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【典型例题 2】如图，已知一个“L”形薄板，有五个内角为直角，请画出它的重心.
【解】如图 1，延长 DE 交 AB 于点 N，画出长方形 ANEF 与长方形 NBCD 的重心$O_1$和$O_2$，连接$O_1O_2$；
同理，如图 2，延长 FE 交 BC 于点 H，
得到$O_3O_4$，与$O_1O_2$交于点 O，则点 O 即为“L”形薄板的重心.
规律方法 当无法根据平面组合图形的形状直接确定它的重心位置时，我们可以把它分割成已知重心位置的图形来寻找它的重心位置.一般来说，若一个平面图形的重心坐标为$(x,y)$，面积为$S$，被分成$n$个部分的重心坐标分别为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，…，$(x_n,y_n)$，面积分别为$S_1$，$S_2$，…，$S_n$，则 $x=\frac{S_1}{S}x_1+\frac{S_2}{S}x_2+\dots+\frac{S_n}{S}x_n$，$y=\frac{S_1}{S}y_1+\frac{S_2}{S}y_2+\dots+\frac{S_n}{S}y_n$.
【解】如图 1，延长 DE 交 AB 于点 N，画出长方形 ANEF 与长方形 NBCD 的重心$O_1$和$O_2$，连接$O_1O_2$；
同理，如图 2，延长 FE 交 BC 于点 H，
得到$O_3O_4$，与$O_1O_2$交于点 O，则点 O 即为“L”形薄板的重心.
规律方法 当无法根据平面组合图形的形状直接确定它的重心位置时，我们可以把它分割成已知重心位置的图形来寻找它的重心位置.一般来说，若一个平面图形的重心坐标为$(x,y)$，面积为$S$，被分成$n$个部分的重心坐标分别为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，…，$(x_n,y_n)$，面积分别为$S_1$，$S_2$，…，$S_n$，则 $x=\frac{S_1}{S}x_1+\frac{S_2}{S}x_2+\dots+\frac{S_n}{S}x_n$，$y=\frac{S_1}{S}y_1+\frac{S_2}{S}y_2+\dots+\frac{S_n}{S}y_n$.
答案
解：
如图1，延长DE交AB于点N，分别作长方形ANEF和长方形NBCD的两条对角线，得到两个长方形的重心$O_1$、$O_2$，连接$O_1O_2$；
如图2，延长FE交BC于点H，分别作长方形ABHF和长方形EHCD的两条对角线，得到两个长方形的重心$O_3$、$O_4$，连接$O_3O_4$；
直线$O_1O_2$与直线$O_3O_4$的交点O，即为该“L”形薄板的重心。
如图1，延长DE交AB于点N，分别作长方形ANEF和长方形NBCD的两条对角线，得到两个长方形的重心$O_1$、$O_2$，连接$O_1O_2$；
如图2，延长FE交BC于点H，分别作长方形ABHF和长方形EHCD的两条对角线，得到两个长方形的重心$O_3$、$O_4$，连接$O_3O_4$；
直线$O_1O_2$与直线$O_3O_4$的交点O，即为该“L”形薄板的重心。
解析
【分析】
要确定该“L”形不规则薄板的重心，无法直接通过规则图形的重心性质判断，因此采用分割法求解：① 首先将图形分割为两个规则的长方形，长方形的重心是其两条对角线的交点，整个组合图形的重心必然落在两个长方形重心的连线上；② 更换另一种分割方式分割该“L”形，同理得到另一条重心连线；③ 两条连线的交点同时在两条重心线上，即为整个“L”形薄板的重心。
【解析】
步骤1：第一次分割图形，延长DE交AB于点N，将L形分割为长方形ANEF和长方形NBCD；分别作两个长方形的两条对角线，对角线的交点就是对应长方形的重心，记为$O_1$、$O_2$，连接$O_1O_2$，则该L形的重心一定在直线$O_1O_2$上。
步骤2：第二次分割图形，延长FE交BC于点H，将L形分割为长方形ABHF和长方形EHCD；分别作两个长方形的两条对角线，得到对应长方形的重心$O_3$、$O_4$，连接$O_3O_4$，则该L形的重心也一定在直线$O_3O_4$上。
步骤3：直线$O_1O_2$和直线$O_3O_4$的交点O，同时在两条重心连线上，就是该“L”形薄板的重心。
【答案】
如图1，延长DE交AB于点N，分别作长方形ANEF和长方形NBCD的两条对角线，得到两个长方形的重心$O_1$、$O_2$，连接$O_1O_2$；
如图2，延长FE交BC于点H，分别作长方形ABHF和长方形EHCD的两条对角线，得到两个长方形的重心$O_3$、$O_4$，连接$O_3O_4$；
直线$O_1O_2$与直线$O_3O_4$的交点O，即为该“L”形薄板的重心。
【知识点】
1. 长方形重心性质
2. 组合图形重心求解
3. 两直线交点应用
【点评】
本题考查不规则匀质平面图形重心的求解，核心是运用转化思想，将不规则图形分割为已知重心求法的规则长方形，通过两次不同分割得到的重心连线的交点确定最终重心，方法简单易操作，实用性较强。
【难度系数】
0.7
要确定该“L”形不规则薄板的重心，无法直接通过规则图形的重心性质判断，因此采用分割法求解：① 首先将图形分割为两个规则的长方形，长方形的重心是其两条对角线的交点，整个组合图形的重心必然落在两个长方形重心的连线上；② 更换另一种分割方式分割该“L”形，同理得到另一条重心连线；③ 两条连线的交点同时在两条重心线上，即为整个“L”形薄板的重心。
【解析】
步骤1：第一次分割图形，延长DE交AB于点N，将L形分割为长方形ANEF和长方形NBCD；分别作两个长方形的两条对角线，对角线的交点就是对应长方形的重心，记为$O_1$、$O_2$，连接$O_1O_2$，则该L形的重心一定在直线$O_1O_2$上。
步骤2：第二次分割图形，延长FE交BC于点H，将L形分割为长方形ABHF和长方形EHCD；分别作两个长方形的两条对角线，得到对应长方形的重心$O_3$、$O_4$，连接$O_3O_4$，则该L形的重心也一定在直线$O_3O_4$上。
步骤3：直线$O_1O_2$和直线$O_3O_4$的交点O，同时在两条重心连线上，就是该“L”形薄板的重心。
【答案】
如图1，延长DE交AB于点N，分别作长方形ANEF和长方形NBCD的两条对角线，得到两个长方形的重心$O_1$、$O_2$，连接$O_1O_2$；
如图2，延长FE交BC于点H，分别作长方形ABHF和长方形EHCD的两条对角线，得到两个长方形的重心$O_3$、$O_4$，连接$O_3O_4$；
直线$O_1O_2$与直线$O_3O_4$的交点O，即为该“L”形薄板的重心。
【知识点】
1. 长方形重心性质
2. 组合图形重心求解
3. 两直线交点应用
【点评】
本题考查不规则匀质平面图形重心的求解，核心是运用转化思想，将不规则图形分割为已知重心求法的规则长方形，通过两次不同分割得到的重心连线的交点确定最终重心，方法简单易操作，实用性较强。
【难度系数】
0.7
2. 如图,请利用坐标或面积比确定凹六边形 OABCDE 的重心位置.
答案
如图,把凹六边形 OABCDE 分成上、下两个长方形,则它们的重心坐标分别为 M(2,3),N(3,1),面积比为 2:3,所以凹六边形 OABCDE 的重心 P 在线段 MN 上,且 MP:PN=3:2,故重心 P 的坐标为(2.6,1.8)。
解析
【分析】
求解匀质凹多边形的重心，可采用分割法将不规则图形转化为规则图形求解：第一步先观察图形特征，沿水平线y=2将凹六边形OABCDE分割为上下两个长方形；第二步分别求两个长方形的重心（长方形的重心为其对角线交点，即图形中心，可通过坐标中点计算）；第三步计算两个长方形的面积比；第四步根据匀质物体重心规律：整体重心在两个分重心的连线上，且分线段的比与两部分面积成反比，即可计算得到整体重心的坐标。
【解析】
1. 图形分割：沿y=2将凹六边形分为上下两个长方形：
上方长方形：顶点为(0,2)、E(0,4)、D(4,4)、C(4,2)，长为4，宽为2；
下方长方形：顶点为O(0,0)、A(6,0)、B(6,2)、(0,2)，长为6，宽为2。
2. 求两个长方形的重心坐标：
长方形重心为其中心，即横、纵坐标分别为对应边长的中点：
上方长方形重心M：横坐标=(0+4)÷2=2，纵坐标=(2+4)÷2=3，即M(2,3)；
下方长方形重心N：横坐标=(0+6)÷2=3，纵坐标=(0+2)÷2=1，即N(3,1)。
3. 计算面积比：
上方长方形面积S₁=4×2=8，下方长方形面积S₂=6×2=12，故S₁:S₂=8:12=2:3。
4. 求整体重心P的坐标：
匀质薄板的整体重心P在线段MN上，且MP:PN=S₂:S₁=3:2（力矩平衡下，重心分线段的比与两部分面积成反比）。
计算坐标：
横坐标：(2×2 + 3×3)÷(3+2)=13÷5=2.6
纵坐标：(3×2 + 1×3)÷(3+2)=9÷5=1.8
即重心P的坐标为(2.6,1.8)。
【答案】
如图,把凹六边形 OABCDE 分成上、下两个长方形,则它们的重心坐标分别为 M(2,3),N(3,1),面积比为 2:3,所以凹六边形 OABCDE 的重心 P 在线段 MN 上,且 MP:PN=3:2,故重心 P 的坐标为(2.6,1.8)。
【知识点】
1. 分割法求重心
2. 长方形重心性质
3. 坐标运算
【点评】
本题考查不规则匀质图形的重心求解，核心是运用转化思想将不规则图形分割为规则的长方形，结合重心的平衡性质进行计算，能够有效锻炼学生的数形结合能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
求解匀质凹多边形的重心，可采用分割法将不规则图形转化为规则图形求解：第一步先观察图形特征，沿水平线y=2将凹六边形OABCDE分割为上下两个长方形；第二步分别求两个长方形的重心（长方形的重心为其对角线交点，即图形中心，可通过坐标中点计算）；第三步计算两个长方形的面积比；第四步根据匀质物体重心规律：整体重心在两个分重心的连线上，且分线段的比与两部分面积成反比，即可计算得到整体重心的坐标。
【解析】
1. 图形分割：沿y=2将凹六边形分为上下两个长方形：
上方长方形：顶点为(0,2)、E(0,4)、D(4,4)、C(4,2)，长为4，宽为2；
下方长方形：顶点为O(0,0)、A(6,0)、B(6,2)、(0,2)，长为6，宽为2。
2. 求两个长方形的重心坐标：
长方形重心为其中心，即横、纵坐标分别为对应边长的中点：
上方长方形重心M：横坐标=(0+4)÷2=2，纵坐标=(2+4)÷2=3，即M(2,3)；
下方长方形重心N：横坐标=(0+6)÷2=3，纵坐标=(0+2)÷2=1，即N(3,1)。
3. 计算面积比：
上方长方形面积S₁=4×2=8，下方长方形面积S₂=6×2=12，故S₁:S₂=8:12=2:3。
4. 求整体重心P的坐标：
匀质薄板的整体重心P在线段MN上，且MP:PN=S₂:S₁=3:2（力矩平衡下，重心分线段的比与两部分面积成反比）。
计算坐标：
横坐标：(2×2 + 3×3)÷(3+2)=13÷5=2.6
纵坐标：(3×2 + 1×3)÷(3+2)=9÷5=1.8
即重心P的坐标为(2.6,1.8)。
【答案】
如图,把凹六边形 OABCDE 分成上、下两个长方形,则它们的重心坐标分别为 M(2,3),N(3,1),面积比为 2:3,所以凹六边形 OABCDE 的重心 P 在线段 MN 上,且 MP:PN=3:2,故重心 P 的坐标为(2.6,1.8)。
【知识点】
1. 分割法求重心
2. 长方形重心性质
3. 坐标运算
【点评】
本题考查不规则匀质图形的重心求解，核心是运用转化思想将不规则图形分割为规则的长方形，结合重心的平衡性质进行计算，能够有效锻炼学生的数形结合能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
1. 找重心.
(1)如图1,请画出长方形ABCD的重心O;
(2)如图2,请建立适当的坐标系,并对长方形ABCD各顶点赋值,写出长方形ABCD的重心O的坐标.
(1)如图1,请画出长方形ABCD的重心O;
(2)如图2,请建立适当的坐标系,并对长方形ABCD各顶点赋值,写出长方形ABCD的重心O的坐标.
答案
(1)如图,连接AC,BD,交于点O,点O即为长方形ABCD的重心。
(2)以A为原点,AD所在直线为y轴,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略),取A(0,0),B(6,0),C(6,4),D(0,4),则长方形ABCD的重心O的坐标为(3,2).(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 匀质规则几何图形的重心与它的几何中心重合，长方形属于中心对称图形，两条对角线的交点就是它的对称中心（几何中心），因此只要作出长方形的两条对角线，交点就是所求重心。
(2) 建立平面直角坐标系时，可选择长方形的顶点为原点，相邻两边为坐标轴简化坐标赋值；重心是对角线的交点，也就是对角线的中点，代入中点坐标公式即可求出重心坐标，各顶点赋值不唯一，计算合理即可。
【解析】
(1) 长方形是匀质规则图形，重心为其几何中心，即对角线的交点：连接对角线AC、BD，两条对角线的交点O就是长方形ABCD的重心。
(2) 第一步：建立坐标系，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系；
第二步：给各顶点赋值，取A(0,0)，B(6,0)，C(6,4)，D(0,4)（赋值合理即可）；
第三步：计算重心坐标，重心O是对角线AC的中点，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，代入A(0,0)和C(6,4)，得O的坐标为$(\frac{0+6}{2},\frac{0+4}{2})=(3,2)$。若选择其他赋值方式，按对应中点计算即可。
【答案】
(1)如图,连接AC,BD,交于点O,点O即为长方形ABCD的重心。
(2)以A为原点,AD所在直线为y轴,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略),取A(0,0),B(6,0),C(6,4),D(0,4),则长方形ABCD的重心O的坐标为(3,2).(答案不唯一)
【知识点】
1. 规则图形重心确定
2. 平面直角坐标系建立
3. 中点坐标计算
【点评】
本题结合重心的性质考查了长方形的特征与平面直角坐标系的基础应用，解题关键是明确匀质规则图形的重心与几何中心重合，第二问属于开放性题型，选择合适的坐标系可简化计算。
【难度系数】
0.9
(1) 匀质规则几何图形的重心与它的几何中心重合，长方形属于中心对称图形，两条对角线的交点就是它的对称中心（几何中心），因此只要作出长方形的两条对角线，交点就是所求重心。
(2) 建立平面直角坐标系时，可选择长方形的顶点为原点，相邻两边为坐标轴简化坐标赋值；重心是对角线的交点，也就是对角线的中点，代入中点坐标公式即可求出重心坐标，各顶点赋值不唯一，计算合理即可。
【解析】
(1) 长方形是匀质规则图形，重心为其几何中心，即对角线的交点：连接对角线AC、BD，两条对角线的交点O就是长方形ABCD的重心。
(2) 第一步：建立坐标系，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系；
第二步：给各顶点赋值，取A(0,0)，B(6,0)，C(6,4)，D(0,4)（赋值合理即可）；
第三步：计算重心坐标，重心O是对角线AC的中点，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，代入A(0,0)和C(6,4)，得O的坐标为$(\frac{0+6}{2},\frac{0+4}{2})=(3,2)$。若选择其他赋值方式，按对应中点计算即可。
【答案】
(1)如图,连接AC,BD,交于点O,点O即为长方形ABCD的重心。
(2)以A为原点,AD所在直线为y轴,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略),取A(0,0),B(6,0),C(6,4),D(0,4),则长方形ABCD的重心O的坐标为(3,2).(答案不唯一)
【知识点】
1. 规则图形重心确定
2. 平面直角坐标系建立
3. 中点坐标计算
【点评】
本题结合重心的性质考查了长方形的特征与平面直角坐标系的基础应用，解题关键是明确匀质规则图形的重心与几何中心重合，第二问属于开放性题型，选择合适的坐标系可简化计算。
【难度系数】
0.9
2.如图，已知四边形ABCD，求作四边形ABCD的重心.
答案
如图,点O即为四边形ABCD的重心。
解析
【分析】
我们已经掌握三角形重心是三条中线的交点，求四边形重心可通过分割转化为三角形重心问题求解：匀质四边形的重心必然在其分割出的任意两个三角形的重心连线上，因此我们可以先连接一条对角线将四边形分为两个三角形，作出两三角形的重心并连线；再连接另一条对角线分割四边形，同样作出对应两个三角形的重心并连线，两条连线的交点即为四边形的重心。
【解析】
作法如下：
1. 连接对角线AC，将四边形ABCD分为△ADC和△ABC；
2. 分别作△ADC三条中线，交点O₁是△ADC的重心；作△ABC三条中线，交点O₂是△ABC的重心，连接O₁O₂；
3. 连接对角线BD，将四边形ABCD分为△ABD和△BCD；
4. 分别作△ABD三条中线，交点O₃是△ABD的重心；作△BCD三条中线，交点O₄是△BCD的重心，连接O₃O₄；
5. O₁O₂与O₃O₄的交点O就是四边形ABCD的重心。
【答案】
如图,点O即为四边形ABCD的重心。
【知识点】
三角形重心，图形分割，尺规作图
【点评】
本题通过将四边形分割为三角形，把未知的四边形重心问题转化为已学的三角形重心问题，体现了转化的数学思想，作图时要注意三角形中线绘制准确，保证交点位置正确。
【难度系数】
0.7
我们已经掌握三角形重心是三条中线的交点，求四边形重心可通过分割转化为三角形重心问题求解：匀质四边形的重心必然在其分割出的任意两个三角形的重心连线上，因此我们可以先连接一条对角线将四边形分为两个三角形，作出两三角形的重心并连线；再连接另一条对角线分割四边形，同样作出对应两个三角形的重心并连线，两条连线的交点即为四边形的重心。
【解析】
作法如下：
1. 连接对角线AC，将四边形ABCD分为△ADC和△ABC；
2. 分别作△ADC三条中线，交点O₁是△ADC的重心；作△ABC三条中线，交点O₂是△ABC的重心，连接O₁O₂；
3. 连接对角线BD，将四边形ABCD分为△ABD和△BCD；
4. 分别作△ABD三条中线，交点O₃是△ABD的重心；作△BCD三条中线，交点O₄是△BCD的重心，连接O₃O₄；
5. O₁O₂与O₃O₄的交点O就是四边形ABCD的重心。
【答案】
如图,点O即为四边形ABCD的重心。
【知识点】
三角形重心，图形分割，尺规作图
【点评】
本题通过将四边形分割为三角形，把未知的四边形重心问题转化为已学的三角形重心问题，体现了转化的数学思想，作图时要注意三角形中线绘制准确，保证交点位置正确。
【难度系数】
0.7
