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1.4的算术平方根是(
A.$\pm 2$
B.$-2$
C.$2$
D.$\sqrt{2}$
C
)。A.$\pm 2$
B.$-2$
C.$2$
D.$\sqrt{2}$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先要明确算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个正数x就是a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。我们可以先排除不符合非负要求的选项，再找平方等于4的正数即可得到答案。第一步：先看选项，A带正负号是平方根的结果，B是负数，均不符合算术平方根非负的要求，直接排除；第二步：计算可知$2^2=4$，所以4的算术平方根是2，对应选项C。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$满足$x^2=a$，则$x$叫做$a$的算术平方根，算术平方根的结果为非负数。
因为$2^2=4$，且$2$是正数，符合算术平方根的定义，因此4的算术平方根是2。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；平方根与算术平方根的区分
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，误选带正负号的选项，只要牢记算术平方根的结果是非负数，就能轻松选出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个正数x就是a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。我们可以先排除不符合非负要求的选项，再找平方等于4的正数即可得到答案。第一步：先看选项，A带正负号是平方根的结果，B是负数，均不符合算术平方根非负的要求，直接排除；第二步：计算可知$2^2=4$，所以4的算术平方根是2，对应选项C。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$满足$x^2=a$，则$x$叫做$a$的算术平方根，算术平方根的结果为非负数。
因为$2^2=4$，且$2$是正数，符合算术平方根的定义，因此4的算术平方根是2。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；平方根与算术平方根的区分
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，误选带正负号的选项，只要牢记算术平方根的结果是非负数，就能轻松选出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 下面说法正确的是(
A.算术平方根等于它本身的数是0
B.$-4$的算术平方根是2
C.9的算术平方根是$\pm 3$
D.$(-2)^2$的算术平方根是2
D
)。A.算术平方根等于它本身的数是0
B.$-4$的算术平方根是2
C.9的算术平方根是$\pm 3$
D.$(-2)^2$的算术平方根是2
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查算术平方根的相关概念，解题时需先明确算术平方根的核心性质：①只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根；②一个非负数的算术平方根一定是非负的（0或正数）。接下来我们结合以上性质逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
首先明确算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，规定0的算术平方根是0。
选项A：算术平方根等于它本身的数有0和1（$1^2=1$，1的算术平方根是1），故A错误；
选项B：-4是负数，负数没有算术平方根，故B错误；
选项C：9的算术平方根是正的平方根即3，$\pm3$是9的平方根，不是算术平方根，故C错误；
选项D：先计算$(-2)^2=4$，4的算术平方根是2，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义；有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是区分算术平方根和平方根的差异，牢记算术平方根的非负性以及负数没有算术平方根的性质，熟练掌握相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查算术平方根的相关概念，解题时需先明确算术平方根的核心性质：①只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根；②一个非负数的算术平方根一定是非负的（0或正数）。接下来我们结合以上性质逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
首先明确算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，规定0的算术平方根是0。
选项A：算术平方根等于它本身的数有0和1（$1^2=1$，1的算术平方根是1），故A错误；
选项B：-4是负数，负数没有算术平方根，故B错误；
选项C：9的算术平方根是正的平方根即3，$\pm3$是9的平方根，不是算术平方根，故C错误；
选项D：先计算$(-2)^2=4$，4的算术平方根是2，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义；有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是区分算术平方根和平方根的差异，牢记算术平方根的非负性以及负数没有算术平方根的性质，熟练掌握相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.3的算术平方根是
$\sqrt{3}$
；若a的算术平方根是4，则a=16
。答案
3. $\sqrt{3}$ 16
解析
【分析】
解题的核心是掌握算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$（$a≥0$），则x叫做a的算术平方根，记为$\sqrt{a}$。求解第一空时，直接根据定义写出3的算术平方根即可；求解第二空时，已知a的算术平方根是4，将等式两边同时平方即可求出a的值。
【解析】
1. 求3的算术平方根：
根据算术平方根的定义，正数3的算术平方根是平方后等于3的非负数，即$\sqrt{3}$。
2. 求a的值：
已知a的算术平方根是4，可得$\sqrt{a}=4$，等式两边同时平方得：
$a=4^2=16$
【答案】
$\sqrt{3}$；16
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 算术平方根的运算
【点评】
本题是算术平方根相关的基础题，主要考查对概念的理解和简单运算，解题时注意算术平方根的结果为非负数，不要和平方根的概念混淆。
【难度系数】
0.9
解题的核心是掌握算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$（$a≥0$），则x叫做a的算术平方根，记为$\sqrt{a}$。求解第一空时，直接根据定义写出3的算术平方根即可；求解第二空时，已知a的算术平方根是4，将等式两边同时平方即可求出a的值。
【解析】
1. 求3的算术平方根：
根据算术平方根的定义，正数3的算术平方根是平方后等于3的非负数，即$\sqrt{3}$。
2. 求a的值：
已知a的算术平方根是4，可得$\sqrt{a}=4$，等式两边同时平方得：
$a=4^2=16$
【答案】
$\sqrt{3}$；16
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 算术平方根的运算
【点评】
本题是算术平方根相关的基础题，主要考查对概念的理解和简单运算，解题时注意算术平方根的结果为非负数，不要和平方根的概念混淆。
【难度系数】
0.9
4. 若$\sqrt{x-3}+(x+y-2)^2=0$，则$x-y$的算术平方根是
2
。答案
4. 2
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根和完全平方数的结果均为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自的值都为0。据此我们可以列出关于x、y的方程组，求解得到x、y的数值后，先计算x-y的值，再根据算术平方根的定义求出结果即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-3} ≥ 0$，$(x+y-2)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x-3}+(x+y-2)^2=0$
∴由非负数的性质可得：
$\begin{cases}x-3=0 \\x+y-2=0\end{cases}$
解第一个方程得$x=3$，将$x=3$代入第二个方程：
$3 + y - 2 = 0$，解得$y=-1$
∴$x-y=3 - (-1)=4$
∵4的算术平方根为$\sqrt{4}=2$
∴$x-y$的算术平方根是2。
【答案】
2
【知识点】
非负数的性质、算术平方根的定义
【点评】
本题是基础运算题，解题核心是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的规律，结合算术平方根的定义计算即可，注意算术平方根是非负的，不要和平方根的概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根和完全平方数的结果均为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自的值都为0。据此我们可以列出关于x、y的方程组，求解得到x、y的数值后，先计算x-y的值，再根据算术平方根的定义求出结果即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-3} ≥ 0$，$(x+y-2)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x-3}+(x+y-2)^2=0$
∴由非负数的性质可得：
$\begin{cases}x-3=0 \\x+y-2=0\end{cases}$
解第一个方程得$x=3$，将$x=3$代入第二个方程：
$3 + y - 2 = 0$，解得$y=-1$
∴$x-y=3 - (-1)=4$
∵4的算术平方根为$\sqrt{4}=2$
∴$x-y$的算术平方根是2。
【答案】
2
【知识点】
非负数的性质、算术平方根的定义
【点评】
本题是基础运算题，解题核心是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的规律，结合算术平方根的定义计算即可，注意算术平方根是非负的，不要和平方根的概念混淆。
【难度系数】
0.8
5. 计算：$\sqrt{81} =$
9
；$\sqrt{\dfrac{16}{9}} =$ $\dfrac{4}{3}$
；$\sqrt{6\dfrac{1}{4}} =$ $\dfrac{5}{2}$
；$\sqrt{(-3)^2} =$ 3
。答案
5. 9 $\dfrac{4}{3}$ $\dfrac{5}{2}$ 3
解析
【分析】
本题考查算术平方根的基本运算，解题思路如下：首先明确算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则x叫做a的算术平方根，运算结果为非负数。针对不同形式的被开方数分别处理：①整数直接找对应平方数计算；②分数的算术平方根等于分子、分母分别开算术平方根的商；③带分数要先转化为假分数再计算；④被开方数是平方形式的，先计算平方结果，或利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简，保证结果非负。
【解析】
1. 计算$\sqrt{81}$：
因为$9^2=81$，根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{81}=9$；
2. 计算$\sqrt{\dfrac{16}{9}}$：
分数的算术平方根可拆分计算，$\sqrt{\dfrac{16}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}=\dfrac{4}{3}$；
3. 计算$\sqrt{6\dfrac{1}{4}}$：
先将带分数化为假分数：$6\dfrac{1}{4}=\dfrac{25}{4}$，再计算得$\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}=\dfrac{5}{2}$；
4. 计算$\sqrt{(-3)^2}$：
先计算根号内的平方运算：$(-3)^2=9$，再算$\sqrt{9}=3$（或利用性质$\sqrt{a^2}=|a|$，得$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$）。
【答案】
$9$；$\dfrac{4}{3}$；$\dfrac{5}{2}$；$3$
【知识点】
算术平方根计算；二次根式性质；带分数化简
【点评】
本题属于算术平方根的基础运算题，运算时需注意两点：一是算术平方根的结果恒为非负数，不要出现符号错误；二是遇到带分数作为被开方数时，必须先转化为假分数再进行开方运算，避免拆分错误。熟练掌握这类基础运算，是后续学习二次根式相关内容的前提。
【难度系数】
0.85
本题考查算术平方根的基本运算，解题思路如下：首先明确算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则x叫做a的算术平方根，运算结果为非负数。针对不同形式的被开方数分别处理：①整数直接找对应平方数计算；②分数的算术平方根等于分子、分母分别开算术平方根的商；③带分数要先转化为假分数再计算；④被开方数是平方形式的，先计算平方结果，或利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简，保证结果非负。
【解析】
1. 计算$\sqrt{81}$：
因为$9^2=81$，根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{81}=9$；
2. 计算$\sqrt{\dfrac{16}{9}}$：
分数的算术平方根可拆分计算，$\sqrt{\dfrac{16}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}=\dfrac{4}{3}$；
3. 计算$\sqrt{6\dfrac{1}{4}}$：
先将带分数化为假分数：$6\dfrac{1}{4}=\dfrac{25}{4}$，再计算得$\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}=\dfrac{5}{2}$；
4. 计算$\sqrt{(-3)^2}$：
先计算根号内的平方运算：$(-3)^2=9$，再算$\sqrt{9}=3$（或利用性质$\sqrt{a^2}=|a|$，得$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$）。
【答案】
$9$；$\dfrac{4}{3}$；$\dfrac{5}{2}$；$3$
【知识点】
算术平方根计算；二次根式性质；带分数化简
【点评】
本题属于算术平方根的基础运算题，运算时需注意两点：一是算术平方根的结果恒为非负数，不要出现符号错误；二是遇到带分数作为被开方数时，必须先转化为假分数再进行开方运算，避免拆分错误。熟练掌握这类基础运算，是后续学习二次根式相关内容的前提。
【难度系数】
0.85
6. 求下列各数的算术平方根：
(1)13；
(2)49；
(3)$\frac{16}{25}$；
(4)0.64；
(5)$10^{-6}$。
(1)13；
(2)49；
(3)$\frac{16}{25}$；
(4)0.64；
(5)$10^{-6}$。
答案
6. (1) $\sqrt{13}$。
(2) 7。
(3) $\dfrac{4}{5}$。
(4) 0.8。
(5) $10^{-3}$。
(2) 7。
(3) $\dfrac{4}{5}$。
(4) 0.8。
(5) $10^{-3}$。
解析
【分析】
解题前先明确算术平方根的定义：如果一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$（$x≥0$），那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记为$\sqrt{a}$（$a≥0$）。解题时我们可以利用乘方和开方互为逆运算的关系，对每个数找到对应满足条件的非负数即可，若该数无法开得尽有理数平方，直接保留根号形式即可。
【解析】
(1) 不存在有理数的平方等于13，因此13的算术平方根为$\sqrt{13}$；
(2) 因为$7^2=49$，且7是非负数，所以49的算术平方根是7；
(3) 因为$(\dfrac{4}{5})^2=\dfrac{16}{25}$，且$\dfrac{4}{5}$是非负数，所以$\dfrac{16}{25}$的算术平方根是$\dfrac{4}{5}$；
(4) 因为$0.8^2=0.64$，且0.8是非负数，所以0.64的算术平方根是0.8；
(5) 因为$(10^{-3})^2=10^{-6}$，且$10^{-3}$是正数，所以$10^{-6}$的算术平方根是$10^{-3}$。
【答案】
(1) $\sqrt{13}$；(2) 7；(3) $\dfrac{4}{5}$；(4) 0.8；(5) $10^{-3}$
【知识点】
算术平方根的定义；乘方与开方的逆运算；负整数指数幂运算
【点评】
本题是算术平方根的基础考查题，核心是掌握算术平方根的非负性，利用乘方运算逆推即可得到结果，注意开不尽方的数的算术平方根直接用根号表示即可。
【难度系数】
0.85
解题前先明确算术平方根的定义：如果一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$（$x≥0$），那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记为$\sqrt{a}$（$a≥0$）。解题时我们可以利用乘方和开方互为逆运算的关系，对每个数找到对应满足条件的非负数即可，若该数无法开得尽有理数平方，直接保留根号形式即可。
【解析】
(1) 不存在有理数的平方等于13，因此13的算术平方根为$\sqrt{13}$；
(2) 因为$7^2=49$，且7是非负数，所以49的算术平方根是7；
(3) 因为$(\dfrac{4}{5})^2=\dfrac{16}{25}$，且$\dfrac{4}{5}$是非负数，所以$\dfrac{16}{25}$的算术平方根是$\dfrac{4}{5}$；
(4) 因为$0.8^2=0.64$，且0.8是非负数，所以0.64的算术平方根是0.8；
(5) 因为$(10^{-3})^2=10^{-6}$，且$10^{-3}$是正数，所以$10^{-6}$的算术平方根是$10^{-3}$。
【答案】
(1) $\sqrt{13}$；(2) 7；(3) $\dfrac{4}{5}$；(4) 0.8；(5) $10^{-3}$
【知识点】
算术平方根的定义；乘方与开方的逆运算；负整数指数幂运算
【点评】
本题是算术平方根的基础考查题，核心是掌握算术平方根的非负性，利用乘方运算逆推即可得到结果，注意开不尽方的数的算术平方根直接用根号表示即可。
【难度系数】
0.85
7. 在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组$\{x,y,z\}$中，$x,y,z$为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”。
例如，数组$\{2,8,18\}$，计算可得$\sqrt{2×8}=4$，$\sqrt{2×18}=6$，$\sqrt{8×18}=12$，所以它是“和谐数组”。
(1) 判断：$\{1,9,16\}$
(2) 若$\{3,27,a\}$为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求$a$的值。
例如，数组$\{2,8,18\}$，计算可得$\sqrt{2×8}=4$，$\sqrt{2×18}=6$，$\sqrt{8×18}=12$，所以它是“和谐数组”。
(1) 判断：$\{1,9,16\}$
是
“和谐数组”，$\{2,4,8\}$ 不是
“和谐数组”；(均填“是”或“不是”)(2) 若$\{3,27,a\}$为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求$a$的值。
答案
7. 解:(1)是 不是
(2)由新定义可知$\sqrt{3×27}=\sqrt{81}=9$，
若$\sqrt{3a}=18$，即$3a=324$，解得$a=108$，$\sqrt{27×108}=\sqrt{2\ 916}=9×6=54$，符合题意；
若$\sqrt{27a}=18$，即$27a=324$，解得$a=12$，$\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$，符合题意。
所以$a$的值为108或12。
(2)由新定义可知$\sqrt{3×27}=\sqrt{81}=9$，
若$\sqrt{3a}=18$，即$3a=324$，解得$a=108$，$\sqrt{27×108}=\sqrt{2\ 916}=9×6=54$，符合题意；
若$\sqrt{27a}=18$，即$27a=324$，解得$a=12$，$\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$，符合题意。
所以$a$的值为108或12。
解析
【分析】
(1)判断是否为“和谐数组”需严格对照定义，计算数组中任意两个数乘积的算术平方根，若所有结果均为整数则是和谐数组，否则不是。(2)首先计算已知的3和27乘积的算术平方根为9，不等于18，因此算术平方根为18的组合只能是3和a、或27和a，分两种情况列方程求解，最后验证结果是否符合和谐数组要求即可。
【解析】
(1) 对数组$\{1,9,16\}$：
$\sqrt{1×9}=3$，$\sqrt{1×16}=4$，$\sqrt{9×16}=12$，所有结果均为整数，因此是和谐数组；
对数组$\{2,4,8\}$：
$\sqrt{2×4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，结果不是整数，因此不是和谐数组。
(2) 先计算已知两数乘积的算术平方根：$\sqrt{3×27}=\sqrt{81}=9≠18$，因此算术平方根为18的是另外两种组合：
① 若$\sqrt{3a}=18$，两边平方得$3a=324$，解得$a=108$，验证得$\sqrt{27×108}=\sqrt{2916}=54$，是整数，且3、27、108互不相等，符合题意；
② 若$\sqrt{27a}=18$，两边平方得$27a=324$，解得$a=12$，验证得$\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$，是整数，且3、27、12互不相等，符合题意。
【答案】
(1) 是；不是
(2) $a$的值为12或108
【知识点】
算术平方根计算，新定义运算，分类讨论
【点评】
本题以新定义为载体考查算术平方根的应用，解题核心是准确理解新定义的要求，第二问要注意分情况讨论避免漏解，求出结果后需验证是否符合定义规则。
【难度系数】
0.7
(1)判断是否为“和谐数组”需严格对照定义，计算数组中任意两个数乘积的算术平方根，若所有结果均为整数则是和谐数组，否则不是。(2)首先计算已知的3和27乘积的算术平方根为9，不等于18，因此算术平方根为18的组合只能是3和a、或27和a，分两种情况列方程求解，最后验证结果是否符合和谐数组要求即可。
【解析】
(1) 对数组$\{1,9,16\}$：
$\sqrt{1×9}=3$，$\sqrt{1×16}=4$，$\sqrt{9×16}=12$，所有结果均为整数，因此是和谐数组；
对数组$\{2,4,8\}$：
$\sqrt{2×4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，结果不是整数，因此不是和谐数组。
(2) 先计算已知两数乘积的算术平方根：$\sqrt{3×27}=\sqrt{81}=9≠18$，因此算术平方根为18的是另外两种组合：
① 若$\sqrt{3a}=18$，两边平方得$3a=324$，解得$a=108$，验证得$\sqrt{27×108}=\sqrt{2916}=54$，是整数，且3、27、108互不相等，符合题意；
② 若$\sqrt{27a}=18$，两边平方得$27a=324$，解得$a=12$，验证得$\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$，是整数，且3、27、12互不相等，符合题意。
【答案】
(1) 是；不是
(2) $a$的值为12或108
【知识点】
算术平方根计算，新定义运算，分类讨论
【点评】
本题以新定义为载体考查算术平方根的应用，解题核心是准确理解新定义的要求，第二问要注意分情况讨论避免漏解，求出结果后需验证是否符合定义规则。
【难度系数】
0.7
8. 小明制作了一张面积为144 cm²的正方形贺卡。现有一个长方形信封如图2-2-1所示，该信封的长、宽之比为3：2，面积为210 cm²。
邮政编码：
(1)求长方形信封的长和宽。
(2)小明能将这张贺卡不折叠就直接放入此信封吗？请通过计算给出判断。
邮政编码：
(1)求长方形信封的长和宽。
(2)小明能将这张贺卡不折叠就直接放入此信封吗？请通过计算给出判断。
答案
8. 解:(1)设长方形信封的长为$3x$ cm,宽为$2x$ cm。
由题意,得$3x·2x=210$，
所以$x=\sqrt{35}$。
所以$3x=3\sqrt{35}$,$2x=2\sqrt{35}$。
答:长方形信封的长为$3\sqrt{35}$ cm,宽为$2\sqrt{35}$ cm。
(2)不能。
理由:面积为$144\ \mathrm{cm}^2$的正方形贺卡的边长是12 cm。
因为$(2\sqrt{35})^2=140$,$12^2=144$，
所以$2\sqrt{35}＜12$,即信封的宽小于正方形贺卡的边长，
所以小明不能将这张贺卡不折叠就直接放入此信封。
由题意,得$3x·2x=210$，
所以$x=\sqrt{35}$。
所以$3x=3\sqrt{35}$,$2x=2\sqrt{35}$。
答:长方形信封的长为$3\sqrt{35}$ cm,宽为$2\sqrt{35}$ cm。
(2)不能。
理由:面积为$144\ \mathrm{cm}^2$的正方形贺卡的边长是12 cm。
因为$(2\sqrt{35})^2=140$,$12^2=144$，
所以$2\sqrt{35}＜12$,即信封的宽小于正方形贺卡的边长，
所以小明不能将这张贺卡不折叠就直接放入此信封。
解析
【分析】
第(1)问：已知信封长宽比为3:2，遇到比例类问题可设每份长度为x，即长为3x、宽为2x，再结合长方形面积公式列方程求解x即可，注意长度为正数，x取正平方根。
第(2)问：要判断贺卡能否不折叠放入，需先求出正方形贺卡的边长，再将其和信封的最小边（宽）比较大小，若贺卡边长小于等于信封的宽则可以放入，反之则不能；比较带根号的正数和整数大小时，用平方法更简便，正数平方越大本身越大。
【解析】
(1) 设长方形信封的长为$3x$ cm，宽为$2x$ cm。
根据长方形面积公式列方程：
$3x· 2x=210$
整理得$6x^2=210$，即$x^2=35$
因为x代表长度为正数，所以$x=\sqrt{35}$
因此长为$3x=3\sqrt{35}$ cm，宽为$2x=2\sqrt{35}$ cm。
(2) 首先计算正方形贺卡的边长：
已知正方形贺卡面积为$144\ \mathrm{cm}^2$，所以边长为$\sqrt{144}=12$ cm。
接下来比较信封宽和贺卡边长的大小：
计算得$(2\sqrt{35})^2=4×35=140$，$12^2=144$
因为$140＜144$，且$2\sqrt{35}$和12均为正数，所以$2\sqrt{35}＜12$，即信封的宽小于正方形贺卡的边长。
【答案】
(1) 长方形信封的长为$3\sqrt{35}\ \mathrm{cm}$，宽为$2\sqrt{35}\ \mathrm{cm}$；
(2) 不能。
【知识点】
1. 平方根的应用
2. 实数大小比较
3. 面积公式应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查平方根的相关应用，解题核心是根据比例关系合理设未知量，结合面积公式建立方程求解，采用平方法比较带根号正实数的大小简便准确，能较好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问：已知信封长宽比为3:2，遇到比例类问题可设每份长度为x，即长为3x、宽为2x，再结合长方形面积公式列方程求解x即可，注意长度为正数，x取正平方根。
第(2)问：要判断贺卡能否不折叠放入，需先求出正方形贺卡的边长，再将其和信封的最小边（宽）比较大小，若贺卡边长小于等于信封的宽则可以放入，反之则不能；比较带根号的正数和整数大小时，用平方法更简便，正数平方越大本身越大。
【解析】
(1) 设长方形信封的长为$3x$ cm，宽为$2x$ cm。
根据长方形面积公式列方程：
$3x· 2x=210$
整理得$6x^2=210$，即$x^2=35$
因为x代表长度为正数，所以$x=\sqrt{35}$
因此长为$3x=3\sqrt{35}$ cm，宽为$2x=2\sqrt{35}$ cm。
(2) 首先计算正方形贺卡的边长：
已知正方形贺卡面积为$144\ \mathrm{cm}^2$，所以边长为$\sqrt{144}=12$ cm。
接下来比较信封宽和贺卡边长的大小：
计算得$(2\sqrt{35})^2=4×35=140$，$12^2=144$
因为$140＜144$，且$2\sqrt{35}$和12均为正数，所以$2\sqrt{35}＜12$，即信封的宽小于正方形贺卡的边长。
【答案】
(1) 长方形信封的长为$3\sqrt{35}\ \mathrm{cm}$，宽为$2\sqrt{35}\ \mathrm{cm}$；
(2) 不能。
【知识点】
1. 平方根的应用
2. 实数大小比较
3. 面积公式应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查平方根的相关应用，解题核心是根据比例关系合理设未知量，结合面积公式建立方程求解，采用平方法比较带根号正实数的大小简便准确，能较好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
