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二、拓展性作业
9. 数学课上，鹏鹏提出了一个问题：无限循环小数如何转化成分数形式？
老师以 $0.\dot{3}$（注：$0.\dot{3}$ 即 $0.333\ 333···$）为例，给同学们做了以下解答引导：
设 $0.\dot{3}$ 为 $x$，即 $0.3\dot{3}=x$，
等式两边乘10，得 $3.\dot{3}=10x$，
即 $3 + 0.\dot{3}=10x$，因为 $0.\dot{3}=x$，所以 $3 + x=10x$，解得 $x=\frac{1}{3}$，即 $0.\dot{3}=\frac{1}{3}$。
因为分数是有理数，所以 $0.\dot{3}$ 是有理数。同学们，你们学会了吗？
请根据上述阅读，解决下列问题：
(1) 无限循环小数 $0.\dot{2}$ 写成分数的形式是
(2) 将 $0.\dot{2}\dot{1}$ 写成分数的形式。
9. 数学课上，鹏鹏提出了一个问题：无限循环小数如何转化成分数形式？
老师以 $0.\dot{3}$（注：$0.\dot{3}$ 即 $0.333\ 333···$）为例，给同学们做了以下解答引导：
设 $0.\dot{3}$ 为 $x$，即 $0.3\dot{3}=x$，
等式两边乘10，得 $3.\dot{3}=10x$，
即 $3 + 0.\dot{3}=10x$，因为 $0.\dot{3}=x$，所以 $3 + x=10x$，解得 $x=\frac{1}{3}$，即 $0.\dot{3}=\frac{1}{3}$。
因为分数是有理数，所以 $0.\dot{3}$ 是有理数。同学们，你们学会了吗？
请根据上述阅读，解决下列问题：
(1) 无限循环小数 $0.\dot{2}$ 写成分数的形式是
$\frac{2}{9}$
；(2) 将 $0.\dot{2}\dot{1}$ 写成分数的形式。
答案
9. (1) $\frac{2}{9}$
(2)解:设 $0.\dot{2}\dot{1}$ 为 $x$,即 $0.21\dot{2}\dot{1}=x$,
等式两边乘 100,得 $21.\dot{2}\dot{1}=100x$,
即 $21+0.\dot{2}\dot{1}=100x$,因为 $0.\dot{2}\dot{1}=x$,所以 $21+x=100x$,
解得 $x=\frac{7}{33}$,即 $0.\dot{2}\dot{1}=\frac{7}{33}$。
(2)解:设 $0.\dot{2}\dot{1}$ 为 $x$,即 $0.21\dot{2}\dot{1}=x$,
等式两边乘 100,得 $21.\dot{2}\dot{1}=100x$,
即 $21+0.\dot{2}\dot{1}=100x$,因为 $0.\dot{2}\dot{1}=x$,所以 $21+x=100x$,
解得 $x=\frac{7}{33}$,即 $0.\dot{2}\dot{1}=\frac{7}{33}$。
解析
【分析】
本题属于材料迁移类题型，解题核心是仿照题干给出的无限循环小数转分数的方法，借助一元一次方程求解。首先观察循环节的位数：若循环节有n位，就将原数乘$10^n$，使乘完后数的小数部分与原数的小数部分完全相同，再通过“原数=x”的替换消去无限循环的小数部分，转化为普通一元一次方程，解出x即为对应分数。
(1)中$0.\dot{2}$的循环节是1位，因此乘10即可；(2)中$0.\dot{2}\dot{1}$的循环节是2位，因此乘100即可。
【解析】
(1) 设$0.\dot{2}=x$，等式两边乘10，得：
$2.\dot{2}=10x$
即$2 + 0.\dot{2}=10x$，将$0.\dot{2}=x$代入得：
$2 + x=10x$
移项合并同类项得$9x=2$，解得$x=\frac{2}{9}$。
(2) 设$0.\dot{2}\dot{1}=x$，即$0.21\dot{2}\dot{1}=x$，等式两边乘100，得：
$21.\dot{2}\dot{1}=100x$
即$21 + 0.\dot{2}\dot{1}=100x$，将$0.\dot{2}\dot{1}=x$代入得：
$21 + x=100x$
移项合并同类项得$99x=21$，约分后解得$x=\frac{7}{33}$。
【答案】
(1) $\frac{2}{9}$
(2) $\frac{7}{33}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 无限循环小数化分数
3. 等式的性质
【点评】
本题考查阅读理解和知识迁移能力，解题关键是掌握示例的转化逻辑，根据循环节位数确定扩大的倍数，通过列方程消去无限循环部分即可求解，解题思路清晰，方法固定。
【难度系数】
0.8
本题属于材料迁移类题型，解题核心是仿照题干给出的无限循环小数转分数的方法，借助一元一次方程求解。首先观察循环节的位数：若循环节有n位，就将原数乘$10^n$，使乘完后数的小数部分与原数的小数部分完全相同，再通过“原数=x”的替换消去无限循环的小数部分，转化为普通一元一次方程，解出x即为对应分数。
(1)中$0.\dot{2}$的循环节是1位，因此乘10即可；(2)中$0.\dot{2}\dot{1}$的循环节是2位，因此乘100即可。
【解析】
(1) 设$0.\dot{2}=x$，等式两边乘10，得：
$2.\dot{2}=10x$
即$2 + 0.\dot{2}=10x$，将$0.\dot{2}=x$代入得：
$2 + x=10x$
移项合并同类项得$9x=2$，解得$x=\frac{2}{9}$。
(2) 设$0.\dot{2}\dot{1}=x$，即$0.21\dot{2}\dot{1}=x$，等式两边乘100，得：
$21.\dot{2}\dot{1}=100x$
即$21 + 0.\dot{2}\dot{1}=100x$，将$0.\dot{2}\dot{1}=x$代入得：
$21 + x=100x$
移项合并同类项得$99x=21$，约分后解得$x=\frac{7}{33}$。
【答案】
(1) $\frac{2}{9}$
(2) $\frac{7}{33}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 无限循环小数化分数
3. 等式的性质
【点评】
本题考查阅读理解和知识迁移能力，解题关键是掌握示例的转化逻辑，根据循环节位数确定扩大的倍数，通过列方程消去无限循环部分即可求解，解题思路清晰，方法固定。
【难度系数】
0.8
10. 综合与探究:数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系,揭示了数与点之间的内在联系,是“数形结合”的基础。如图2-1-9,小明在一条长方形纸带上画了一条数轴,进行以下操作探究:
(1)操作1:折叠图2-1-9①中纸带,使数轴上表示1的点与表示-1的点重合,则表示-3.5的点与表示数
(2)操作2:折叠图2-1-9①中纸带,使数轴上表示1的点与表示3的点重合,则数轴上表示-2的点与表示数
(3)操作3:图2-1-9①所示的纸带按图2-1-9②所示向左折叠(纸带折痕右面的部分比左面的部分短),剪掉不重叠部分,不重叠部分的纸带长度为a,将重叠部分按图2-1-9③所标注的剪切处剪切,得到三条长度相等的纸带,请直接写出图2-1-9③剪切处对应的点所表示的数:
(1)操作1:折叠图2-1-9①中纸带,使数轴上表示1的点与表示-1的点重合,则表示-3.5的点与表示数
$3.5$
的点重合;(2)操作2:折叠图2-1-9①中纸带,使数轴上表示1的点与表示3的点重合,则数轴上表示-2的点与表示数
$6$
的点重合,表示数m的点与表示数$4-m$
的点重合(用含m的代数式表示);(3)操作3:图2-1-9①所示的纸带按图2-1-9②所示向左折叠(纸带折痕右面的部分比左面的部分短),剪掉不重叠部分,不重叠部分的纸带长度为a,将重叠部分按图2-1-9③所标注的剪切处剪切,得到三条长度相等的纸带,请直接写出图2-1-9③剪切处对应的点所表示的数:
$3+\frac{a}{3}$或$1+\frac{2a}{3}$
。(用含a的代数式表示)答案
10. (1) 3.5 (2) 6 $4-m$ (3) $3+\frac{a}{3}$或$1+\frac{2a}{3}$
解析
【分析】
(1) 折叠数轴时，重合的两点关于折痕对称，折痕对应两点的中点。操作1中1和-1重合，中点是原点，因此互为相反数的点重合，直接找-3.5的相反数即可。
(2) 操作2中1和3重合，先求出中点即对称中心为2，重合的两点到2的距离相等，据此计算-2的对称点，再推导m的对称点的代数式。
(3) 先算原纸带总长度，剪掉不重叠部分a后，剩余重叠部分剪成3段等长纸带，求出每段长度，再分两种剪切位置计算对应点表示的数即可。
【解析】
(1) 因为表示1的点与表示-1的点重合，所以折痕对应的点是$\frac{1+(-1)}{2}=0$，即原点。设与-3.5重合的点为$x$，则$\frac{-3.5+x}{2}=0$，解得$x=3.5$。
(2) 因为表示1的点与表示3的点重合，所以折痕对应的点是$\frac{1+3}{2}=2$。
① 设与-2重合的点为$y$，则$\frac{-2+y}{2}=2$，解得$y=6$。
② 设与$m$重合的点为$z$，则$\frac{m+z}{2}=2$，解得$z=4-m$。
(3) 原纸带对应数轴上-1到5的区间，总长度为$5-(-1)=6$。剪掉长度为$a$的不重叠部分后，剩余可剪切的重叠部分总长度为$6-a$，剪成3条等长纸带，每条长度为$\frac{6-a}{3}$。
分两种情况：
第一种，剪切处靠近折痕右侧：对应点为$5-\frac{6-a}{3}=3+\frac{a}{3}$；
第二种，剪切处远离折痕右侧：对应点为$5-2×\frac{6-a}{3}=1+\frac{2a}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3.5}$
(2) $\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{4-m}$
(3) $\boldsymbol{3+\frac{a}{3}}$或$\boldsymbol{1+\frac{2a}{3}}$
【知识点】
数轴的应用；折叠的性质；数轴上两点距离
【点评】
本题考查数轴与折叠结合的探究类问题，核心是利用折叠的对称性找到对称中心，结合数轴上两点距离公式求解，最后一问需要注意分类讨论剪切的两种不同位置，避免漏解，较好地考查了数形结合和分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
(1) 折叠数轴时，重合的两点关于折痕对称，折痕对应两点的中点。操作1中1和-1重合，中点是原点，因此互为相反数的点重合，直接找-3.5的相反数即可。
(2) 操作2中1和3重合，先求出中点即对称中心为2，重合的两点到2的距离相等，据此计算-2的对称点，再推导m的对称点的代数式。
(3) 先算原纸带总长度，剪掉不重叠部分a后，剩余重叠部分剪成3段等长纸带，求出每段长度，再分两种剪切位置计算对应点表示的数即可。
【解析】
(1) 因为表示1的点与表示-1的点重合，所以折痕对应的点是$\frac{1+(-1)}{2}=0$，即原点。设与-3.5重合的点为$x$，则$\frac{-3.5+x}{2}=0$，解得$x=3.5$。
(2) 因为表示1的点与表示3的点重合，所以折痕对应的点是$\frac{1+3}{2}=2$。
① 设与-2重合的点为$y$，则$\frac{-2+y}{2}=2$，解得$y=6$。
② 设与$m$重合的点为$z$，则$\frac{m+z}{2}=2$，解得$z=4-m$。
(3) 原纸带对应数轴上-1到5的区间，总长度为$5-(-1)=6$。剪掉长度为$a$的不重叠部分后，剩余可剪切的重叠部分总长度为$6-a$，剪成3条等长纸带，每条长度为$\frac{6-a}{3}$。
分两种情况：
第一种，剪切处靠近折痕右侧：对应点为$5-\frac{6-a}{3}=3+\frac{a}{3}$；
第二种，剪切处远离折痕右侧：对应点为$5-2×\frac{6-a}{3}=1+\frac{2a}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3.5}$
(2) $\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{4-m}$
(3) $\boldsymbol{3+\frac{a}{3}}$或$\boldsymbol{1+\frac{2a}{3}}$
【知识点】
数轴的应用；折叠的性质；数轴上两点距离
【点评】
本题考查数轴与折叠结合的探究类问题，核心是利用折叠的对称性找到对称中心，结合数轴上两点距离公式求解，最后一问需要注意分类讨论剪切的两种不同位置，避免漏解，较好地考查了数形结合和分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
