1. 将一副三角尺和一张对边平行的纸条按如图7-1所示的方式摆放，两个三角尺的一条直角边重合，含$30°$角的三角尺的斜边与纸条的一边重合，含$45°$角的三角尺的一个顶点在纸条的另一边上，则$∠ 1$的度数为（）。

A.$30°$
B.$25°$
C.$20°$
D.$15°$

图7-1 图7-2

1. D

【分析】
解题时先提取题目关键条件：纸条对边平行、三角尺的角度分别为30°和45°。首先联想到平行线的性质，两直线平行时内错角相等，可得到与30°相等的内错角；再观察∠1的位置，发现它和刚才得到的30°角共同组成45°的三角尺锐角，因此用45°减去30°即可求出∠1的度数。
【解析】
∵ 纸条的两组对边互相平行，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴ 含30°角的三角尺的斜边与纸条另一侧的夹角等于30°，
又
∵ 含45°角的三角尺的锐角为45°，且该45°角由∠1和上述30°角组成，
∴ ∠1 = 45° - 30° = 15°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；角度的和差计算
【点评】
本题结合生活中常见的三角尺与纸条摆放场景出题，考查核心是平行线性质的应用，解题时只需准确识别平行线对应的内错角，结合三角尺的固定角度做简单的和差计算即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7

2. 如图7-2，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点。若∠1=155°，∠2=30°，则∠3的度数为。

2. 55°

【分析】
解题时首先结合题目给出的光线传播特点，明确平行于主光轴的入射光线与主光轴平行，折射光线过焦点F，过光心的光线沿直线传播。第一步先根据邻补角的定义计算∠1的邻补角，得到折射光线与入射平行光线的较小夹角；第二步利用平行线的“两直线平行，同旁内角互补”的性质，求出折射光线与主光轴的夹角；最后观察图形发现∠3是三角形的外角，根据三角形外角的性质即可求出∠3的度数。
【解析】
1. 由邻补角的定义，∠1的邻补角为：$180° - 155° = 25°$
2. 因为入射光线平行于主光轴，根据两直线平行，同旁内角互补，可得折射光线与主光轴的夹角等于$25°$
3. 已知过光心的光线与主光轴的夹角$∠2=30°$，观察图形可知$∠3$是由主光轴、折射光线、过光心的光线围成的三角形的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠3 = 25° + 30° = 55°$
【答案】
$55°$
【知识点】
平行线的性质、三角形外角的性质、邻补角的定义
【点评】
本题结合简单的光学背景考查平面几何的基础角度计算，解题的关键是理清图形中的平行关系和三角形的角度联系，将已知角逐步转化为待求角的相关量，属于基础综合类题目。
【难度系数】
0.75

3. 如图7-3，已知△ABC，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP = 50°，那么∠A+∠P=。

3. 90°

【分析】
解题思路如下：①先利用角平分线的定义，由已知的∠ABP、∠ACP的度数，分别求出∠ABC、∠PBC、∠ACM、∠PCM的度数；②再根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），分别推导计算出∠A和∠P的度数；③最后将∠A和∠P的度数相加即可得到结果。
【解析】
∵ BP是∠ABC的平分线，∠ABP=20°
∴ ∠PBC=∠ABP=20°，∠ABC=2∠ABP=40°
∵ CP是∠ACM的平分线，∠ACP=50°
∴ ∠PCM=∠ACP=50°，∠ACM=2∠ACP=100°
∵ ∠ACM是△ABC的外角，根据三角形外角性质可得：
∠ACM = ∠A + ∠ABC
∴ ∠A = ∠ACM - ∠ABC = 100° - 40° = 60°
同理，∠PCM是△PBC的外角，可得：
∠PCM = ∠P + ∠PBC
∴ ∠P = ∠PCM - ∠PBC = 50° - 20° = 30°
∴ ∠A + ∠P = 60° + 30° = 90°
【答案】
90°
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；角度和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查角平分线定义和三角形外角性质的灵活运用，解题的关键是正确识别三角形的外角及其对应的两个不相邻内角，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

4. 五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律。如图7-4，将一副三角尺的缩小模型摆放在五线谱上，其中$∠ BCD = 30°$，$∠ DBF = 25°$，则$∠ GCE$的度数是。


图7-4
图7-5

4. 40°

【分析】解题时先明确题目中的两个隐含条件：①五线谱的所有横线互相平行，可利用平行线的性质得到相等的内错角；②一副标准三角尺的固定角度：等腰直角三角尺的锐角为45°，两个三角尺的直角均为90°。首先利用平行线的内错角相等，结合已知的∠DBF=25°和三角尺的45°锐角求出∠ECB的度数，再根据直角90°减去∠BCD与∠ECB的和，即可算出∠GCE的度数。
【解析】
解：
∵五线谱的横线互相平行，
∴$CE// BF$，根据“两直线平行，内错角相等”可得$∠ECB = ∠CBF$。
∵所用为一副标准三角尺，
∴等腰直角三角尺的锐角$∠CBD=45°$，三角尺的直角$∠ECG=90°$。
已知$∠DBF=25°$，
∴$∠CBF=∠CBD - ∠DBF=45°-25°=20°$。
又
∵$∠BCD=30°$，
∴$∠GCE=∠ECG - ∠BCD - ∠ECB=90°-30°-20°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
平行线的性质；三角尺角度特征；角度和差计算
【点评】
本题结合生活中的五线谱场景考查几何基础知识点，需要学生自主挖掘隐含的平行条件和三角尺固定角度，侧重对基础性质的理解和应用，解题逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7

5. 如图7-5，已知$BC// DE$，BF平分$∠ ABC$，DC平分$∠ ADE$，则下列结论：①$∠ ACB=∠ E$；②$∠ ABF=∠ ADC$；③$BF// DC$；④$∠ ABF=∠ BCD$，其中正确的是________。（填序号）

5. ①②③④

【分析】
解题时先利用已知的平行线$BC// DE$，结合平行线的性质得到对应角相等的关系，再结合角平分线的定义得到平分后的小角相等，最后逐一验证4个结论是否成立：
1. 验证①：直接用“两直线平行，同位角相等”判断；
2. 验证②：先由平行线得$∠ ABC=∠ ADE$，再结合角平分线分角为相等的两半，即可得$∠ ABF=∠ ADC$；
3. 验证③：结合②的结论和平行线的内错角相等，推导得$BF$和$DC$的内错角相等，即可判断平行；
4. 验证④：通过等量代换，将$∠ ABF$和$∠ BCD$都和$∠ ADC$建立相等关系，即可判断成立。
【解析】
解：$\because BC// DE$，
$\therefore ∠ ACB=∠ E$（两直线平行，同位角相等），故①正确；
$\because BC// DE$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ADE$（两直线平行，同位角相等），
$\because BF$平分$∠ ABC$，$DC$平分$∠ ADE$，
$\therefore ∠ ABF=∠ FBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ADC=∠ EDC=\frac{1}{2}∠ ADE$，
$\therefore ∠ ABF=∠ ADC$，故②正确；
$\because BC// DE$，
$\therefore ∠ ADC=∠ BCD$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ ABF=∠ FBC=∠ ADC$，
$\therefore ∠ FBC=∠ BCD$，
$\therefore BF// DC$（内错角相等，两直线平行），故③正确；
$\because ∠ ABF=∠ ADC$，$∠ ADC=∠ BCD$，
$\therefore ∠ ABF=∠ BCD$（等量代换），故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题是基础的几何推导题，核心是灵活运用平行线的性质和判定，结合角平分线的定义完成角度的等量代换，逐个验证结论即可求解。
【难度系数】
0.7

6. 如图 7-6,有如下三个论断:①$AB // CD$;②BE 和 CF 分别平分$∠ ABC$和$∠ BCD$;③$BE // CF$。
(1)请以其中两个作为条件,另一个作为结论,写出一个真命题;
(2)证明(1)中的命题。

6. (1) 解:如果 $AB // CD$, BE 和 CF 分别平分$∠ ABC$ 和$∠ BCD$,那么 $BE// CF$。(答案不唯一)
(2) 证明:因为 $AB// CD$,
所以$∠ ABC=∠ BCD$。
又因为 BE 和 CF 分别平分$∠ ABC$ 和$∠ BCD$,
所以$∠ CBE=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ BCF=\frac{1}{2}∠ BCD$。
所以$∠ CBE=∠ BCF$。
所以 $BE// CF$。

【分析】
(1) 构造真命题时，可结合平行线的性质、角平分线定义、平行线的判定的逻辑关联选择条件和结论：我们选择①②作为条件推导③，首先由$AB// CD$可得内错角$∠ ABC=∠ BCD$，再结合角平分线的定义，可推出$∠ CBE=∠ BCF$，最后根据内错角相等就能判定$BE// CF$，即可得到真命题，也可选择其他合理的条件结论组合。
(2) 证明时先利用平行线的性质得到对应角相等，再通过角平分线的定义完成角的等量代换，得到新的一组相等内错角，最后用平行线的判定定理即可得证。
【解析】
(1) 我们以①②为条件，③为结论构造命题：如果 $AB // CD$, BE 和 CF 分别平分$∠ ABC$ 和$∠ BCD$,那么 $BE// CF$。（答案不唯一）
(2) 证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABC=∠ BCD$（两直线平行，内错角相等）。
$\because$ BE 和 CF 分别平分$∠ ABC$ 和$∠ BCD$，
$\therefore ∠ CBE=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ BCF=\frac{1}{2}∠ BCD$（角平分线的定义）。
$\therefore ∠ CBE=∠ BCF$（等量代换）。
$\therefore BE// CF$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) 如果 $AB // CD$, BE 和 CF 分别平分$∠ ABC$ 和$∠ BCD$,那么 $BE// CF$。(答案不唯一)
(2) 证明：因为 $AB// CD$,
所以$∠ ABC=∠ BCD$。
又因为 BE 和 CF 分别平分$∠ ABC$ 和$∠ BCD$,
所以$∠ CBE=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ BCF=\frac{1}{2}∠ BCD$。
所以$∠ CBE=∠ BCF$。
所以 $BE// CF$。
【知识点】
平行线的性质与判定，角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何证明题，重点考查平行线的性质和判定的综合运用，以及角平分线定义的应用，解题核心是理清角之间的等量关系，熟练运用几何定理完成逻辑推导，是几何推理部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7

7. 如图7-7，已知$BD ⊥ AC$，$EF ⊥ AC$，垂足分别为点$D$，$F$，且$∠ 1 = ∠ 2$。
（1）试判断$DG$与$BC$的位置关系，并说明理由；
（2）若$∠ ADG = 40°$，求$∠ 2$的度数。

7. 解:(1)$DG// BC$,理由如下:
因为 $BD⊥ AC$,$EF⊥ AC$,
所以 $EF// BD$,
所以$∠ CBD=∠ 2$。
因为$∠ 1=∠ 2$,
所以$∠ CBD=∠ 1$,
所以 $DG// BC$。
(2)因为 $BD⊥ AC$,
所以$∠ CDB=90°$。
因为$∠ ADG=40°$,
所以$∠ 1=180°-40°-90°=50°$。
因为$∠ 1=∠ 2$,
所以$∠ 2=∠ 1=50°$。

【分析】
（1）要判断DG与BC的位置关系，优先结合已知的角的条件考虑平行关系：首先由BD、EF都垂直于AC，根据“垂直于同一直线的两条直线互相平行”，可得$EF// BD$，再利用平行线的性质得到$∠ 2=∠ CBD$；结合已知$∠ 1=∠ 2$，等量代换可得$∠ 1=∠ CBD$，这两个角是DG、BC被BD所截的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”即可推出$DG// BC$。
（2）要求$∠ 2$的度数，由已知$∠ 1=∠ 2$，可知只需求出$∠ 1$的度数：根据$BD⊥ AC$可得$∠ ADB=90°$，结合平角为$180°$，可知$∠ ADG+∠ 1+∠ ADB=180°$，代入已知$∠ ADG=40°$即可求出$∠ 1$，进而得到$∠ 2$的度数。
【解析】
(1) $DG// BC$，理由如下：
因为 $BD⊥ AC$，$EF⊥ AC$，
所以 $EF// BD$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
所以$∠ CBD=∠ 2$（两直线平行，同位角相等）。
因为$∠ 1=∠ 2$，
所以$∠ CBD=∠ 1$（等量代换），
所以 $DG// BC$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 因为 $BD⊥ AC$，
所以$∠ ADB=90°$（垂直的定义）。
因为$∠ ADG = 40°$，且$∠ ADG+∠ 1+∠ ADB=180°$（平角的定义），
所以$∠ 1=180°-40°-90°=50°$。
因为$∠ 1=∠ 2$，
所以$∠ 2=∠ 1=50°$。
【答案】
(1) $DG// BC$；
(2) $∠ 2=50°$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题是平行线相关知识的典型基础习题，核心考查平行线判定与性质的综合应用，解题的关键是通过垂直关系得到平行线，再结合角的等量代换完成推导，逻辑链条清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.7

二、拓展性作业
8. 综合运用
【问题情境】
如图7-8①，$AB// DC$，点P在直线AB，CD之间，连接AP，CP。$∠ BAP = 60°$，$∠ DCP=20°$，求$∠ APC$的度数。小明的思路如下：先过点P作$PE// AB$，再根据平行线的性质即可得到$∠ APE=∠ BAP$，$∠ CPE=∠ DCP$，进而得到$∠ APC = ∠ APE + ∠ CPE=∠ BAP+∠ DCP=60°+20°=80°$。
【问题解决】
(1)如图7-8②，$AB// DC$，点P在直线AB，CD之间，连接AP，CP，$∠ BAP$与$∠ DCP$的平分线相交于点K。若$∠ APC=88°$，则$∠ AKC=$。
(2)在(1)的条件下，若$∠ APC=α$，求$∠ AKC$的度数。
(3)如图7-8③，$AB// DC$，点P落在DC下面，$∠ BAP$与$∠ DCP$的平分线相交于点K，若$∠ APC=α$，$∠ AKC=β$，试判断$α$和$β$存在的数量关系，并说明理由。

8. (1) $44°$
(2) 解:$∠ AKC=\frac{1}{2}α$。
(3) 解:$α=2β$,理由略。

【分析】
本题考查平行线性质与角平分线的综合应用，解题核心是过拐点作已知直线的平行线，利用平行线内错角相等转化角的关系，结合角平分线的性质推导角的数量关系。
1. 第(1)题：先沿用题中给出的“锯齿型”模型结论，$AB// DC$时，夹在两线之间的点$P$满足$∠ APC=∠ BAP+∠ DCP$，再对拐点$K$作平行线，结合$AK$、$CK$是角平分线，可得$∠ AKC$等于$∠ BAP$与$∠ DCP$的一半之和，即等于$∠ APC$的一半，代入数值计算即可。
2. 第(2)题：将(1)中的具体数值替换为$α$，按相同推导逻辑即可得到$∠ AKC$与$α$的关系。
3. 第(3)题：当$P$在$CD$下方时，同样过$K$、$P$分别作$AB$的平行线，此时角的关系变为差的关系，结合角平分线性质即可推导$α$和$β$的数量关系。
【解析】
(1) 过点$K$作$KE// AB$，$\because AB// DC$，$\therefore KE// AB// DC$。
$\therefore ∠ BAK=∠ AKE$，$∠ DCK=∠ CKE$，因此$∠ AKC=∠ AKE+∠ CKE=∠ BAK+∠ DCK$。
同理过点$P$作$PF// AB$，可得$∠ APC=∠ BAP+∠ DCP=88°$。
$\because AK$平分$∠ BAP$，$CK$平分$∠ DCP$，$\therefore ∠ BAK=\frac{1}{2}∠ BAP$，$∠ DCK=\frac{1}{2}∠ DCP$。
$\therefore ∠ AKC=\frac{1}{2}∠ BAP+\frac{1}{2}∠ DCP=\frac{1}{2}(∠ BAP+∠ DCP)=\frac{1}{2}∠ APC=\frac{1}{2}×88°=44°$。
(2) 由(1)的推导可知：$∠ APC=∠ BAP+∠ DCP=α$，
$∠ AKC=\frac{1}{2}∠ BAP+\frac{1}{2}∠ DCP=\frac{1}{2}(∠ BAP+∠ DCP)=\frac{1}{2}α$。
(3) $α=2β$，理由如下：
过点$K$作$KE// AB$，$\because AB// DC$，$\therefore KE// AB// DC$，
$\therefore ∠ BAK=∠ AKE$，$∠ DCK=∠ CKE$，因此$∠ AKC=∠ AKE-∠ CKE=∠ BAK-∠ DCK$。
过点$P$作$PF// AB$，同理可得$∠ APC=∠ BAP-∠ DCP=α$。
$\because AK$平分$∠ BAP$，$CK$平分$∠ DCP$，$\therefore ∠ BAK=\frac{1}{2}∠ BAP$，$∠ DCK=\frac{1}{2}∠ DCP$。
$\therefore ∠ AKC=\frac{1}{2}∠ BAP-\frac{1}{2}∠ DCP=\frac{1}{2}(∠ BAP-∠ DCP)=\frac{1}{2}∠ APC$，即$β=\frac{1}{2}α$，因此$α=2β$。
【答案】
(1) $44°$
(2) $∠AKC=\frac{1}{2}α$
(3) $α=2β$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；拐点辅助线作法
【点评】
本题是平行线性质的经典拓展题型，核心是掌握过拐点作平行线的辅助线方法，能根据点的位置准确判断角的和差关系，结合角平分线性质即可快速推导结论。
【难度系数】
0.65