1. 在$\frac{π}{3},3.14,\frac{22}{7},0.\dot{3},-0.101\ 001···$（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数为（）。

A.1
B.2
C.3
D.4

1. B

【分析】
解题首先要明确无理数和有理数的定义，有理数包括整数、分数，对应的小数形式是有限小数或者无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见的无理数类型有含π的代数式、有规律但不循环的无限小数、开方开不尽的数。接下来我们逐个判断给出的每个数的属性，统计无理数的个数即可。
【解析】
解：首先明确定义：无限不循环小数为无理数，有限小数、无限循环小数、整数、分数都属于有理数。
逐个判断各数：
1. $\frac{π}{3}$：π本身是无限不循环小数，因此$\frac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；
2. $3.14$：是有限小数，属于有理数；
3. $\frac{22}{7}$：是分数，属于有理数，其小数形式为无限循环小数；
4. $0.\dot{3}$：是无限循环小数，属于有理数；
5. $-0.101\ 001···$（相邻两个1之间0的个数逐次加1）：是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的识别
2. 有理数的概念
【点评】
本题主要考查实数分类中无理数和有理数的区分，易错点是容易将近似表示π的分数$\frac{22}{7}$误认为是无理数，解题时牢记无理数是无限不循环小数的本质即可快速判断。
【难度系数】
0.8

2. 下列分类错误的是()。

A.实数可分为正实数和负实数
B.实数可分为正实数、负实数和零
C.实数可分为有理数和无理数
D.无限小数可分为无限循环小数和无限不循环小数

2. A

【分析】
本题为选非题，考查数的分类相关概念，解题思路如下：首先回忆实数的两种分类标准（按性质符号分类、按定义分类），以及无限小数的分类规则，再将每个选项的分类内容和标准分类逐一比对，找出分类不完整或不符合规则的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：实数按性质符号（正负性）分类时，包含正实数、0、负实数三类，本选项遗漏了特殊值0，分类不完整，表述错误；
B选项：实数按正负性可分为正实数、负实数和零，分类符合标准，表述正确；
C选项：实数按定义可分为有理数（可表示为两个整数的比值，包含有限小数和无限循环小数）和无理数（无限不循环小数），分类符合标准，表述正确；
D选项：无限小数按照是否存在循环节，可分为无限循环小数和无限不循环小数，分类符合标准，表述正确。
综上，分类错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
实数的分类；无限小数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考察分类的严谨性，分类时要注意标准统一，不能遗漏特殊的分界数值，熟记相关分类定义即可快速答题。
【难度系数】
0.85

3. 和数轴上的点一一对应的是()。

A.整数
B.无理数
C.实数
D.有理数

3. C

【分析】
首先明确“一一对应”的含义：每个数都能在数轴上找到唯一的点，反过来数轴上的每个点也都对应唯一的一个数。我们已经学过有理数和无理数统称为实数，整数、有理数、无理数都只是实数的一部分，只能对应数轴上的部分点，只有全部实数才能和数轴上的所有点形成一一对应关系，再据此逐个排除错误选项即可。
【解析】
1. 明确数集范围：整数属于有理数，有理数和无理数共同组成实数。
2. 判断对应关系：数轴上的点既可以表示有理数（如2、$\frac{1}{3}$），也可以表示无理数（如$\sqrt{2}$、$π$），同时每一个实数都能在数轴上找到唯一的点来表示，因此实数和数轴上的点是一一对应的。
3. 排除错误选项：A选项整数、B选项无理数、D选项有理数都只是实数的一部分，无法和数轴上所有点一一对应，因此均错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 实数与数轴的对应关系
2. 实数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对实数和数轴对应关系的记忆与理解，熟练掌握相关概念即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9

4. 若$m,n$都是无理数，且$m+n=5$，请写出一组满足条件的$m,n$的值：$m=$，$n=$。

4. $5+π$ $-π$（答案不唯一）

【分析】
本题是开放性题目，解题核心是利用“两个无理数相加结果为有理数”的特征构造数值。我们可以先确定一个无理数作为两数的无理部分，让两个数的无理部分互为相反数，这样相加时无理部分会抵消，再保证剩余的有理数部分之和为5即可。
【解析】
无理数是无限不循环小数，常见的无理数类型有含π的数、开方开不尽的算术平方根等。
要满足$m+n=5$且$m、n$均为无理数，我们可以选取π作为无理部分：
令$m$的无理部分为$π$，有理数部分为5，即$m=5+π$，
则$n=5-m=5-(5+π)=-π$。
验证：$5+π$和$-π$都是无理数，且$(5+π)+(-π)=5$，符合题意。
也可选取其他无理部分构造，例如$m=1+\sqrt{2}$，$n=4-\sqrt{2}$等，均满足要求。
【答案】
$5+π$；$-π$（答案不唯一）
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 实数的加法运算
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对无理数概念的掌握和实数运算的灵活应用，解题的关键是明确两个无理数相加得有理数时，其无理部分互为相反数，答案不唯一，思维灵活度较高。
【难度系数】
0.8

5. $π -1$的相反数为________，$|3 - π|=\_\_\_\_\_\_$，$π$的倒数为________。

5. $1-π$ $π-3$ $\frac{1}{π}$

【分析】
解题时需分别结合相反数、绝对值、倒数的相关定义逐一计算：①求一个数的相反数，只需在该数整体前添加负号，再化简即可；②求带绝对值的式子，先判断绝对值内表达式的正负性，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”化简；③求非零数的倒数，直接用1除以这个数即可。
【解析】
1. 求$π-1$的相反数：
根据相反数的定义：$a$的相反数为$-a$，因此$π-1$的相反数为$-(π-1)=1-π$。
2. 求$|3-π|$的值：
已知$π\approx3.14＞3$，因此$3-π＜0$。
根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，因此$|3-π|=-(3-π)=π-3$。
3. 求$π$的倒数：
根据倒数的定义：非零数$a$的倒数为$\frac{1}{a}$，$π$是不为0的实数，因此$π$的倒数为$\frac{1}{π}$。
【答案】
$1-π$；$π-3$；$\frac{1}{π}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；倒数的定义
【点评】
本题考查实数相关的基础概念，解题核心是熟练掌握相反数、绝对值、倒数的定义与运算规则，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.9

6. $a$，$b$ 两个实数在数轴上的对应点如图2-1-6所示。

用“$＜$”或“$＞$”填空：
(1)$a$ $b$；
(2)$|a|$ $|b|$；
(3)$a+b$ $0$；
(4)$a-b$ $0$；
(5)$a+b$ $a-b$；
(6)$ab$ $a$。

6. (1) $＞$ (2) $＜$ (3) $＜$ (4) $＞$ (5) $＜$ (6) $＜$

【分析】
首先观察数轴可得：数轴上右侧的数大于左侧的数，因此$b＜0＜a$；同时$b$到原点的距离大于$a$到原点的距离，因此$|b|＞|a|$。接下来结合这两个结论，分别利用数轴比较大小的规则、绝对值的几何意义、有理数加减乘法的符号法则逐个判断各小问的大小关系即可。
【解析】
由数轴可知：$ b＜0＜a $，且$ |b|＞|a| $。
(1) 数轴上右边的数总大于左边的数，$ a $在$ b $的右侧，因此$ a＞b $；
(2) 绝对值表示数轴上的点到原点的距离，$ b $离原点更远，因此$ |a|＜|b| $；
(3) 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，$ |b|＞|a| $且$ b $为负数，因此$ a+b＜0 $；
(4) $ a-b=a+(-b) $，因为$ b＜0 $，所以$ -b＞0 $，正数加正数结果为正，因此$ a-b＞0 $；
(5) 两个式子同时减去$ a $，只需比较$ b $和$ -b $的大小：$ b＜0 $则$ -b＞0 $，因此$ b＜-b $，可得$ a+b ＜ a-b $；
(6) 正数乘负数结果为负数，因此$ ab＜0 $，又因为$ a＞0 $，负数小于正数，因此$ ab ＜ a $。
【答案】
(1) $ ＞ $ (2) $ ＜ $ (3) $ ＜ $ (4) $ ＞ $ (5) $ ＜ $ (6) $ ＜ $
【知识点】
数轴的应用；绝对值的意义；有理数运算法则
【点评】
本题是数轴与有理数性质的综合基础题，解题的核心是先从数轴提取出两个数的正负性、绝对值大小关系，再结合有理数的运算性质和大小比较规则判断即可，掌握基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8

7. 在数轴上(如图 2-1-7)画出表示下列各数的点，并用“＜”连接起来。
$2\frac{1}{2}, -1.5, 0, 2, \frac{1}{3}$。

7. 解:如答图 2-1-2 所示。

$-1.5＜0＜\frac{1}{3}＜2＜2\frac{1}{2}$。

【分析】
解决本题可分两个步骤思考：第一步要掌握用数轴表示数的方法，先根据数的正负判断其在原点的左侧或右侧，再结合数的大小确定它距离原点的长度，从而找到对应点的位置；第二步要利用数轴比较有理数大小的规律：数轴上左边的数始终小于右边的数，将标注好的数按从左到右的顺序用“＜”连接即可。
【解析】
1. 定位各数对应的数轴位置：
$-1.5$是负数，在原点左侧，处于$-2$和$-1$的中点位置；
$0$对应数轴的原点；
$\frac{1}{3}$是正分数，在原点右侧，将0到1的线段平均分为3份，靠近0的第一个分点就是$\frac{1}{3}$的位置；
$2$对应数轴上刻度为2的点；
$2\frac{1}{2}$是正分数，在原点右侧，处于2和3的中点位置。
2. 在数轴上对应位置标注各数，标注结果如答图所示。
3. 根据“数轴上越靠左的数越小”的规律，从左到右排列各数，即可得到大小关系。
【答案】
如答图2-1-2所示。

$-1.5＜0＜\frac{1}{3}＜2＜2\frac{1}{2}$
【知识点】
数轴的认识，有理数大小比较，数轴表示数
【点评】
本题是有理数章节的基础题型，重点考查数轴的应用，将抽象的数对应到数轴上直观的点，体现了数形结合的数学思想，熟练掌握该知识点能为后续有理数的相关学习打好基础。
【难度系数】
0.9

8. 如图2-1-8，数轴上有两个正方形，对角线为OB，OD。以O点为圆心，分别以OB，OD为半径画弧，交数轴于A，C点，则数轴上点A，C对应a，b，c中的哪个实数？请说明理由。（其中$a^2=2,b^2=5,c^2=8$）

图2-1-8

8. 解:点 A 对应$a$,点 C 对应$c$。
理由:由勾股定理得 $OB^2=1^2+1^2=2,OD^2=2^2+2^2=8$,
所以点 A 对应的数为$a$,点 C 对应的数为$c$。

【分析】
解题时首先明确：以O为圆心画弧时，同圆的半径相等，因此OA=OB、OC=OD，要确定A、C对应的数，只需要求出OB、OD的长度平方，再和题目给出的a²、b²、c²对比即可。第一步先确定两个正方形的边长：小正方形边长为1个单位长度，大正方形边长为2个单位长度；第二步用勾股定理分别计算OB、OD的平方；第三步将计算结果和已知的a²、b²、c²匹配，就能得到对应关系。
【解析】
解：
∵ 以O为圆心，OB、OD为半径画弧交数轴于A、C，
∴ 同圆半径相等，可得OA=OB，OC=OD。
观察图形可知，边长为1的正方形对角线为OB，根据勾股定理：
$OB^2=1^2+1^2=2$，
已知$a^2=2$，因此点A对应的数为a。
边长为2的正方形对角线为OD，根据勾股定理：
$OD^2=2^2+2^2=8$，
已知$c^2=8$，因此点C对应的数为c。
【答案】
点A对应$a$，点C对应$c$。
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质，数轴与实数对应
【点评】
本题是典型的数形结合类题目，将几何图形性质和实数的概念结合考查，解题的核心是抓住同圆半径相等的性质，再利用勾股定理计算对角线长度的平方，即可快速匹配对应的实数。
【难度系数】
0.8