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8. 图2-1-3是一个4阶魔方，表面积为288。易知图中的四边形ABCD是一个正方形，求该正方形的面积。
图2-1-3
图2-1-3
答案
8. 解:因为魔方的表面积为288，
所以魔方每个面的面积为$288÷6=48$。
所以每个小正方形的面积为$48÷16=3$。
所以 $S_{正方形ABCD}=10\ S_{小正方形}=30$。
所以魔方每个面的面积为$288÷6=48$。
所以每个小正方形的面积为$48÷16=3$。
所以 $S_{正方形ABCD}=10\ S_{小正方形}=30$。
解析
【分析】
解题首先利用正方体6个面面积相等的特征，由总表面积求出单个面的面积；再结合4阶魔方每个面由4×4=16个相同小正方形组成，求出单个小正方形的面积；最后通过割补法得到正方形ABCD对应的小正方形数量，和单个小正方形面积相乘即可得到最终结果。
【解析】
解：魔方为正方体，共有6个完全相同的面，已知其表面积为288：
1. 计算魔方单个面的面积：$288÷6=48$
2. 4阶魔方每个面被平均分为$4×4=16$个大小一致的小正方形，计算单个小正方形的面积：$48÷16=3$
3. 观察正方形ABCD，通过割补法可得出它的面积等于10个小正方形的面积之和，因此正方形ABCD的面积为：$10×3=30$
【答案】
30
【知识点】
正方体表面积计算；正方形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题结合生活中的魔方场景考查图形面积计算，解题核心是将倾斜放置的正方形面积转化为已知的小正方形面积之和，灵活运用转化思想即可快速求解，需要注意准确确认所求正方形对应的小正方形总数量。
【难度系数】
0.7
解题首先利用正方体6个面面积相等的特征，由总表面积求出单个面的面积；再结合4阶魔方每个面由4×4=16个相同小正方形组成，求出单个小正方形的面积；最后通过割补法得到正方形ABCD对应的小正方形数量，和单个小正方形面积相乘即可得到最终结果。
【解析】
解：魔方为正方体，共有6个完全相同的面，已知其表面积为288：
1. 计算魔方单个面的面积：$288÷6=48$
2. 4阶魔方每个面被平均分为$4×4=16$个大小一致的小正方形，计算单个小正方形的面积：$48÷16=3$
3. 观察正方形ABCD，通过割补法可得出它的面积等于10个小正方形的面积之和，因此正方形ABCD的面积为：$10×3=30$
【答案】
30
【知识点】
正方体表面积计算；正方形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题结合生活中的魔方场景考查图形面积计算，解题核心是将倾斜放置的正方形面积转化为已知的小正方形面积之和，灵活运用转化思想即可快速求解，需要注意准确确认所求正方形对应的小正方形总数量。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 某数值转换器原理如图2-1-4所示。
图2-1-4
(1)若输入的正方形的面积S为12,求输出的边长。
(2)若输入一个S,恰好经过三次判断是不是有理数后输出5,则输入的S是多少?
(3)若输入一个两位数S,恰好经过三次判断是不是有理数后输出,则输入的S最大值、最小值分别为多少?
9. 某数值转换器原理如图2-1-4所示。
图2-1-4
(1)若输入的正方形的面积S为12,求输出的边长。
(2)若输入一个S,恰好经过三次判断是不是有理数后输出5,则输入的S是多少?
(3)若输入一个两位数S,恰好经过三次判断是不是有理数后输出,则输入的S最大值、最小值分别为多少?
答案
9. (1) 输出的边长为4。
(2) 输入的S是23。
(3) 输入的S最小值为14,输入的S最大值为98。
(2) 输入的S是23。
(3) 输入的S最小值为14,输入的S最大值为98。
解析
【分析】
该数值转换器的运算规则为：输入正方形面积S后，先计算边长为$\sqrt{S}$，若$\sqrt{S}$是有理数则直接输出；若为无理数，将面积加1后再次计算边长判断，直到边长为有理数时输出。
(1) 输入$S=12$时，依次计算每次的边长，直到得到有理数即可；
(2) 经过3次判断后输出5，说明第三次判断的边长为5（对应面积为$5^2=25$），前两次判断的边长均为无理数，倒推前两次的面积即可得到输入的S；
(3) 恰好三次判断后输出，说明$\sqrt{S}$、$\sqrt{S+1}$均为无理数，$\sqrt{S+2}$为有理数，且S是两位数，找到符合条件的S的最大、最小值即可。
【解析】
(1) 当输入$S=12$时：
第一次判断：边长为$\sqrt{12}$，是无理数，面积变为$12+1=13$；
第二次判断：边长为$\sqrt{13}$，是无理数，面积变为$13+1=14$；
第三次判断：边长为$\sqrt{14}$，是无理数，面积变为$14+1=15$；
第四次判断：边长为$\sqrt{15}$，是无理数，面积变为$15+1=16$；
第五次判断：边长为$\sqrt{16}=4$，是有理数，输出边长4。
(2) 最终输出边长为5，因此第三次判断时对应的面积为$5^2=25$，边长5为有理数。
因为恰好经过3次判断，前两次判断的边长均为无理数：
第二次判断时的面积为$25-1=24$，$\sqrt{24}$是无理数，符合要求；
第一次判断时的面积为$24-1=23$，$\sqrt{23}$是无理数，符合要求，即输入的$S=23$。
(3) 恰好经过三次判断后输出，满足以下条件：
① 第三次判断时边长为有理数，即$S+2$是完全平方数；
② 第一次判断$\sqrt{S}$是无理数，第二次判断$\sqrt{S+1}$是无理数；
③ S是两位数，即$10≤ S≤99$，因此$12≤ S+2≤101$。
12到101之间的完全平方数有：16、25、36、49、64、81、100。
求S最小值：取最小的符合条件的完全平方数16，此时$S=16-2=14$，验证得$\sqrt{14}$、$\sqrt{15}$均为无理数，$\sqrt{16}$为有理数，符合要求，是最小值；
求S最大值：取最大的符合条件的完全平方数100，此时$S=100-2=98$，验证得$\sqrt{98}$、$\sqrt{99}$均为无理数，$\sqrt{100}$为有理数，符合要求，是最大值。
【答案】
(1) 输出的边长为4。
(2) 输入的S是23。
(3) 输入的S最小值为14，最大值为98。
【知识点】
算术平方根的定义；实数的分类；完全平方数
【点评】
本题结合流程图考查实数的相关概念，解题核心是读懂转换器的运算规则，可灵活使用正向计算或逆向推导的方法求解，解题时要注意“恰好经过三次判断”的条件限制，避免判断次数计数错误。
【难度系数】
0.6
该数值转换器的运算规则为：输入正方形面积S后，先计算边长为$\sqrt{S}$，若$\sqrt{S}$是有理数则直接输出；若为无理数，将面积加1后再次计算边长判断，直到边长为有理数时输出。
(1) 输入$S=12$时，依次计算每次的边长，直到得到有理数即可；
(2) 经过3次判断后输出5，说明第三次判断的边长为5（对应面积为$5^2=25$），前两次判断的边长均为无理数，倒推前两次的面积即可得到输入的S；
(3) 恰好三次判断后输出，说明$\sqrt{S}$、$\sqrt{S+1}$均为无理数，$\sqrt{S+2}$为有理数，且S是两位数，找到符合条件的S的最大、最小值即可。
【解析】
(1) 当输入$S=12$时：
第一次判断：边长为$\sqrt{12}$，是无理数，面积变为$12+1=13$；
第二次判断：边长为$\sqrt{13}$，是无理数，面积变为$13+1=14$；
第三次判断：边长为$\sqrt{14}$，是无理数，面积变为$14+1=15$；
第四次判断：边长为$\sqrt{15}$，是无理数，面积变为$15+1=16$；
第五次判断：边长为$\sqrt{16}=4$，是有理数，输出边长4。
(2) 最终输出边长为5，因此第三次判断时对应的面积为$5^2=25$，边长5为有理数。
因为恰好经过3次判断，前两次判断的边长均为无理数：
第二次判断时的面积为$25-1=24$，$\sqrt{24}$是无理数，符合要求；
第一次判断时的面积为$24-1=23$，$\sqrt{23}$是无理数，符合要求，即输入的$S=23$。
(3) 恰好经过三次判断后输出，满足以下条件：
① 第三次判断时边长为有理数，即$S+2$是完全平方数；
② 第一次判断$\sqrt{S}$是无理数，第二次判断$\sqrt{S+1}$是无理数；
③ S是两位数，即$10≤ S≤99$，因此$12≤ S+2≤101$。
12到101之间的完全平方数有：16、25、36、49、64、81、100。
求S最小值：取最小的符合条件的完全平方数16，此时$S=16-2=14$，验证得$\sqrt{14}$、$\sqrt{15}$均为无理数，$\sqrt{16}$为有理数，符合要求，是最小值；
求S最大值：取最大的符合条件的完全平方数100，此时$S=100-2=98$，验证得$\sqrt{98}$、$\sqrt{99}$均为无理数，$\sqrt{100}$为有理数，符合要求，是最大值。
【答案】
(1) 输出的边长为4。
(2) 输入的S是23。
(3) 输入的S最小值为14，最大值为98。
【知识点】
算术平方根的定义；实数的分类；完全平方数
【点评】
本题结合流程图考查实数的相关概念，解题核心是读懂转换器的运算规则，可灵活使用正向计算或逆向推导的方法求解，解题时要注意“恰好经过三次判断”的条件限制，避免判断次数计数错误。
【难度系数】
0.6
10. 图2-1-5①是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，我们可以把它剪开后拼成一个大正方形。
(1)图2-1-5①中拼成的大正方形的面积是
(2)如图2-1-5②所示的网格中有一个由8个小正方形组成的图形(实线部分)，你能仿照图2-1-5①，将它剪开并拼成一个正方形吗？请在网格中画出示意图。
图2-1-5
(1)图2-1-5①中拼成的大正方形的面积是
5
；(2)如图2-1-5②所示的网格中有一个由8个小正方形组成的图形(实线部分)，你能仿照图2-1-5①，将它剪开并拼成一个正方形吗？请在网格中画出示意图。
图2-1-5
答案
10. (1) 5
(2) 能。如
所示。解析
【分析】
(1) 解决第一问的核心是抓住图形剪拼前后总面积不变的特点：先计算原有5个小正方形的总面积，剪拼过程不改变图形总面积，即可直接得到大正方形的面积。
(2) 解决第二问的思路和第一问一致：首先计算8个小正方形的总面积，得到剪拼后大正方形的面积，再根据正方形面积公式算出大正方形的边长为$2\sqrt{2}$，该长度恰好是网格中直角边长为2的等腰直角三角形的斜边长，参照图①的剪拼思路，沿对应对角线裁剪后拼接即可得到目标正方形。
【解析】
(1) 已知每个小正方形边长为1，单个小正方形的面积为$1×1=1$。
图形剪拼前后总面积不变，5个小正方形的总面积为$5×1=5$，因此拼成的大正方形面积为5。
(2) 原图形共8个小正方形，总面积为$8×1=8$，因此剪拼后正方形的面积为8，边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，对应网格中2×2小正方形组成的大正方形的对角线长度，按照示例方法裁剪拼接即可得到符合要求的正方形。
【答案】
(1) 5
(2) 能。如所示。
【知识点】
面积守恒规律，正方形面积计算，勾股定理
【点评】
本题结合图形剪拼的实践场景，考查学生对面积不变性质的运用，同时需要结合勾股定理确定剪拼后正方形的边长，能够有效锻炼学生的空间想象能力和探究思维。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问的核心是抓住图形剪拼前后总面积不变的特点：先计算原有5个小正方形的总面积，剪拼过程不改变图形总面积，即可直接得到大正方形的面积。
(2) 解决第二问的思路和第一问一致：首先计算8个小正方形的总面积，得到剪拼后大正方形的面积，再根据正方形面积公式算出大正方形的边长为$2\sqrt{2}$，该长度恰好是网格中直角边长为2的等腰直角三角形的斜边长，参照图①的剪拼思路，沿对应对角线裁剪后拼接即可得到目标正方形。
【解析】
(1) 已知每个小正方形边长为1，单个小正方形的面积为$1×1=1$。
图形剪拼前后总面积不变，5个小正方形的总面积为$5×1=5$，因此拼成的大正方形面积为5。
(2) 原图形共8个小正方形，总面积为$8×1=8$，因此剪拼后正方形的面积为8，边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，对应网格中2×2小正方形组成的大正方形的对角线长度，按照示例方法裁剪拼接即可得到符合要求的正方形。
【答案】
(1) 5
(2) 能。如
所示。【知识点】
面积守恒规律，正方形面积计算，勾股定理
【点评】
本题结合图形剪拼的实践场景，考查学生对面积不变性质的运用，同时需要结合勾股定理确定剪拼后正方形的边长，能够有效锻炼学生的空间想象能力和探究思维。
【难度系数】
0.7
