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1. 如图，已知$△ ABC ≌ △ DCB$，AB与DC是对应边，$∠ A$与$∠ D$是对应角。请写出其他的对应边与对应角。
答案
AC与DB，BC与CB分别是对应边；∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC分别是对应角。
解析
【分析】
解题时可从两个角度推导对应边与对应角：①根据全等三角形的书写规则，全等符号前后的顶点按顺序一一对应，即△ABC的顶点A、B、C分别对应△DCB的顶点D、C、B，可直接推导对应元素；②结合已知条件辅助验证：已知AB与DC是对应边、∠A与∠D是对应角，再利用“公共边一定是对应边”“对应边所对的角是对应角”的规律，即可找到剩余的对应边和对应角。
【解析】
∵△ABC≌△DCB，已知AB与DC为对应边，∠A与∠D为对应角，
1. 找对应边：
BC是两个三角形的公共边，因此BC与CB是对应边；
剩余的一组边AC和DB为对应边。
2. 找对应角：
∠ABC所对的边是AC，∠DCB所对的边是DB，AC与DB是对应边，因此∠ABC与∠DCB是对应角；
∠ACB所对的边是AB，∠DBC所对的边是DC，AB与DC是对应边，因此∠ACB与∠DBC是对应角。
【答案】
AC与DB，BC与CB分别是对应边；∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC分别是对应角。
【知识点】
全等三角形对应元素识别；公共边性质
【点评】
本题是全等三角形的基础题型，主要考查对应边、对应角的识别能力，掌握按全等书写顺序确定对应顶点，结合公共边、边与角的对应关系判断的方法，就能快速解题，是学习全等三角形相关知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
解题时可从两个角度推导对应边与对应角：①根据全等三角形的书写规则，全等符号前后的顶点按顺序一一对应，即△ABC的顶点A、B、C分别对应△DCB的顶点D、C、B，可直接推导对应元素；②结合已知条件辅助验证：已知AB与DC是对应边、∠A与∠D是对应角，再利用“公共边一定是对应边”“对应边所对的角是对应角”的规律，即可找到剩余的对应边和对应角。
【解析】
∵△ABC≌△DCB，已知AB与DC为对应边，∠A与∠D为对应角，
1. 找对应边：
BC是两个三角形的公共边，因此BC与CB是对应边；
剩余的一组边AC和DB为对应边。
2. 找对应角：
∠ABC所对的边是AC，∠DCB所对的边是DB，AC与DB是对应边，因此∠ABC与∠DCB是对应角；
∠ACB所对的边是AB，∠DBC所对的边是DC，AB与DC是对应边，因此∠ACB与∠DBC是对应角。
【答案】
AC与DB，BC与CB分别是对应边；∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC分别是对应角。
【知识点】
全等三角形对应元素识别；公共边性质
【点评】
本题是全等三角形的基础题型，主要考查对应边、对应角的识别能力，掌握按全等书写顺序确定对应顶点，结合公共边、边与角的对应关系判断的方法，就能快速解题，是学习全等三角形相关知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
【典型例题2】如图，$△ ABD ≌ △ CDB$，$∠ CBD ≠ ∠ CDB$，下面四个结论中，不正确的是 （）
A.$△ ABD$ 和 $△ CDB$ 的面积相等
B.$△ ABD$ 和 $△ CDB$ 的周长相等
C.$∠ A + ∠ ABD = ∠ C + ∠ CBD$
D.$AD // BC$，且 $AD = BC$
课后作业
A.$△ ABD$ 和 $△ CDB$ 的面积相等
B.$△ ABD$ 和 $△ CDB$ 的周长相等
C.$∠ A + ∠ ABD = ∠ C + ∠ CBD$
D.$AD // BC$，且 $AD = BC$
课后作业
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要回忆全等三角形的核心性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，且周长、面积都相等。我们先根据$△ ABD≌△ CDB$确定所有对应边和对应角，再逐个验证四个选项是否正确，即可找到不正确的结论。
首先确定对应关系：$△ ABD$和$△ CDB$的公共边BD是对应边，因此对应边为$AB=CD$，$AD=BC$，$BD=DB$；对应角为$∠ A=∠ C$，$∠ ABD=∠ CDB$，$∠ ADB=∠ CBD$。接下来逐一分析选项：
1. 全等三角形面积必然相等，可判断A正误；
2. 全等三角形三边对应相等，因此周长之和相等，可判断B正误；
3. 由$∠ A=∠ C$，要判断$∠ A+∠ ABD$和$∠ C+∠ CBD$是否相等，只需判断$∠ ABD$和$∠ CBD$是否相等，结合已知$∠ CBD≠∠ CDB$，而$∠ ABD=∠ CDB$，即可推导该式是否成立，判断C正误；
4. 由对应角$∠ ADB=∠ CBD$，这两个角是AD、BC被BD所截的内错角，内错角相等则两直线平行，结合对应边$AD=BC$即可判断D正误。
【解析】
已知$△ ABD≌△ CDB$，根据全等三角形的性质可得：
对应边相等：$AB=CD$，$AD=BC$，$BD=DB$；
对应角相等：$∠ A=∠ C$，$∠ ABD=∠ CDB$，$∠ ADB=∠ CBD$。
选项A：全等三角形的面积相等，因此$△ ABD$和$△ CDB$面积相等，A结论正确，不符合题意；
选项B：全等三角形对应边相等，因此两个三角形的三边和（周长）相等，B结论正确，不符合题意；
选项C：$\because ∠ A=∠ C$，$\therefore ∠ A+∠ ABD=∠ C+∠ ABD$，又$\because ∠ ABD=∠ CDB$，且题目给出$∠ CBD≠∠ CDB$，$\therefore ∠ ABD≠∠ CBD$，因此$∠ A+∠ ABD≠∠ C+∠ CBD$，C结论错误，符合题意；
选项D：$\because ∠ ADB=∠ CBD$，内错角相等，两直线平行，$\therefore AD// BC$，又对应边$AD=BC$，D结论正确，不符合题意。
综上，不正确的结论是C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确找准全等三角形的对应边、对应角，结合已知条件逐一推导验证选项，注意不要混淆对应角的位置，避免错判。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要回忆全等三角形的核心性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，且周长、面积都相等。我们先根据$△ ABD≌△ CDB$确定所有对应边和对应角，再逐个验证四个选项是否正确，即可找到不正确的结论。
首先确定对应关系：$△ ABD$和$△ CDB$的公共边BD是对应边，因此对应边为$AB=CD$，$AD=BC$，$BD=DB$；对应角为$∠ A=∠ C$，$∠ ABD=∠ CDB$，$∠ ADB=∠ CBD$。接下来逐一分析选项：
1. 全等三角形面积必然相等，可判断A正误；
2. 全等三角形三边对应相等，因此周长之和相等，可判断B正误；
3. 由$∠ A=∠ C$，要判断$∠ A+∠ ABD$和$∠ C+∠ CBD$是否相等，只需判断$∠ ABD$和$∠ CBD$是否相等，结合已知$∠ CBD≠∠ CDB$，而$∠ ABD=∠ CDB$，即可推导该式是否成立，判断C正误；
4. 由对应角$∠ ADB=∠ CBD$，这两个角是AD、BC被BD所截的内错角，内错角相等则两直线平行，结合对应边$AD=BC$即可判断D正误。
【解析】
已知$△ ABD≌△ CDB$，根据全等三角形的性质可得：
对应边相等：$AB=CD$，$AD=BC$，$BD=DB$；
对应角相等：$∠ A=∠ C$，$∠ ABD=∠ CDB$，$∠ ADB=∠ CBD$。
选项A：全等三角形的面积相等，因此$△ ABD$和$△ CDB$面积相等，A结论正确，不符合题意；
选项B：全等三角形对应边相等，因此两个三角形的三边和（周长）相等，B结论正确，不符合题意；
选项C：$\because ∠ A=∠ C$，$\therefore ∠ A+∠ ABD=∠ C+∠ ABD$，又$\because ∠ ABD=∠ CDB$，且题目给出$∠ CBD≠∠ CDB$，$\therefore ∠ ABD≠∠ CBD$，因此$∠ A+∠ ABD≠∠ C+∠ CBD$，C结论错误，符合题意；
选项D：$\because ∠ ADB=∠ CBD$，内错角相等，两直线平行，$\therefore AD// BC$，又对应边$AD=BC$，D结论正确，不符合题意。
综上，不正确的结论是C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确找准全等三角形的对应边、对应角，结合已知条件逐一推导验证选项，注意不要混淆对应角的位置，避免错判。
【难度系数】
0.7
1. 下列图形是由四个小正方形和两个阴影三角形组成的,且每个三角形的一个顶点在小正方形边的中点处,另外两个顶点与小正方形边的两个端点重合,则属于全等形的是 (
① ② ③ ④
【解析】两个全等三角形的面积、周长均相等,选项 A,B 中结论正确;因为$△ ABD≌△ CDB$,所以$∠ A=∠ C,∠ ABD=∠ CDB$,所以$∠ A + ∠ ABD = ∠ C + ∠ CDB≠∠ C+∠ CBD$,故选项 C 中结论不正确;因为$△ ABD≌△ CDB$,所以$AD=BC,∠ ADB=∠ CBD$,所以$AD// BC$,故选项 D 中结论正确.
【答案】C
【规律方法】 全等三角形的对应边或对应角相等是证明线段相等、角相等,计算线段的长度、角的大小的重要依据,在运用这个性质时,要结合图形或根据表达式中字母的对应位置,灵活地找准对应边与对应角,牢牢抓住“对应”二字.
D
)① ② ③ ④
【解析】两个全等三角形的面积、周长均相等,选项 A,B 中结论正确;因为$△ ABD≌△ CDB$,所以$∠ A=∠ C,∠ ABD=∠ CDB$,所以$∠ A + ∠ ABD = ∠ C + ∠ CDB≠∠ C+∠ CBD$,故选项 C 中结论不正确;因为$△ ABD≌△ CDB$,所以$AD=BC,∠ ADB=∠ CBD$,所以$AD// BC$,故选项 D 中结论正确.
【答案】C
【规律方法】 全等三角形的对应边或对应角相等是证明线段相等、角相等,计算线段的长度、角的大小的重要依据,在运用这个性质时,要结合图形或根据表达式中字母的对应位置,灵活地找准对应边与对应角,牢牢抓住“对应”二字.
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个图中的两个阴影三角形是全等形，首先明确全等三角形的判定方法，我们可以设小正方形的边长为单位1，借助勾股定理分别计算每个图中两个阴影三角形的各条边的长度，再看是否满足三边对应相等（SSS判定），即可判断是否为全等形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，则小正方形边的中点分边所得线段长为0.5，结合勾股定理计算各阴影三角形的边长：
1. 图①：左侧阴影三角形三边长为1、$\sqrt{0.5^2+1^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$、$\frac{\sqrt{5}}{2}$；右侧阴影三角形与左侧三角形高不相等，面积不同，因此不全等。
2. 图②：两个阴影三角形对应角不相等，边长不全部对应相等，因此不全等。
3. 图③：两个阴影三角形的边长不对应相等，因此不全等。
4. 图④：两个阴影三角形的三边长均为1、$\frac{\sqrt{5}}{2}$、$\frac{\sqrt{5}}{2}$，三边对应相等，根据SSS全等判定定理，这两个三角形是全等形。
综上，符合要求的是④，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形判定、勾股定理、全等形定义
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时可通过设单位长度简化计算，结合勾股定理求出三角形各边长，再用SSS判定定理验证即可，注意不要仅凭视觉印象判断，要通过计算确认对应边、对应角是否相等。
【难度系数】
0.7
要判断哪个图中的两个阴影三角形是全等形，首先明确全等三角形的判定方法，我们可以设小正方形的边长为单位1，借助勾股定理分别计算每个图中两个阴影三角形的各条边的长度，再看是否满足三边对应相等（SSS判定），即可判断是否为全等形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，则小正方形边的中点分边所得线段长为0.5，结合勾股定理计算各阴影三角形的边长：
1. 图①：左侧阴影三角形三边长为1、$\sqrt{0.5^2+1^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$、$\frac{\sqrt{5}}{2}$；右侧阴影三角形与左侧三角形高不相等，面积不同，因此不全等。
2. 图②：两个阴影三角形对应角不相等，边长不全部对应相等，因此不全等。
3. 图③：两个阴影三角形的边长不对应相等，因此不全等。
4. 图④：两个阴影三角形的三边长均为1、$\frac{\sqrt{5}}{2}$、$\frac{\sqrt{5}}{2}$，三边对应相等，根据SSS全等判定定理，这两个三角形是全等形。
综上，符合要求的是④，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形判定、勾股定理、全等形定义
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时可通过设单位长度简化计算，结合勾股定理求出三角形各边长，再用SSS判定定理验证即可，注意不要仅凭视觉印象判断，要通过计算确认对应边、对应角是否相等。
【难度系数】
0.7
2.如图，$△ ABC ≌ △ DEC$，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作$AF ⊥ CD$，垂足为点F，若$∠ BCE = 65°$，则$∠ CAF$的度数为
业·测评
A.①和③
B.①和④
C.②和③
D.②和④
25°
。业·测评
A.①和③
B.①和④
C.②和③
D.②和④
答案
25° 【解析】因为$△ABC≌△DEC$,所以$∠ACB=∠DCE$,所以$∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE$,即$∠BCE=∠ACD=65°$. 因为$AF⊥CD$,所以$∠AFD=90°$,所以$∠CAF+∠ACD=90°$,所以$∠CAF=90°-65°=25°$.
解析
【分析】
解题时先从已知的全等三角形条件入手，根据全等三角形对应角相等的性质，可得∠ACB与∠DCE相等；两个相等的角同时减去公共角∠ACE，即可推出∠ACD和已知的∠BCE度数相等；再结合AF垂直CD的条件，可知△AFC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠ACD的度数就能求出∠CAF的度数。
【解析】
∵△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB - ∠ACE = ∠DCE - ∠ACE，即∠ACD=∠BCE，
∵∠BCE=65°，
∴∠ACD=65°，
∵AF⊥CD，垂足为F，
∴∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠CAF + ∠ACD=90°，
∴∠CAF=90° - 65°=25°。
【答案】
25°
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 直角三角形两锐角互余
3. 角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的核心是利用全等三角形的性质推导待求角所在直角三角形的另一个锐角度数，再结合直角三角形的角的关系求解，需要熟练掌握全等三角形的对应关系，准确识别图中角的和差关系。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的全等三角形条件入手，根据全等三角形对应角相等的性质，可得∠ACB与∠DCE相等；两个相等的角同时减去公共角∠ACE，即可推出∠ACD和已知的∠BCE度数相等；再结合AF垂直CD的条件，可知△AFC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠ACD的度数就能求出∠CAF的度数。
【解析】
∵△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB - ∠ACE = ∠DCE - ∠ACE，即∠ACD=∠BCE，
∵∠BCE=65°，
∴∠ACD=65°，
∵AF⊥CD，垂足为F，
∴∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠CAF + ∠ACD=90°，
∴∠CAF=90° - 65°=25°。
【答案】
25°
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 直角三角形两锐角互余
3. 角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的核心是利用全等三角形的性质推导待求角所在直角三角形的另一个锐角度数，再结合直角三角形的角的关系求解，需要熟练掌握全等三角形的对应关系，准确识别图中角的和差关系。
【难度系数】
0.8
2. 两个全等三角形如图所示，图中的字母表示三角形的边，则∠1的度数为 （
A.$30°$
B.$31°$
C.$32°$
D.$33°$
D
）A.$30°$
B.$31°$
C.$32°$
D.$33°$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心知识点：一是三角形内角和为180°，二是全等三角形的对应角相等。第一步先计算左侧已知两个内角的三角形的第三个内角；第二步根据两个全等三角形的边的标注，确定∠1的对应角就是刚才算出的第三个内角，二者相等即可求出∠1的度数。
【解析】
首先根据三角形内角和定理，计算左侧三角形的第三个内角的度数：
三角形内角和为180°，因此第三个角的度数 = 180° - 117° - 30° = 33°。
已知两个三角形全等，根据全等三角形的性质，对应角相等：观察两个三角形的边的标注可知，∠1与上述算出的33°角是对应角，因此∠1 = 33°。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理、全等三角形的性质
【点评】
这道题是全等三角形性质的基础应用，解题的核心是找准全等三角形的对应角，结合三角形内角和即可快速求解，注意不要弄错角的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个核心知识点：一是三角形内角和为180°，二是全等三角形的对应角相等。第一步先计算左侧已知两个内角的三角形的第三个内角；第二步根据两个全等三角形的边的标注，确定∠1的对应角就是刚才算出的第三个内角，二者相等即可求出∠1的度数。
【解析】
首先根据三角形内角和定理，计算左侧三角形的第三个内角的度数：
三角形内角和为180°，因此第三个角的度数 = 180° - 117° - 30° = 33°。
已知两个三角形全等，根据全等三角形的性质，对应角相等：观察两个三角形的边的标注可知，∠1与上述算出的33°角是对应角，因此∠1 = 33°。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理、全等三角形的性质
【点评】
这道题是全等三角形性质的基础应用，解题的核心是找准全等三角形的对应角，结合三角形内角和即可快速求解，注意不要弄错角的对应关系。
【难度系数】
0.8
