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二、拓展性作业
9. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”。例如：$-9,-4,-1$这三个数，$\sqrt{(-9)×(-4)}=6$，$\sqrt{(-9)×(-1)}=3$，$\sqrt{(-4)×(-1)}=2$，其结果6，3，2都是整数，所以$-9,-4,-1$这三个数称为“完美组合数”。
(1)$-18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由。
(2)若三个数$-3,m,-12$是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求$m$的值。
9. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”。例如：$-9,-4,-1$这三个数，$\sqrt{(-9)×(-4)}=6$，$\sqrt{(-9)×(-1)}=3$，$\sqrt{(-4)×(-1)}=2$，其结果6，3，2都是整数，所以$-9,-4,-1$这三个数称为“完美组合数”。
(1)$-18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由。
(2)若三个数$-3,m,-12$是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求$m$的值。
答案
9. 解:(1)$-18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”。理由略。
(2)因为$\sqrt{(-3)×(-12)}=6$，
所以分两种情况讨论：
①当$\sqrt{-3m}=12$时,$-3m=144$,所以$m=-48$。
②当$\sqrt{-12m}=12$时,$-12m=144$,所以$m=-12$(不符合题意,舍去)。
综上所述,$m$的值是$-48$。
(2)因为$\sqrt{(-3)×(-12)}=6$，
所以分两种情况讨论：
①当$\sqrt{-3m}=12$时,$-3m=144$,所以$m=-48$。
②当$\sqrt{-12m}=12$时,$-12m=144$,所以$m=-12$(不符合题意,舍去)。
综上所述,$m$的值是$-48$。
解析
【分析】
（1）判断三个数是不是“完美组合数”需紧扣定义：首先确认三个数是互不相等的负整数，再依次计算两两乘积的算术平方根，若结果均为整数就符合定义要求。
（2）先计算已知的-3和-12的乘积的算术平方根，发现结果为6≠12，因此算术平方根为12的乘积只能是-3与m的乘积、或-12与m的乘积，分两种情况列方程求解即可，最后要检验所得m是否满足三个数互不相等的条件，舍去不符合的解。
【解析】
(1) $-18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”，理由如下：
三个数均为互不相等的负整数，分别计算两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-18)×(-8)}=\sqrt{144}=12$，是整数；
$\sqrt{(-18)×(-2)}=\sqrt{36}=6$，是整数；
$\sqrt{(-8)×(-2)}=\sqrt{16}=4$，是整数。
完全满足“完美组合数”的定义，因此这三个数是完美组合数。
(2) 先计算已知两个数的乘积的算术平方根：$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，因此分两种情况讨论：
① 当$\sqrt{(-3)×m}=12$时，两边同时平方可得：$-3m=12^2=144$，解得$m=-48$，此时三个数为$-3,-48,-12$，互不相等，符合题意；
② 当$\sqrt{(-12)×m}=12$时，两边同时平方可得：$-12m=12^2=144$，解得$m=-12$，此时$m$与给出的数$-12$相等，不符合三个数互不相等的条件，故舍去。
综上，$m$的值为$-48$。
【答案】
(1) 是“完美组合数”，理由见解析；
(2) $m=-48$
【知识点】
算术平方根计算，新定义问题，分类讨论
【点评】
本题以新定义为载体考查算术平方根的相关计算，解题的核心是准确理解新定义的要求，第二问需注意分类讨论所有可能的情况，同时不要忽略三个数互不相等的隐含条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
（1）判断三个数是不是“完美组合数”需紧扣定义：首先确认三个数是互不相等的负整数，再依次计算两两乘积的算术平方根，若结果均为整数就符合定义要求。
（2）先计算已知的-3和-12的乘积的算术平方根，发现结果为6≠12，因此算术平方根为12的乘积只能是-3与m的乘积、或-12与m的乘积，分两种情况列方程求解即可，最后要检验所得m是否满足三个数互不相等的条件，舍去不符合的解。
【解析】
(1) $-18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”，理由如下：
三个数均为互不相等的负整数，分别计算两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-18)×(-8)}=\sqrt{144}=12$，是整数；
$\sqrt{(-18)×(-2)}=\sqrt{36}=6$，是整数；
$\sqrt{(-8)×(-2)}=\sqrt{16}=4$，是整数。
完全满足“完美组合数”的定义，因此这三个数是完美组合数。
(2) 先计算已知两个数的乘积的算术平方根：$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，因此分两种情况讨论：
① 当$\sqrt{(-3)×m}=12$时，两边同时平方可得：$-3m=12^2=144$，解得$m=-48$，此时三个数为$-3,-48,-12$，互不相等，符合题意；
② 当$\sqrt{(-12)×m}=12$时，两边同时平方可得：$-12m=12^2=144$，解得$m=-12$，此时$m$与给出的数$-12$相等，不符合三个数互不相等的条件，故舍去。
综上，$m$的值为$-48$。
【答案】
(1) 是“完美组合数”，理由见解析；
(2) $m=-48$
【知识点】
算术平方根计算，新定义问题，分类讨论
【点评】
本题以新定义为载体考查算术平方根的相关计算，解题的核心是准确理解新定义的要求，第二问需注意分类讨论所有可能的情况，同时不要忽略三个数互不相等的隐含条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
10. 材料一:大家知道$\sqrt{5}$是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此$\sqrt{5}$的小数部分我们不可能全部地写出来,于是明明用$\sqrt{5}-2$来表示$\sqrt{5}$的小数部分,你同意明明的表示方法吗?事实上,明明的表示方法是有道理的,因为$\sqrt{5}$的整数部分是2,用$\sqrt{5}$减去其整数部分,差就是小数部分。
由此可得:如果$\sqrt{5}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,那么$x=2,y=\sqrt{5}-2$。$x$就是$\sqrt{5}$的整数部分,$y$就是$\sqrt{5}$的小数部分。
材料二:已知$m,n$是有理数,且满足等式$2-\sqrt{7}m=\frac{2}{5}\sqrt{7}+3n-m$,求$m,n$的值。
求解过程如下:
因为$2-\sqrt{7}m=\frac{2}{5}\sqrt{7}+3n-m$,
所以$2-\sqrt{7}· m=(3n-m)+\sqrt{7}×\frac{2}{5}$。
因为$m,n$是有理数,所以$2=3n-m,-m=\frac{2}{5}$,
所以$m=-\frac{2}{5},n=\frac{8}{15}$。
根据以上材料,解答下列问题:
(1)如果$\sqrt{13}=a+b$,其中$a$是整数,且$0＜b＜1$,那么$a=$
(2)如果$8+\sqrt{19}$的小数部分为$m$,$8-\sqrt{19}$的整数部分为$n$,求$m-n-\sqrt{19}$的值;
(3)已知$x,y$是有理数,且满足等式$4(x-2)-3y-\sqrt{3}y=34+3\sqrt{3}$,求$x+y$的值。
由此可得:如果$\sqrt{5}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,那么$x=2,y=\sqrt{5}-2$。$x$就是$\sqrt{5}$的整数部分,$y$就是$\sqrt{5}$的小数部分。
材料二:已知$m,n$是有理数,且满足等式$2-\sqrt{7}m=\frac{2}{5}\sqrt{7}+3n-m$,求$m,n$的值。
求解过程如下:
因为$2-\sqrt{7}m=\frac{2}{5}\sqrt{7}+3n-m$,
所以$2-\sqrt{7}· m=(3n-m)+\sqrt{7}×\frac{2}{5}$。
因为$m,n$是有理数,所以$2=3n-m,-m=\frac{2}{5}$,
所以$m=-\frac{2}{5},n=\frac{8}{15}$。
根据以上材料,解答下列问题:
(1)如果$\sqrt{13}=a+b$,其中$a$是整数,且$0＜b＜1$,那么$a=$
3
,$b=$$\sqrt{13}-3$
;(2)如果$8+\sqrt{19}$的小数部分为$m$,$8-\sqrt{19}$的整数部分为$n$,求$m-n-\sqrt{19}$的值;
(3)已知$x,y$是有理数,且满足等式$4(x-2)-3y-\sqrt{3}y=34+3\sqrt{3}$,求$x+y$的值。
答案
10. (1) 3 $\sqrt{13}-3$
(2)解:因为$8+\sqrt{19}$的小数部分为$m$,$8-\sqrt{19}$的整数部分为$n$,$4＜\sqrt{19}＜5$,所以$m=\sqrt{19}-4$,$n=3$,所以$m-n-\sqrt{19}=\sqrt{19}-4-3-\sqrt{19}=-7$。
(3)解:因为有理数$x,y$满足等式$4(x-2)-3y-\sqrt{3}y=34+3\sqrt{3}$,所以$4(x-2)-3y=34$,$-y=3$,所以$y=-3$,
所以$4(x-2)+9=34$,$4(x-2)=25$,所以$x=\dfrac{33}{4}$,所以$x+y=\dfrac{33}{4}-3=\dfrac{21}{4}$。
(2)解:因为$8+\sqrt{19}$的小数部分为$m$,$8-\sqrt{19}$的整数部分为$n$,$4＜\sqrt{19}＜5$,所以$m=\sqrt{19}-4$,$n=3$,所以$m-n-\sqrt{19}=\sqrt{19}-4-3-\sqrt{19}=-7$。
(3)解:因为有理数$x,y$满足等式$4(x-2)-3y-\sqrt{3}y=34+3\sqrt{3}$,所以$4(x-2)-3y=34$,$-y=3$,所以$y=-3$,
所以$4(x-2)+9=34$,$4(x-2)=25$,所以$x=\dfrac{33}{4}$,所以$x+y=\dfrac{33}{4}-3=\dfrac{21}{4}$。
解析
【分析】
(1) 求解本题首先要估算无理数$\sqrt{13}$的取值范围，找到相邻的两个完全平方数9和16，可得$3＜\sqrt{13}＜4$，即可确定整数部分$a$的值，再用$\sqrt{13}$减去整数部分得到小数部分$b$。
(2) 先估算$\sqrt{19}$的范围为$4＜\sqrt{19}＜5$，据此推导$8+\sqrt{19}$的范围得到其小数部分$m$，再推导$8-\sqrt{19}$的范围得到其整数部分$n$，最后代入代数式计算即可。
(3) 参考材料二的解题思路，将等式拆分为有理数部分和含$\sqrt{3}$的无理数部分，根据有理数和无理数的性质，两部分分别对应相等，列方程求解$x$、$y$的值，最后计算$x+y$。
【解析】
(1) 因为$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，又因为$\sqrt{13}=a+b$，$a$是整数且$0＜b＜1$，因此$a=3$，$b=\sqrt{13}-3$。
(2) 解：因为$4＜\sqrt{19}＜5$，所以$12＜8+\sqrt{19}＜13$，可得$8+\sqrt{19}$的小数部分$m=8+\sqrt{19}-12=\sqrt{19}-4$；
又$3＜8-\sqrt{19}＜4$，可得$8-\sqrt{19}$的整数部分$n=3$；
代入得：$m-n-\sqrt{19}=\sqrt{19}-4-3-\sqrt{19}=-7$。
(3) 解：将等式整理为：$[4(x-2)-3y]+(-y)\sqrt{3}=34+3\sqrt{3}$，
因为$x,y$是有理数，所以有理数部分和无理数部分分别对应相等，可得：
$\begin{cases}4(x-2)-3y=34\\-y=3\end{cases}$
解得$y=-3$，将$y=-3$代入第一个方程得：$4(x-2)+9=34$，解得$x=\frac{33}{4}$，
因此$x+y=\frac{33}{4}-3=\frac{21}{4}$。
【答案】
(1) $3$，$\sqrt{13}-3$；
(2) $-7$；
(3) $\dfrac{21}{4}$
【知识点】
1. 无理数大小估算
2. 实数的性质
3. 解一元一次方程
【点评】
本题结合阅读材料考查无理数估算和实数性质的应用，解题核心是掌握无理数范围的估算方法，以及有理数、无理数部分分别对应相等的运算逻辑，能有效锻炼学生的信息提取和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解本题首先要估算无理数$\sqrt{13}$的取值范围，找到相邻的两个完全平方数9和16，可得$3＜\sqrt{13}＜4$，即可确定整数部分$a$的值，再用$\sqrt{13}$减去整数部分得到小数部分$b$。
(2) 先估算$\sqrt{19}$的范围为$4＜\sqrt{19}＜5$，据此推导$8+\sqrt{19}$的范围得到其小数部分$m$，再推导$8-\sqrt{19}$的范围得到其整数部分$n$，最后代入代数式计算即可。
(3) 参考材料二的解题思路，将等式拆分为有理数部分和含$\sqrt{3}$的无理数部分，根据有理数和无理数的性质，两部分分别对应相等，列方程求解$x$、$y$的值，最后计算$x+y$。
【解析】
(1) 因为$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，又因为$\sqrt{13}=a+b$，$a$是整数且$0＜b＜1$，因此$a=3$，$b=\sqrt{13}-3$。
(2) 解：因为$4＜\sqrt{19}＜5$，所以$12＜8+\sqrt{19}＜13$，可得$8+\sqrt{19}$的小数部分$m=8+\sqrt{19}-12=\sqrt{19}-4$；
又$3＜8-\sqrt{19}＜4$，可得$8-\sqrt{19}$的整数部分$n=3$；
代入得：$m-n-\sqrt{19}=\sqrt{19}-4-3-\sqrt{19}=-7$。
(3) 解：将等式整理为：$[4(x-2)-3y]+(-y)\sqrt{3}=34+3\sqrt{3}$，
因为$x,y$是有理数，所以有理数部分和无理数部分分别对应相等，可得：
$\begin{cases}4(x-2)-3y=34\\-y=3\end{cases}$
解得$y=-3$，将$y=-3$代入第一个方程得：$4(x-2)+9=34$，解得$x=\frac{33}{4}$，
因此$x+y=\frac{33}{4}-3=\frac{21}{4}$。
【答案】
(1) $3$，$\sqrt{13}-3$；
(2) $-7$；
(3) $\dfrac{21}{4}$
【知识点】
1. 无理数大小估算
2. 实数的性质
3. 解一元一次方程
【点评】
本题结合阅读材料考查无理数估算和实数性质的应用，解题核心是掌握无理数范围的估算方法，以及有理数、无理数部分分别对应相等的运算逻辑，能有效锻炼学生的信息提取和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
