)元，多销售的件数为$\frac{60-x}{2} × 5$，因此总销量为：
$100+\frac{5(60-x)}{2}=-\frac{5}{2}x+250$
(2) 根据总利润的计算公式列方程：
$(x-40)(-\frac{5}{2}x+250)=1250$
整理方程得$x^2-140x+4500=0$，解得$x_1=50,x_2=90$。
因为$40≤ x≤60$，所以$x_2=90$不符合题意，舍去。
(3) 不能达到2500元，理由如下：
假设利润能达到2500元，列方程得：
$(x-40)(-\frac{5}{2}x+250)=2500$
整理得$x^2-140x+5000=0$，计算根的判别式：
$\Delta=(-140)^2-4×1×5000=-400＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，不存在符合条件的售价，所以利润不能达到2500元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\frac{5}{2}x+250}$
(2) 这种小家电每件的价格为50元。
(3) 不能达到，理由是对应一元二次方程无实数根，不存在符合条件的售价。
【知识点】
列代数式、一元二次方程的实际应用、根的判别式的应用
【点评】
本题是贴近生活的销售利润类应用题，解题核心是掌握总利润的计算公式，能结合题意准确列代数式和方程，同时要注意结合实际取值范围筛选方程的根，会用根的判别式判断方程解的存在性，解决“能否达到”类的判断问题。
【难度系数】
0.65
